2022年高等数学教案函数与极限.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一章 函数与极限目录第 I 条§1. 1映射与函数 . I-4节 1.01一、集合 . I-4a1. 集合概念 . I-4b2. 集合的运算 . I-4c3. 区间和邻域 . I-5节 1.02二、映射 . I-6a1. 映射的概念 . I-6节 1.03三、函数 . I-7a1. 函数概念 . I-7b2. 函数的几种特性. I-9c3反函数与复合函数. I-11d4. 函数的运算 . I-12e5. 初等函数 . I-12第 II条§12数列的极限. I I-14第 III条§ 13函数的极限. III-19节 3.01一、函数极限的定义. III-191自变量趋于有限值时函数的极限. III-192自变量趋于无穷大时函数的极限. III-21二、函数极限的性质. III-22第 IV条§14无穷小与无穷大. I V-24节 4.01一、无穷小 . I V-24节 4.02二、无穷大 . I V-25第 V 条§16极限运算法就.V-27第 VI条§1 7 极限存在准就两个重要极限. VI-32第 VII条§18函数的连续性与间断点. VII-36节 7.01一、函数的连续性.VII-36节 7.02二、函数的间断点.VII-38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 VIII条§1 9连续函数的运算与初等函数的连续性. V III-39节 8.01一、连续函数的和、积及商的连续性. V III-39节 8.02二、反函数与复合函数的连续性. V III-39节 8.03三、初等函数的连续性. V III-41第 IX条§110闭区间上连续函数的性质. IX-43a一、最大值与最小值. IX-43节 9.02二、介值定理. IX-43教学目的：1、懂得函数的概念, 把握函数的表示方法, 并会建立简洁应用问题中的函数关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、明白函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念.4、把握基本初等函数的性质及其图形.5、懂得极限的概念,懂得函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系.6、把握极限的性质及四就运算法就.7、明白极限存在的两个准就,并会利用它们求极限, 把握利用两个重要极限求极限的方法.8、懂得无穷小、无穷大的概念,把握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9、懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.10、明白连续函数的性质和初等函数的连续性,明白闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质.教学重点：1、复合函数及分段函数的概念.2、基本初等函数的性质及其图形.3、极限的概念极限的性质及四就运算法就.4、两个重要极限.5、无穷小及无穷小的比较.6、函数连续性及初等函数的连续性.7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、 分段函数的建立与性质.2、 左极限与右极限概念及应用.3、 极限存在的两个准就的应用.4、 间断点及其分类.5、 闭区间上连续函数性质的应用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 I 条 §1. 1映射与函数节 1.01一、集合(a) 1. 集合概念集合简称集 :集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示 .元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 aM.集合的表示 :列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来.例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 如集合 M 是由元素具有某种性质P 的元素 x 的全体所组成 , 就 M 可表示为A a1, a2, an,M x | x 具有性质 P .例如 M x, y| x, y 为实数, x2y21.几个数集 :N 表示全部自然数构成的集合, 称为自然数集 . N0, 1, 2, n,. N1, 2, n,.R 表示全部实数构成的集合, 称为实数集 .Z 表示全部整数构成的集合, 称为整数集 . Z,n,2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示全部有理数构成的集合, 称为有理数集 .p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q| p qZ ,qN且p与q互质 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_子集: 如 xA,就必有 xB, 就称 A 是 B 的子集 , 记为 AB读作 A 包含于 B或 BA .假如集合 A 与集合 B 互为子集 , AB 且 BA, 就称集合 A 与集合 B 相等, 记作AB.如 AB 且 A B, 就称 A 是 B 的真子集 , 记作 AB . 例如, NZQR .不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集.(b) 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合 , 由全部属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的并集简称并 ,记作 AB,即AB x|xA 或 xB.设 A、B 是两个集合 , 由全部既属于A 又属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的交集简称交 ,记作 AB,即AB x|xA 且 xB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设 A、B 是两个集合 , 由全部属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B的差集简称差 ,记作 A B, 即A B x|xA 且 xB.假如我们争论某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所争论的其他集合A 都是I 的子集 . 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补集 , 记作 AC.集合运算的法就 :设 A、B、C 为任意三个集合 , 就1交换律 ABBA, AB BA;2结合律ABCABC, ABCABC;3安排律ABCACBC, ABCACBC;4对偶律ABCACBC , ABCACBC. ABCACBC 的证明 :xABCxABxA 且 xBxA C 且 xBCxACBC, 所以ABCACBC.