2022年导数知识点归纳和练习.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点一、相关概念1. 导数的概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f （ x0 ） = limx0y = lim xx0f x0xf x0 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：（ 1）函数f （ x）在点x0 处可导,是指x0 时,y 有极限.假如xy 不存在极限,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数.（ 2）x 是自变量x 在 x 0 处的转变量,2导数的几何意义x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/函数 y=f （ x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点p（x 0 , f （ x 0 ）处的切 线的斜率.也就是说,曲线y=f （ x）在点p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）.相应的,切线方程为y y 0 =f （ x 0 ）（ x x 0 ）.3. 导数的物理意义如物体运动的规律是s=s （ t ）,那么该物体在时刻t 的瞬时速度v= s （ t ） .如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （ t ）,就该物体在时刻t 的加速度a=v（ t ）.二、导数的运算1基本函数的导数公式: C0; （ C 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xnnxn 1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin xcos x ; cos xsin x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ex a x ex ; a xln a ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln xl o g1 ;xx1 loge .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aax2导数的运算法就'法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： uv 'u 'v .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数乘以其次个函数的导数,即：uv 'u ' vuv ' .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就3 ：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再除以分母的平方：uvu ' vv 2uv' （ v0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 复合函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形如 y=fx 的函数称为复合函数.复合函数求导步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分解 >求导 >回代.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就： y | X = y | U·u | X 或者f xf *x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、导数的应用1. 函数的单调性与导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）设函数yf x 在某个区间（a, b）可导, 假如f ' x0 ,就f x在此区间上为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增函数.假如f ' x0 ,就f x在此区间上为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）假如在某区间内恒有f ' x0 ,就f x 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.3最值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 a ,b 上连续的函数f x 在a , b 上必有最大值与最小值.但在开区间（a, b）内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续函数f （ x）不肯定有最大值,例如f xx3, x1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必需是整个区间上全部函数值中的最大值,最小值必需在整个区间上全部函数值中的最小值.（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.四、定积分1.概念设函数fx在区间 a ,b 上连续,用分点a x0<x1<<xi 1<xi<xn b 把区间 a , b等分成 n 个小区间,在每个小区间xi 1, xi上取任一点 i （ i 1, 2,n）作和式In可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf i1 i x （其中 x 为小区间长度） ,把 n即 x0 时,和式In 的极限叫做函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 fx在区间 a , b 上的定积分,记作：bf x dxa,即bf xdxalimnnfi 1 i x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a , b 叫做积分区间,函数fx叫做被可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点积函数, x 叫做积分变量,fxdx叫做被积式.1m 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本的积分公式：0dxxm dxxm1 C. C（ m Q, m 1）.x dx lnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e x dxe xxaa x dxcos xdxsinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C. C. ln a C. sinx C. cosx C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（表中 C 均为常数）.2. 定积分的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bkf x dx abkf x dxa（ k 为常数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x ag xdxbf xdxabg xdxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxacf xdxabf xdxc（其中 a c b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线x a, x b（a<b）, x 轴及一条曲线y f （x ） fx 0 围成的曲边梯的面积bSf xdxa.假如图形由曲线y1 f1x, y2 f2x（不妨设f1x f2x0）,及直线x a,x b（ a<b ） 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S 曲 边 梯 形AMNB S 曲 边 梯 形DMNC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1f xdxab2f xdxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 牛顿布莱尼茨公式假如 fx是区间 a,b上的连续函数,并且 F x=fx,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xadxF b F a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【练习题】题型 1：导数的基本运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】 （ 1）求 yxx 211 的导数.3xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）求 yx11x1) 的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）求 yxsinx cos x的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）求 y=x2sin x222的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）求 y 3xxx5xx9 的导数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）yx311 ,y '2x3x22 .x 311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）先化简 , yx1x13x11 xx 2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y '1 x 221 x 22111 .2 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）先使用三角公式进行化简.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxsinx cos xx1 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y'x'1sin x2'1xsin2x'11cos x. