概率论与-数理统计答案~第四版第2章-(浙大~).doc

-_1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付 20 万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无 需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其他愿意死亡的 概率为 0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设 X 为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球，以 X 表示取出的三只中 的最大号码，写出随机变量的分布律.解：方法一: 考虑到 5 个球取 3 个一共有 =10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。35设样本空间为 SS=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3= ；PX=4= ；PX=5= ；1 103 106 10方法二：X 的取值为 3,4,5当 X=3 时，1 与 2 必然存在 ，PX=3= = ;22351 10当 X=4 时，1,2,3 中必然存在 2 个， PX=4= = ；23353 10当 X=5 时，1,2,3,4 中必然存在 2 个， PX=5= = ；24356 10(2)将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律. 解：PX=1= P (第一次为 1 点)+P（第二次为 1 点）- P（两次都为一点）= =；1 6+1 6-1 36 1136PX=2= P (第一次为 2 点，第二次大于 1 点)+P（第二次为 2 点，第一次大于 1 点）- P（两次都为 2 点）= =；1 6×5 6+1 6×5 6-1 36 9 36PX=3= P (第一次为 3 点，第二次大于 2 点)+P（第二次为 3 点，第一次大于 2 点）- P（两次都为 3 点）X345 1/103/106/10X345 1/103/106/10-_= =；1 6×4 6+1 6×4 6-1 36 7 36PX=4= P (第一次为 4 点，第二次大于 3 点)+P（第二次为 4 点，第一次大于 3 点）- P（两次都为 4 点）= =；1 6×3 6+1 6×3 6-1 36 5 36PX=5= P (第一次为 5 点，第二次大于 4 点)+P（第二次为 5 点，第一次大于 4 点）- P（两次都为 5 点）= =；1 6×2 6+1 6×2 6-1 36 3 36PX=6= P (第一次为 6 点，第二次大于 5 点)+P（第二次为 6 点，第一次大于 5 点）- P（两次都为 6 点）= =；1 6×1 6+1 6×1 6-1 36 1 36X123456 11/369/367/365/363/361/363.设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样. 以 X 表示取出的次品的只数.(1)求 X 的分布律.解：PX=0= = ;3 133 15 22 35PX=1= = ;2 13 1 23 1512 35PX=2= = ;1 132 23 151 35X012 22/3512/351/35(2)画出分布律的图形.22/3512/351/35 0.00_0.10_0.20_0.30_0.40_0.50_0.60_0.70_分分布布律律图图形形XPX=k012-_4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为 p，失败概率为 q=1-p（03,即P（X > 3）= 1 P（X 3）= 1 P（X = 0） P（X = 1） P（X = 2） P（X = 3）= 1 4 4 442 42!43 43!= 1 71 3 4= 0.566513.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） 。 （1） 求某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率； （2）求某一天中午 12 点至下午 5 点至少收到 1 次紧急呼叫的概率。 解： (1)设某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率为 P，时间间隔长度 t=3， 依题意有P（X = 0）=(2)t 2!=(32)03 20!= 3 2= 0.2231-_(2)依题意，即 X1，时间间隔长度 t=5，则P（X 1）= 1 P（X = 0）= 1 (2)t 2!= 1 (52)05 20!= 1 5 2= 0.917914.某人家中在时间间隔 t（小时）内接到电话的次数 X 服从参数为 2t 的泊松分布。 （1）若他在外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？ （2）若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长时间是多少？ 解： (1) 设其间有电话铃响一次的概率为 P，t=1/6，依题意有P（X = 1）=(2) 2!=(13)11 31!=1 31 3= 0.2388(2) 外出时没有电话的概率至少为 0.5, 即为P（X = 0） 0.5P（X = 0）=(2) 2!=(2)0 20! 