直积笛卡儿乘积 :设 A、B 是任意两个集合 , 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对 x, y, 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积 , 记为 A B, 即AB x, y|xA 且 yB.例如, RR x, y| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合 , RR 常记作 R2.(c) 3. 区间和邻域有限区间 :设 a<b, 称数集 x|a<x<b 为开区间 , 记为a, b, 即a, b x|a<x<b.类似的有 a, b x | axb 称为闭区间 , a, b x | a x<b 、a, b x | a<xb 称为半开区间 .其中 a 和 b 称为区间 a, b、a, b 、 a, b、a, b 的端点 , b a 称为区间的长度 .无限区间 : a, x | a x , , b x | x < b , , x | | x | <.区间在数轴上的表示 :邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 Ua.设 是一正数 , 就称开区间 a, a为点 a 的 邻域, 记作 Ua,即Ua, x | a< x < a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - x | | x a|< .其中点 a 称为邻域的中心 ,称为邻域的半径 .去心邻域 U a,:U a, x |0<| xa |< 节 1.02二、映射a1. 映射的概念定义 设 X、Y 是两个非空集合 , 假如存在一个法就f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法就 f, 在 Y 中有唯独确定的元素y 与之对应 , 就称 f 为从 X 到 Y 的映射 , 记作f : XY ,其中 y 称为元素 x在映射 f 下的像, 并记作 fx, 即yfx,而元素 x 称为元素 y在映射 f 下的一个原像 ; 集合 X 称为映射 f 的定义域 , 记作 D f , 即D fX ;X 中全部元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为 R f, 或 fX,即R ffX fx|xX.需 要 注 意 的 问 题 : 1构成一个映射必需具备以下三个要素: 集合 X, 即定义域 D fX; 集合 Y, 即值域的范畴 : R fY; 对应法就 f, 使对每个 xX, 有唯独确定的 y fx与之对应 .2对每个 xX, 元素 x 的像 y 是唯独的 ; 而对每个 yR f, 元素 y 的原像不肯定是唯独的 ; 映射 f 的值域 R f 是 Y 的一个子集 , 即 R fY, 不肯定 R fY .例 1 设 f : RR, 对每个 xR, fxx2.明显, f 是一个映射 , f 的定义域 D f R, 值域 R f y|y 0, 它是 R 的一个真子集 . 对于 R f 中的元素 y, 除 y 0 外, 它的原像不是唯独的 . 如 y 4 的原像就有 x 2 和 x 2 两个.例 2 设 X x, y|x2y21, Y x, 0|x| 1, f : XY, 对每个 x, yX, 有唯独确定的x, 0Y 与之对应 .明显 f 是一个映射 , f 的定义域 D fX, 值域 R fY. 在几何上 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间 1, 1上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 f : , 221, 1, 对每个 x, , fxsin x .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 是一个映射 , 定义域 D f满射、单射和双射 :, , 值 域 R f1, 1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射 , 如 R fY, 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像, 就称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射 ; 如对 X 中任意两个不同元素x 1x 2, 它们的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -像 fx 1fx 2,就称 f 为 X 到 Y 的单射 ; 如映射 f 既是单射 , 又是满射 , 就称 f 为一一映射或双射 .上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设 f 是 X 到 Y 的单射 , 就由定义 , 对每个 yR f , 有唯独的 xX, 适合 fxy, 于是, 我们可定义一个从R f 到 X 的新映射 g, 即g : R fX,对每个 yR f , 规定 gyx,这 x 满意 fxy. 这个映射 g 称为 f 的逆映射 , 记作 f1, 其定义域 D f 1R f , 值域 R f 1X .按上述定义 , 只有单射才存在逆映射 . 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射g : XY 1,f : Y 2Z,其中 Y 1 Y 2. 就由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法就 , 它将每个 x X 映射成 f gx Z . 明显, 这个对应法就确定了一个从 X 到 Z 的映射 , 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射 , 记作 f o g, 即f o g: XZ,f o gxf gx, xX .应留意的问题 :映射 g 和 f 构成复合映射的条件是 : g 的值域 R g 必需包含在 f 的定义域内 , R g D f . 否就, 不能构成复合映射 . 由此可以知道 , 映射 g 和 f 的复合是有次序的 , f o g 有意义并不表示 g o f 也有意义 . 即使 f o g 与 g o f 都有意义 , 复映射 f o g 与 g o f 也未必相同.例 4 设有映射 g : R1, 1,对每个 xR, gxsin x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_映射 f : 1, 10, 1,对每个 u1, 1,f u1u2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就映射 g 和 f 构成复映射 f o g: R0, 1,对每个 xR, 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fgxf gxf sin x1 sin 2 x|cosx| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_节 1.03三、函数(a) 1. 函数概念定义 设数集 DR, 就称映射 f : DR 为定义在 D 上的函数 , 通常简记为yfx, xD,其中 x 称为自变量 , y 称为因变量 , D 称为定义域 , 记作 D f, 即 D fD.