2022年第二章知识点总结 2.docx

精品_精品资料_其次章行列式学问点总结a11a21a12a22a1na2 nnan1an2ann一行列式定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、n 级行列式aij（ 1）等于全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积a1 j a2 janj（2）的代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n数和,这里j1 j2j n 是一个 n 级排列.当j1 j 2jn 是偶排列时,该项前面带正号.当j1 j2jn 是奇排列时,该项前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面带负号,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aij1 j1 j2jna1 ja2 janj .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a21a12a22a1na2nan1an 2j1 j2jnannn12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等价定义a 1 i1i2in a aa和 a 1i1i 2in j1 j 2jn aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ij ni1 i2ini11i2 2i nnij ni1i2in 和j1 j2j ni1 j1i2 j2in jn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、由 n 级排列的性质可知, n 级行列式共有占一半.4、常见的行列式1） 上三角、下三角、对角行列式n. 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a22a11a220a11a22a11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0annannann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 副对角方向的行列式a1n0a1 na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaan n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 12,n 12,n 1 12aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n2,n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an103） 范德蒙行列式：an1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a11a21an2a12a22an1 j i naia j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an 1an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12nn2二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、互换行列式的两行（列） ,行列式变号.3、行列式中某一行（列）中全部的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式.即：某一行（列）中全部的元素的公因子可以提到整个行列式的外面.4、如行列式中有两行成比例,就此行列式等于零.5、如某一行（列）是两组数之和,就这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行（列）以外全与原先行列式的对应的行（列）一样.6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上,行列式不变.三、行列式的按行（列）绽开1、子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 余子式：在 n 级行列式Daij中,去掉元素aij所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n-1 级行列式称为aij的余子式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作 M ij .2） 代数余子式： A 1i j M 称为 a的代数余子式.ijijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） k 级子式：在 n 级行列式Daij中,任意选定 k 行和 k 列 1kn ,位于这些行列交叉处的k2 个元素,按原先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次序构成一个 k 级行列式M ,称为 D 的一个 k 级子式.当 kn 时,在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素依据原来的次序组成的 nk 级行列式 M称为 k 级子式 M 的余子式.2、按一行（列）绽开1） 行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按第 i 行绽开Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain i1,2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按第 j 列绽开Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj j1,2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ai 1 Aj 1ai 2 Aj 2ain Ajn0ij ; 或 a1i A1 ja2 i A2 jani Anj0, ij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、按 k 行（ k 列）绽开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行（ k 列） 1kn1 ,由这 k 行（ k 列）元素组成的全部的k 级可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值.4、其他性质1） 设 A 为 n 阶方阵,就 AA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 设 A 为 n 阶方阵,就kAkn A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 设A, B 为 n 阶方阵,就 ABAB ,但 ABAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA04） 设 A 为 m 阶方阵,设 B 为 n 阶方阵,就AB ,但 ABAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0BBa11a1nb11b1nc11c1 n其中cijan1an1bn1bn1cn1cn15） 行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、行列式的运算ai 1b1 jai 2b2 jainbnj , i, j1,2,n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、运算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等.详细运算时需要依据等到式中行（或列）元素的特点来挑选相应的解题方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法.用直接递推法的关键是找出一个关于Dn 1 的代数式来表示Dn ,依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 D1D2D3D4Dn ,逐级递推便可以求出Dn 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二： 数学归纳法. 第一步发觉和猜想. 其次步证明猜想的正确性.其次步的关键是第一要得到Dn 关于Dn 1 和 Dn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的递推关系式.方法三： 加边法. 加边法是将所要运算的n 级行列式适当的添加一行一列（或 m 行 m 列） 得到一个新的n+1（或 m+1 ） 级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1 （或 m+1 ）级行列式较易运算.其一般做法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11a1n1a1ana11a1n100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1an10a110an1a1n或an1an1an1b1a11b1an1a1nan1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特别情形取 a1a2an1或 b1b2bn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法四：拆行（列）法.将所给的行列式拆成两上或如干个行列式之和,然后再求行列式的值.拆行（列）法有两种情形：一是行列式中有某行（列）是两项之和,可直接利用性质拆项.二是所给行列式中行（列）没有两项和形式, 这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和.方法五：析因子法. 假如行列式 D 中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式,那么可以将行列式D 当作一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多项式f x ,然后对行列式f x 实行某些变换, 求出f x 的互素的一次因式, 使得f x 与这些因式的乘积g x 只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相差一个常数因子c,依据多项式相等的定义,比较f x 与的g x某一项系数,求出c 值,便可求得Dcgx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、行列式运算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式 （非零元分布在两条线上,例如,等等）.注：“两条线”型行列式一般实行直接绽开降阶法运算,或用拉普拉斯定理绽开,降阶后的行列式或为三角形行列式, 或得到一个递推公式.类型二：“三条线”行列式 （非零元分布在三条线上） .（ 1）“三对角”行列式 （,）.注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一得到一个一般的递推公式DnpDn 1qDn2 ,然后可以用以下两种方法之一求出Dn 的表达式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先运算D1 , D2 , D3 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于Dn 和Dn 1 的方程组,从而消去Dn 1 就可解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 Dn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）“爪型”行列式 （）.注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子,然后化为上（下）三角形行列式进行求解.（ 3） Hessenerg 型行列式 （）.类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式.注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解.类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式.注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解.类型五：可利用范德蒙行列式运算的行列式.类型六：其他形式行列式.五、克莱姆法就1、克莱姆法就：假如含有n 个未知量的 n 个方程的线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11x1 a21 x1an1 x1a12 x2 a22 x2an 2 x2a1n xn a2n xnann xnb1b2的系数行列式不等于零,即bna11Dan1a1n0 ,an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就方程组有唯独解：xD1 , xD2 , xDn12nDDD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Dj j1,2,n 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、含 n 个未知量的 n 个方程的齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11x1 a21x1a12 x2 a22 x2a1n xn a2n xn00只有零解的充要条件是系数行列式D0 .有非零解的充要条件是系数行列式D0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1 x1an2 x2ann xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载