[数形结合时须谨防图形失真]数形结合 图形表示不同的算理.docx

数形结合时须谨防图形失真数形结合 图形表示不同的算理 在数学解题中,数形结合直观、形象、简捷，为我们分析问题、简化解题开拓了一条重要的途径.但在详细问题的解决中，图形的精确性、存在性及数学书写表达的规范与否,都会对解题的正误产生影响.而有些同学在利用图形解题时,由于缺乏对图形的精确性、存在性的相识,致使解题失误屡屡发生.因此,在运用数形结合思想解题的同时必需谨防图形失真. 一、 图形的精确性失真 图形的精确性是运用数形结合思想解题的前提条件之一,即便是草图,也应描绘精确,必要时还需对图形的直观分析给出严密的推理证明. 例1 方程x2=2x实数解的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 错解在同一坐标系内作出函数y=x2和y=2x的图象，如图1所示,它们有两个交点.故选C. 图1 图2 剖析此题由于所作的草图粗糙而导致推断错误. 事实上,当x0时,两图象明显有且只有一个交点;当x0时,考察函数y=x2和y=2x增长“速度”的改变,如图2所示，它们有两个交点,即点(2,4)和点(4,16).综上，选D. 例2 试探讨实数a的取值,指出方程|x2-2|=3x+c何时：（1） 有两个不同的实数解;（2） 有一个实数解;（3） 没有实数解. 错解考虑函数y=|x2-2|的图象与直线y=3x+c交点的状况.如图3，设l1:y=3x+c1,l2:y=3x+c2,l3:y=3x+c3.借助直观图形,可得当cc1或c3cc2时,方程有两个不同的实数解;当c=c3时,方程有一个实数解; 当cc3时,方程没有实数解. 由直线l1:y=3x+c1与曲线y=-x2+2(|x|2)相切于点D,得c1=174; 由直线l2:y=3x+c2过点A(-2,0),得c2=32; 由直线l3:y=3x+c3过点B(2,0),得c3=-32. 故当c174或-32c32时,方程有两个不同的实数解;当c=-32时,方程有一个实数解; 当c-32时,方程有没有实数解. 图3 图4 剖析本题解法和结论都是不正确的.解法中所设的直线l1，l2和l3都是假定虚设的.计算可知点D的坐标是-32,-14,点E的坐是(2-3,62-9),发觉点D，E不在函数y=|x2-2|的图象上.此外，还可算得l3与抛物线还交于另一点(3-2,9-62).这样由于图形失真而导致结论错误. 事实上，如图4,设l4：y=3x+c4与抛物线弧BN相切于点F，则F为32,14,c4=-174.故当c-174时,方程有两个不同的实数解;当c=-174时,方程有一个实数解;当c-174时,方程没有实数解. 二、 图形的存在性失真 用数形结合的方法解题时要留意满意条件的图象是否存在，不能无中生有. 例3 已知在抛物线y2=x上有一条长为a的动弦AB，求AB的中点C到y轴的最短距离. 图5 错解如图5,设抛物线的焦点为F14,0,准线为l：x=-14,ADl于点D,BEl于点E,CHl于点H, 则xC+14=|CH|=12(|AD|+|BE|)=12(|AF|+|BF|)12|AB|=a2,所以xCa2-14,故C到y轴的最短距离dmin=a2-14. 剖析上述解法中不等式取等号的条件为动弦AB过焦点经过抛物线焦点的弦中，以通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）最短，而抛物线y2=x的通径为1因此当a1时，上图是不存在的. 事实上，设动弦AB的中点C为(x,y),A为(x+m,y+n),则B为(x-m,y-n). 于是(y+n)2=x+m,(y-n)2=x-m,(2n)2+(2m)2=a2.消去m，n，可得x=f(y)=y2+a244y2+1. 由此函数的最值，可知当a1时,dmin=2a-14;当a1时,dmin=a24. 例4 是否存在满意下列条件的直线l1和l2: 直线l1l2,l1分别交x，y轴于点A，D，l2分别交x，y轴于点C，B,且BC=16,AC+BD=36; AOCO=12？若存在,求出梯形ABCD的面积;若不存在,说明理由. 图6 错解假设满意条件的直线l1和l2存在.如图6,设OD=a,OA=b,则有OB=2a,OC=2b,3a+3b=36,(2a)2+(2b)2=162, 即a+b=12,a2+b2=64.于是ab=40. 又S梯形ABCD=12ACBD=92ab=180，故满意条件的梯形存在,面积为180. 剖析上述解法假设了直线l1和l2存在,由图形推得面积,从而说明直线存在,这是错误的.这样求出的是图形存在的一个必要而非充分条件. 事实上，将方程组中的式化成b=a-12，代入式得a2-12a+40=0,其判别式