应留意的问题 :记号 f 和 fx的含义是有区分的 , 前者表示自变量x 和因变量 y 之间的对应法就 ,而后者表示与自变量x 对应的函数值 . 但为了表达便利 , 习惯上常用记号“ fx, xD”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -或“ y=fx, xD”来表示定义在D 上的函数 , 这时应懂得为由它所确定的函数f .函数符号 : 函数 yfx中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母 , 例如“ F”,“ ”等. 此时函数就记作 yx, yFx.函数的两要素 :函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域 D f 及对应法就 f . 假如两个函数的定义域相同, 对应法就也相同 , 那么这两个函数就是相同的 , 否就就是不同的 .函数的定义域 :函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数, 依据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数 y1xx24的定义域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使函数有意义 , 必需 x0, 且 x24 0.解不等式得 | x |2.所以函数的定义域为D x | | x | 2,或 D, 22,.单值函数与多值函数 :在函数的定义中, 对每个 xD, 对应的函数值 y 总是唯独的 , 这样定义的函数称为单值函数 . 假如给定一个对应法就 , 按这个法就 , 对每个 xD, 总有确定的 y 值与之对应 , 但这个 y 不总是唯独的 , 我们称这种法就确定了一个多值函数. 例如, 设变量 x 和 y 之间的对应法就由方程x2 y2r2 给出 . 明显 , 对每个xr , r ,由方程 x2y2r2,可确定出对应的 y 值, 当 x r 或 xr 时, 对应 y0 一个值 ; 当 x 取r , r 内任一个值时 , 对应的 y 有两个值 . 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数 , 往往只要附加一些条件 , 就可以将它化为单值函数 , 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支 . 例如, 在由方程 x2 y2 r2 给出的对应法就中 , 附加“ y 0”的条件 , 即以“ x2 y2 r 2 且 y 0”作为对应法就 , 就可得到一个单值分支可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1xr 2x2; 附加“ y0”的条件 , 即以“ x2y2r 2 且 y0”作为对应法就 , 就可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到另一个单值分支yy2 xr 2x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法公式法,这在中学里大家已经熟识 . 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 Px, y|y fx, xD称为函数 yfx, xD 的图形 . 图中的 R f表示函数 yfx的值域 .函数的例子 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例. 函数 y|x |xx0 .xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为肯定值函数 . 其定义域为 D, 值域为 R f0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例. 函数 ysgn x1x00 x0 .1 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为符号函数 . 其定义域为 D, 值域为 R f1, 0, 1.例设 x 为任上实数 . 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分 , 记作 x .函数y x 称为取整函数 . 其定义域为 D, 值域为 R fZ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5 70 ,2 1 , 3, 11, 3. 54.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分段函数 :在自变量的不同变化范畴中, 对应法就用不同式子来表示的函数称为分段函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例. 函数 y2x0x 1.1xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是一个分段函数 , 其定义域为 D0, 10,0,.当 0x1 时,y2x ; 当 x>1 时, y1 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如 f 1 21222 ;f 1212 ; f31 34.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(b) 2. 函数的几种特性1函数的有界性设函数 fx的定义域为 D, 数集 X D. 假如存在数 K1, 使对任一 x X, 有 fx K1, 就称函数 fx在 X 上有上界 , 而称 K1 为函数 fx在 X 上的一个上界 . 图形特点是 y fx 的图形在直线 y K1 的下方 .假如存在数 K2, 使对任一 xX, 有 fxK2, 就称函数 fx在 X 上有下界 , 而称 K2为函数 fx在 X 上的一个下界 . 图形特点是 , 函数 yfx的图形在直线yK2 的上方 .假如存在正数 M, 使对任一 x X, 有| fx | M, 就称函数 fx在 X 上有界 ; 假如这样的 M 不存在 , 就称函数 fx在 X 上无界 . 图形特点是 , 函数 y fx的图形在直线y M 和 y M 的之间 .函数 fx无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| fx | > M.例如1fxsin x 在,上是有界的 : |sin x|1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 44 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数界.f x1 在开区间 0, 1内是无上界的 . 或者说它在 0, 1内有下界 , 无上x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这是由于 , 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0x11M1 , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x11M ,x1可编辑资料 - -