0.5即 2 0.5求解得（小时） 1 2ln2 = 0.3466即外出时间不得超出 20.79 分钟.15.保险公司在一天内承保了 5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同 有效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为 0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万 元的概率（利用泊松定理计算） 。 解：设投保人在一年内死亡人数为 X,则 Xb（5000,0.0015） ，若公司赔付不超过 30 万元，则死亡人数不该超过 =10 个人，30 3PX10=10 = 0( 5000)(0.0015)(0.9985)5000 -_根据泊松定理，=np=5000×0.0015=7.5PX10.10 = 07.5 7.5 != 0.862216.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概 率为 0.0001。在某天的该时间段内有 1000 辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于 2 的概率 是多少？（利用泊松定理计算） 解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为 X，则 Xb（1000,0.0001） ， 所求为 PX2=1-PX=0-PX=1. 其中，根据泊松定理，=np=1000× 0.0001 = 0.1.PX=k=.(1 ) !所以，PX2=1-PX=0-PX=11- 0.1 0.1× 0.1 = 0.0047.17.（1）设 X 服从（0-1）分布，其分布律为 PX=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求 X 的分布函数， 并作出其图形。 （2）求第 2 题（1）中的随机变量的分布函数。 解： （1）X 服从（0-1）分布，即，当 X=0，；当 X=1，= 1 = .当 x 0， 0， 0.?（1）P至多 3 分钟. （2）P至少 4 分钟. （3）P3 分钟至 4 分钟之间. （4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟. （5）P恰好 2.5 分钟. 解：（1）P至多 3 分钟=PX3=（3）=1- =1- 0.4 3 1.2（2）P至少 4 分钟=PX4=1-PX4=1-（4）= 0.4 4 1.6（3）P3 分钟至 4 分钟之间=P3X4=（4）-（3）=（1-）-（1- 0.4 4）=- 0.4 3 1.2 1.6（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟=PX3UX4=PX3+PX4=（1-）+ 1.2 1.6=1+- 1.6 1.2（5）P恰好 2.5 分钟=PX=2.5=020.设随机变量 X 的分布函数为（x）=0，1 ，1 ， 1， .?（1）求 PX2，P0X3，P2X2.5. （2）求概率密度（x）.解：（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得 PX2=（2）=ln2-_P0X3=（3）-（0）=1-0=1P2X2.5=（2.5）-（2）=ln2.5-ln2=ln1.25（2）根据概率密度的定义可得（x）=（x）1 ，1 0，其他?21.设随机变量 X 的概率密度为（1）f（x）=2（1 12），1 2 0，其他.?（2）f（x）=，0 1， 2 ，1 2， 0，其他?求 X 的分布函数 F（x） ，并画出（2）中 f（x）及 F（x）的图形.解：（1）F（x）=P（Xx）= （t）dt当 x1 时，F（x）=0 0dt当 1x2 时，F（x）=+ =2（x+ -2）1 0dt12（1 12）dt1 当 2x 时，F（x）=+ =11 0dt212（1 12）dt20dt故分布函数为 F（x）=0，1 2（x +1 - 2），1 x 2 1，2?（2）F（x）=P（Xx）= （t）dt当 x0 时，F（x）=0 0dt当 0x1 时，F（x）=+ =0 0dt0dt2 2当 1x2 时，F（x）=+=2x- -10 0dt10dt1（2 ）dt2 2当 2x 时，F（x）=+ =10 0dt10dt21（2 ）dt20dt故分布函数为 F（x）=0，x0 2 2，0 x12x - 2 2 - 1，1 x2 1，2 x?F（x）和 F（x）的图形如下-_22.（1）分子运动速度的绝对值 X 服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其概率密度为：f（x）=2 2/， > 0, 0, 其他.?其中 b=m/(2kT)，k 为玻尔兹曼常数，T 为绝对温度，m 是分子的质量，试确定常数 A。（2）研究了英格兰在 1875 年1951 年期间，在矿山发生导致不少于 10 人死亡的事故的 频繁程度。得知相继两次事故之间的时间 T（日）服从指数分布，其概率密度为（t）=1 241 /241， > 0,0, 其他.?求分布函数 F(t)，并且求概率 P（500 时，（）= （t） = 0 +01 241 /241 = 1 241故所求的分布函数为（t）= 1 241， > 0, 0, 其他.?而 P50 1000,0, 其他.?