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） y = x2 ' sin xsinx2 *2 xsinx'=2 x sinx x2sin 2 xcos x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31（5）y 3x 2 x 9x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y * （ x 2 ） x 1 x 23） *21x 2 * （31 ） x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9x 121 1 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：导数的几何意义【例 2】 已经曲线C： y=x 3 x+2 和点 A1,2 .（1）求在点A 处的切线方程？（2）求过点A 的切线方程？（3） 如曲线上一点Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1,就 Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点坐标为 ,切线方程为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点摸索：导数不存在时,切线方程为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 （ 06 安徽卷）如曲线y x4 的一条切线l 与直线 x4 y80 垂直,就l 的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 4 xy30B x4 y50C 4 xy30D x4 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】 （ 06 全国 II ）过点（ 1, 0）作抛物线yx2x1 的切线,就其中一条切线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A ） 2xy20（ B） 3xy30（C） xy10（D ） xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）与直线x4 y80 垂直的直线 l 为 4 xym0 ,即yx4 在某一点的导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数为 4,而 y00选 A.4 x3 ,所以yx4 在1 ,1 处导数为4,此点的切线为4xy30 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） y2 x1 ,设切点坐标为 x , y ,就切线的斜率为2 x200001 ,且 yxx1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是切线方程为2yx0x012 x01 xx0 ,由于点（1, 0）在切线上,可解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 0 或 4,代入可验正D 正确,选D. 题型 3：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 （ 06 江西卷）对于R 上可导的任意函数f（ x ）,如满意（ x 1） f （x） 0,就必有（）A f （ 0） f（ 2） 2f （ 1）B. f （0） f（ 2） 2f （ 1） C f （ 0） f（ 2） 2f （1）D. f （ 0） f（ 2） 2f （ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】 （ 06 天津卷）函数f x的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a, b 内的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象如下列图,就函数f x 在开区间a, b 内有微小值点（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】 （ 06 全国卷I ）已知函数fx1x e1xax .（）设a0 ,争论yfx的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性.（）如对任意x0,1 恒有 fx1,求 a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）依题意,当x1 时, f （ x） 0,函数 f （ x）在（ 1,）上是增函数.当x 1 时, f （ x ） 0, f（x ）在（,1）上是减函数,故f （ x）当 x 1 时取得最小值,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点有 f （0）f（ 1）, f （ 2） f （1）,应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）函数f x的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a ,b 内的图象如下列图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx在开区间 a,b 内有微小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负到正的点,只有1 个,选 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 3）： fx 的定义域为 ,1 1,+ .对 fx 求导数得f 'x= ax+2 a ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x 2e.2 当 a=2 时, f 'x=2x 2x , f 'x 在 ,0, 0,1和1,+ 均大于 0, 所以 fx 在1 x 2 e ,1, 1,+ .为增函数. 当 0<a<2 时, f 'x>0, fx 在 ,1, 1,+ 为增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a>2 时, 0<a 2a<1, 令 f 'x=0 , 解 得 x1= a 2a, x2=a 2a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时 , f 'x 和 fx 的变化情形如下表:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x , a 2aa 2a,a 2aa2a,11,+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 'xfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 在 , 函数.a 2a, a2a,1, 1,+ 为增函数 , fx 在 a2a,a 2a为减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 0<a 2 时, 由 知: 对任意 x0,1 恒有 fx>f0=1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 a>2 时, 取 x =a 2 0,1,就由 知 fx<f0=1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e02a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a 0 时 , 对任意 x 0,1,恒有 1+x1 x>1 且 ax 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： fx=1+x ax 1+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x e1 x >1. 综上当且仅当a ,2 时 ,对任意x 0,1恒有fx>1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 8】 （ 06 浙江卷）f xx33x22 在区间1,1 上的最大值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点A 2B0C2D4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 9】 （ 06 山东卷） 设函数 fx=2 x33a1) x21,其中 a1. （）求fx 的单调区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间.（）争论fx 的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1） f x3x26x3xx2) ,令f x0 可得 x 0 或 2（2 舍去）,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 0 时 , f'选 C. x0,当 0 x 1 时, fx0,所以当x 0 时, f（ x ）取得最大值为2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由已知得f x6x xa1 ,令f ' x0 ,解得x0, xa1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a1 时,f ' x6x2 ,f x12在 , 上单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,f ' x6 xxa1, f ' x,f x随 x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,000, a1a1 a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f ' x f x+00极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 上 表 可 知 , 函 数a1,上单调递增.f x在 ,0 上 单 调 递 增 . 在 0 ,a1上 单 调 递 减 . 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）知,当a1 时,函数f x没有极值.当a1 时,函数f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 处取得极大值,在xa1处取得微小值1a31 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载