2022年《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案 .docx

精品_精品资料_高等代数专题讨论作业1高等代数专题讨论作业参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、单项挑选题：1-5： BCBDB二、填空题 1、交换. 2、不等价、等价.3、a1a2a1a2 ,且是 A 到 B 的双射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、具有下面性质的自然数的任何集合M 满意：自然数,即 MN .i :1M ; ii: 假如 aM ,就 a 'M .就 M 含有一切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、对于一个与自然数有关的命题T,如 i：如 n=1 时命题 T 正确. ii ：假设命题 T 对 n<k 正确,就能推出命题 T 对 n=k 正确.就命题 T 对一切自然数正确.三、运算题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、解：Aa, b 到Aa, b 的映射一共有 224 个,它们是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: aa,ba , 2 : aa, bb , 3 : ab,ba,4 : ab, ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解：fg xf 3 x233x219 x7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gf xg 3 x133x129 x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、解： 1）在 G 中, 14,41,并且 26,65,52 ,可表为两个不相交的轮换的乘积：14265 .1234561234563261453654121234561234561234563261454631251563241234564631251234564631251234564531622）,3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、证明题1、证明：ACBC ACCBCC ACCCBCCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ACBCACBC AC ACBC BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACCBCCABAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、证明：就于 abab 是由 a 与 b 惟一确定的（即 abab 不会得出以上不同的结果）,且为实数,所以“”是一个代数运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcababcababcababcabcabacbcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,abcabcbcabcbcabcbcabcabacbcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,所以 abcabc ,即“”满意结合律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、证明：当 n=2 时,x1x22x1x2,因此命题对 n=2 正确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=4 时,x1x2x3x4 x1x2 2 x3x4 2 x1x2x3x4 4 ,因此命题对 n=4 正确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可推出命题对n238,n24, n2s ,都正确（ s 为任意自然数）,所以命题对无穷多个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自然数成立.设命题对n=k正确,令Sx1x2xk , Sx1x2xk 1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk 1kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sk 1x1x2xkkxk1,由 归纳假设命题对n=k正确,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sk x1x2xkxk1 kx xxSk 1S,所发x xx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 112kkk11k11 2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x1x2xk 1k 1 x xx,命题对 n=k-1 也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1成立.1 2k 11122321kk111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、当 n=2 时,上述不等式成立,假设21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就111112222k 2k12121k 2k121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23kk1kk1kk1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是对一切 n2 的自然数 n 来说,2221 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、简述题2n1,n02 3nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、答：f n2n , n,赐予证明如下：0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任取 n1, n2Z ,且 n1n2 ,就f n1f n2,f n 是单射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任取 fnN ,如f n 为奇数,就有 n0 ,使f n2n1 与之对应.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f n 为偶数,就有n0 ,使f n2n 与之对应,所以有f n 是满射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f n 是从 Z 到 N 的双射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、答：空集合的幂集不是空集合.应为P.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高等代数专题讨论作业2一、单项挑选题：1-5： DACCB二、填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 a a 2a 2b 22、 abb0 3、f q xq x q f x q f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiii1 1221122i 1i 1i 14、 P1345、 P134三、运算题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1、解：3 x20 x1x20 x1x2 x50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5x5所以原不等式的解集为5,12, .2262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解： f x, y, z3x6 y5z13x12 y55z12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1262125 2 9 x212 y25z299x212 y25z2 9981,即f 2 x, y, z81 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2其中当且仅当3xk,12 y6k3k,5z 125k,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 x21 y2 2kz25329k成立,k 235可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k1 ,所以当 x1 , y1 , z1 时, f 取极大值, f3x6y5z 1 11359 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32max , ,13 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、解：这是一个求具有约束条件abc1 的极值问题,由于它有三个变量a,b, c ,因而不能用消可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元法来解,但111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2c2112122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33222 abc39 ,只有当 abc时等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a b cabc3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以只有当abc1111时,取最小值 27 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、证明题3a2b2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、证明： 右2 xxx 2xx1xx2xxn 1xxn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n23x2x3n1xnx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2x 2x2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xxxx 12n 1n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23nx2x3xnx1x 2x 2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 x , x, x 都是正数,上式变为xxx12nxxx,得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、证明：令cos Acos Bcos C2cos AB sin C12sin 2 Ct ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再令 usin C20 ,得 u 的一元二次方程：22u2cosAB u1t 20 ,由于 uR,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4cos 2 AB81t0,所以t1 cos2 AB1113,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cAosBc 3 .o C2scos2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、证明：由于a1, a2 , an 是等差数列,就 a1a2n a1an2an ,就均值不等式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n a aaa1a2a1an nan2a1an,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2nnn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又： a1 ana2ann1 , a1ana3an2 , a1ananan,122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a1an 2a1a2an 1an ,所以a1ann a1a2an 1an,故结论得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、简述题1、答：设函数f x 在某区间上定义,对于区间上的任意两点x1, x2 ,都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f q1x1q2x2q1 f x1q2 f x2 ,其中q1, q20,q1q21,就称f x 在该区间上是下凸函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法.