现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立） ，任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命 大于 1500 小时的概率是多少？-_解：任取一只该种器件，其寿命大于 1500h 的概率为P= 150010002 =1000 | 1500=2 3任取 5 只这种器件，其中寿命大于 1500 小时的只数记为 X，则 Xb(5，).2 3故所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1=1 （1 2 3）2 152 3(1 2 3)4=232 24324.设顾客在某银行的窗口等待服务时间 X(min)服从指数分布，其概率密度为(x)=1 5 /5, > 0,0, 其他.?某顾客在窗口等待服务，若超过 10min，他就离开，他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一 个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y 的分布律，并求 P(Y1). 解：顾客在窗口等待服务超过 10min 的概率为P= 10(x) =101 5 5 = 2故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为，从而 Yb(5,) 2 2那么，Y 的分布律为 PY=k=， k=0,1,2,3,4,5.5( 2)(1 2)5 PY1=1-PY=0=1-=0.5167(1 2)525、设 K 在（0,5）服从均匀分布，求 x 的方程 4+4Kx+K+2=0 有实根的概率。2解：4+4Kx+K+2=0 有实根2即 4（4）2× 4 × （ + 2） 0解得 K 或 K 1 2由题知 K 在（0,5）服从均匀分布 即 0 2 > 3(2)确定 c 使得 > = (3)设 d 满足 > 0.9，问至多为多少?解： = (0,1)(1) 2 2= 2 321 2= (5 2)+ (12)= 0.6977 > 3= 1 - ( 32= 即 3 2> 3 2= 3 2 3 21 - 32 3 2= 3 2 3 2= 0.5即 3 2= 0 可得 = 3(3) > 0.9即 3 2> 3 2 0.9即( 3 2) 0.9即 3 2 1.29即 0.42 则 d 至多为 0.4227、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mmHg 计）服从 N(110，) 分布，在该122地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X，求 (1) 105，100 0.05.解： = (0,1)-_(1) 105= 11012105 110 12= ( 0.417)= 0.3383100 0.05即 110 12> 110 12 0.05即 110 12 0.05.28.由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数 =10.05,=0.06 的正态分布。规定长度 在范围 10.05内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。± 0.12解：设螺栓的长度为 X。 0.12 = 2，根据3法则，产品合格的概率(合格)= (10.05 0.12 10.05 + 0.12)= 95.44% 不合格概率：(不合格) = 1 (合格)= 4.56%29.一工厂生产的某种元件的寿命（h）X 服从参数为的正态分布，若 = 160，（ > 0）要求 P，允许 最大为多少？120 < 200 0.80解：由正态分布图形得，越小时，落在附近的概率越大。 当120 < 200= 160 40 < 160 + 40= 0.8时（40）= 0.9根据标准正态分布表查得， 40 = 1.28 31.20即最大为31.20.30.设在一电路中，电阻两段的电压（V）服从今独立测量了 5 次，试确定 2(120，22)，次测定值落在区间118,122之外的概率。 解：设第 i 次测定值为 Xi， i=1,2,3,4,5，则 Xi-N（120,22）P118Xi122=（）-（）2120-122 2120-118=（1）-（-1）-_=2（1）-1=0.6826PXi【118,122】=1-P118X122=0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi 之间相互独立 若以 Y 表示 5 次测量其测定值 Xi 落在【118,122】之外的个数Yb（5,0.3174）所求概率PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3=0.32043131某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有 80%时间亮红灯，此 时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。等待时间在区间0，30（以秒计）服从均匀分布。以 X 表示他的等待时间，求 X 的分布函数 F（x） 。画出 F（x）的图形，并问 X 是否为连续性 随机变量，是否为离散型的？（要说明理由） 解解 当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为 0，若是亮红灯则等待时间 X 服从均匀分布。记“指示灯亮绿灯”为事件 A。则对于固定的 x0，全概率公式有 = ()+ ()当 0x30 时， = 1 × 0.2 +x 30× 0.8 = 0.2 +2 75当 x30 时， = 1 × 0.2 + 1 × 0.8 = 1 于是得到 X 的分布函数为(x)= x)=0 0 0.2 +2 75 0 < 30 1 0 ?F（x）的图像如图所示因 F(x)在 x=0 处有不连续点，故随机变量 X 不是连续型，又因不存在一个可列的点集，使 得在这个点集上 X 取值的概率为 1，所以随机变量也不是离散型的，X 是混合型随机变量。3232 设 f（x） ，g(x)都是概率密度函数，求证 h（x）=f（x）（1）g（x） ，01 也是一个概率函数。-_解解 因为 f（x） ，g(x)都是概率密度函数，故有f（x）0，g(x)0 且+ - f（x）dx = 1， + - g（x）dx = 1.因 01，故 10，所以有 f（x）0 ， （1）g（x）0，于是 h（x）0.又+ - h（x）dx = + - f（x）dx +（1 ）+ - g（x）dx = +（1 ）=1所以 h（x）是一个概率分布函数。33.33.设随机变量 X 的分布律为 X-2-1013 1 51 61 51 1511 30求 Y=X²的分布律。 解 Y=X²的所有取值为 0，1, 4, 9. = 0= = 0=1 5 = 1= ( = 1)+ = 1 =1 15+1 6=7 30 = 4= = 2=1 5 = 9= = 3=11 30所以 Y 的分配率为 Y0149 1 57 301 511 3034.设随机变量 X 在区间（0,1）服从均匀分布。（1）求的概率密度。eXY （2）求的概率密度。XYln2解：（1）由 X 服从均匀分布可知 其他0101)(xxfX）严格单调递增在（故）恒有在（，1 , 0)(0)( '1 , 0)(xgxgxgyeexx由可得 exy 01)( 'ln)(yyhyyhx-_故 其他）（ 011eyyyfY（2） 由 X 服从均匀分布可知 其他）（0101xxfX）严格单调递减，在（故）上恒有在（，10)(, 02)( '1 , 0ln2)(xgxxgxxgy由可得xyln2021)( ')(22eeyy yhyhx故 00021 )2yyyefyY（35.设 XN(0，1)。（1）求的概率密度。eXY （2）求的概率密度.XY22（3）求的概率密度.XY 解：由 XN(0，1)可知xxyefX2221 ）（1） ）严格单调递增在（故）恒有在（，,-)(0)( ',-)(xgxgxgyeexx由可得 exy 01)( 'ln)(yyhyyhx00021 )(2)(ln2yyyyefyY（2）)21()12()()(22yXPyXPyYPyFY当时，=0，=01y)(yFY）（yfY-_当时，1yeFfFyYYXXyyyyFyyXyPyXP41) 1(21)()()21(21)21 21()21('）（综上101) 1(2141yyyyefyY）（3）eFy yFyfyFyFyXyPyXPyyfyFyyXPyYPyYYXXYYY22 2)(')()()()()(00)(, 0)(0)()(时，时，）（综上 000222yyy yefY）（36、 （1）设随机变量 X 的概率密度为。的概率密度求3XY.),(xxf（2）设随机变量 X 的概率密度为，求的概率密度。 其他00)(xexfx 2XY 解：（1）严格单调递增，在（-)(03)( ')(23xgxxgxxgy)0031)( ')(3231 3yyyhyyhxxy（可得由0),(31)(31 32 yyfyyfY-_（2）y YXXYYYeyyfyFyFyxyPyXPyyfyFyyXPyYPyF21)()()()()(, 00)(, 0)(, 0)()()(22当当综上 00021yyyyefyY）（37、设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ， 0x2²0， 其他 求 Y=sinX 的概率密度 解：X 在（0，）取值Y=sinX 在（0,1）取值当 y0 或 y1 时，f（y）=0当 0y1 时，Y 的分布函数为F(y)=PYy=P0Yy=P0sinXy=P（0Xarcsiny）（-arcsinyX） =P0Xarcsiny+P-arcsinyX= dx+dx02 ² 2 ²= （arcsiny）²+1- （-arcsiny）²1 ²1 ²= arcsiny2 当 0y1 时，f（y）= F（y）= 2 1 ²所求概率密度为：， 0y12 1 ²f（y）=0 ， 其他-_38、设电流 I 是一个随机变量，它均匀分布在 9A11A 之间。若此电流通过 2 的电阻，在其上消耗的功率 W=2I²。求 W 的概率密度。解：电流 I 的概率密度为 f（i）= ，9i11，120 ，其他W=2I² 即 w=g（i）=2i²在 i0 时，g（i）严格单调增加且反函数 h(w)=-12 212g(9)=162 g(11)=242由书中定理（5.2） ，可知 W=2I²的概率密度为f（w）= （- ） ， 162w2421212 2120 ， 其他即f（w）= 162w24214120 ， 其他39、设物体的温度 T（°F）是随机变量，且有 TN（98.6,2） ，已知 Y= （T-32） ，试求 Y（°C）的概率密度。59解：T 的概率密度为 f（t）=e-，-t12 （ 98.6）² 4将 Y 的分布函数记为 F（y） ，则F（y）=PYy=P （T-32）y5 9PT9 5 + 32=95 + 32 （）关于 y 求导得关于 Y 的概率密度f（Y）=f（）×5 9 + 329 5=×e- （9 512 1 45 9 + 32 - 98.6）²f（Y）=e-910 81（ - 37）² 100