高等代数专题讨论作业3一、单项挑选题：1-5： BDDAC二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、1,3, 5, 72、假如 d 是 a 与 b 的公因式,且有c a, c b,均有 c d . 3、代数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、15、-4, 2（重根） 三、运算题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kkkk2 m2 k2m1 kkkk k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、证： 1）如1 ,2R,就1212R,121 2R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m12m22m12m22m1 m22m12m22 m1 2m2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 1120R ,故 R 是有单位元素 1 的数环,因而是整环.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）2nnZ 为 R 中全部可逆元素.2n pnZ, p 为奇素）为 R 中全部不行约元素.22、解： Zabi 是 Zi 的可逆元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11有ZZi , 使ZZ1221ZZ1Za 2b 21a0, b1或b0, a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Z1,i, 反之,1,i 是 Z i 的可逆元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,1,i 是Z i 的全部可逆元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、证明题1、证明：第一Q x是整环,零抱负是主抱负,设I 是 Q x的任一非零抱负,p x 是 Q x中次数最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_低的多项式,就对任意f xI 有 q x, r xQ x ,使f xp x q xr x,其中r x0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r x 的次数 <p x 的次数,由f x,p xI 知 r xI ,如r x0 就r x的次数 <p x 的次数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这与 p x 是 Q x 中次数最低的多项式冲突,故必有r x0 ,从而f xpxqx ,这就证明白 I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是由 p x 生成的主抱负.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、证：如a, b, c 之中有零或单位,易见结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨设a,b,c 都既非零也非单位,由于a bc ,所以有dR, 使bc=ad ,将b,c,a 都分解为不行约元素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 乘 积 , 如 d 非 单 位 也 将 其 分 解 ：bb1bs , cc1ct , aa1ak ,dd1dl, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1bsc1t c1ak a 1d ,l由因d 式分解的惟一性,每个ai 都与等式左边的一个因子相伴,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, b1 ,所以ai 不与任何一个bj 相伴,适当调整因子的次序,不妨设a1, ak分别与c1, ct 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_伴,于是可知 a c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、证：由f xg x 可知,a bg1x,f1 xbg1 x ,因g1 x,f1 x是本原多项式,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, g1 x1,f1 x, b1 ,由上第 2 题结论知：a b, g1 xf1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 、证：设f xaa xa xn, g xbb xb xn ,如从代数观点动身f xg x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01n01n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就它们相应系数有以下关系：aibi , i0,1,2, n ,明显它们在任意点的函数值也相同,即从函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_论观点动身f xg x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之,如从函数论观点动身f xg x ,就f xgxabab xabxn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0011nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时域 F 中全部元素都是f xgx 的根.但是f xg x 是一个次数不超过n 的多项式,在F 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_至多有 n 个根,而前述f xgx 有无限多个根,这个冲突证明必有aibi , i0,1,2, n ,即从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代数观点有f xg x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、简述题1、答：定义 3.8 ：设 R 是一个整环,假如R 中每一个不等于的非单位元素 a 均可写成：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac1c2cn , 其 中c1, c2 , cn是 不 可 约 元 素 , 并 且 如 果 仍 有ad1d2dm , 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d1, d2, dm 也是不行约元素,就必有nm ,且适当调整R 是因式分解惟一环.ci 的次序后,有 cidi , i1,2, n ,就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、答：定理 3.15 ：任何实系数nn0 次多项式至少有一个复数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高等代数专题讨论作业4一、单项挑选题：1-5： BDCAA二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r21、r1. r2 .6rkr k .2、 C6 2 12126.111113、 N 55.1441.2.3.4.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 C3 6 128 ,三、运算题2.3.1.605、f nf n1f n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、解：把 n 辆小轿车视为一辆,与m 辆大卡车排队有 m1. 种方法,而小轿车又有n. 种停放方法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以一共有m1. n. 种停放方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、解：用相同元素的重复排列公式：nr1r2, 其中r1=4, r23 ,不同的摆法有：n.7.35r1 . r2 .4.3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种.3、解：绽开合并同类项后共有：绽开后每一项都是5 次多项式,它的不同项实际上是从6 个元素中取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 个元素的方法数c,即为C56 5 110.5.5.28 项,而a 2b 2 c 的系数为：从 3 元素a,b,c 中取 2 个 a, 2 个 b, 1 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.5432130 ,所以2.2.1.2121 1a2b2c 的系数为 30.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 、 解 ： 设Ak 表 示 能 被 k整 除 而 不 大 于 2022的 自 然 数 集 合 k5 , 7 , 1, 这 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20222022A5400, A7285,57可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2022 181, AA 2022 57, AA 2022 36, AA 2022 25 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11575117111157511711可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A5A7A11202257115 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据定理 4.8 ： A5A7A114002851815736255753可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、解：用递推公式：f nf n1f n2 ,f 11, f22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对楼梯作归纳：当n1 ,只有一个台阶,只有一种走法f 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 ,可以一步一阶,也可一步两阶,f 22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n3,可一步一阶,也可一步两阶一阶或一阶两阶,f 3f 2f 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 4f 3f 25,f 5f 4f 38,f 6f 5f 413 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 7f 6f 521,f 8f 7f 634,f 9f 8f 755 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 10f 9f 889,f 11f 10f 9144 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、解：设 A参与四百米的人 , B参与跳远的人,C参与铁饼的人 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品