竞赛培训专题5---指数函数7728.docx

竞赛培训训专题55-指数函函数、对对数函数数一、计算算：例1.化化简(1) (22)(3)解：(11)x的指数数是所以原式式=1(2)xx的指数数是=0所以原式式=1(3)原原式=例2.若若，求解：因为为所以f(x)+f(1-x)=11=例3.已已知m,n为正整整数，aa>0,a¹1,且求m,nn解：左边边=原式为llogaa(m+n)=llogaamn得m+nn=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nÎN，所所以从而而m=n=2二、比较较大小例1.试试比较与与的大小小解：令11219995=a>0则则¸=所以>例2.已已知函数数f(x)=llogaax (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比比较与的大小小解：f(x1)+f(x2)=llogaa(x1x2)x1,x2ÎR+, (当且仅仅当x1=x2时，取取“=”号号)，当a>11时，有有，即 (当当且仅当当x1=x2时，取取“=”号号)当a>11时，有有，即 (当当且仅当当x1=x2时，取取“=”号号)例3.已已知y1=，y2=，当x为何值值时(1)yy1=y2 (2)yy1>y2 (3)yy1<y2解：由指指数函数数y=3x为增函函数知(1)yy1=y2的充要要条件是是：2xx2-3x+1=x2+2x-5 解得xx1=2,x2=3(2)yy1>y2的充要要条件是是：2xx2-3x+1>>x2+2x-5 解得xx<2或或x>3(3)yy1<y2的充要要条件是是：2xx2-3x+1<<x2+2x-5 解得22<x<3三、证明明例1.对对于自然然数a,b,c (a£b£c)和实实数x,y,z,w若ax=by=cz=700w (11) (2)求证：aa+b=c证明：由由(1)得：把(2)代入得得：abbc=770=22´5´´7,aa£b£c由于a,b,c均不会会等于11，故aa=2,b=5,c=7从从而a+b=c例2.已已知A=6lggp+lggq，其中中p,q为素数数，且满满足q-p=299，求证证：3<<A<44证明：由由于p,q为素数数，其差差q-p=299为奇数数，pp=2,q=311A=6llg2+lg331=llg(226×311)=llg1998410000<19984<<100000故3<<A<44例3.设设f(x)=llogaax (a>0,a¹1)且 (q为锐锐角)，求求证：11<a<155证明：q是锐锐角，从而而a>1又f(115)=siinq+cossq=1故a<115 综合得得：1<<a<155例4.已已知0<<a<1,x2+y=0，求求证：证：因为为0<aa<1，所所以ax>0,ay>0由由平均值值不等式式故四、图象象和性质质例1.设设a、b分别是是方程llog22x+x-3=0和22x+x-3=0的根根，求aa+b及loog2a+2b解：在直直角坐标标系内分分别作出出函数yy=2x和y=loog2x的图象象，再作作直线yy=x和y= -x+3，由由于y=2x和y=loog2x互为反反函数，故故它们的的图象关关于直线线y=x对称，方方程loog2x+x-3=0的根根a就是直直线y= -x+3与与对数曲曲线y=loog2x的交点点A的横横坐标，方方程2xx+x-3=0的根根b就是直直线y= -x+3与与指数曲曲线y=2x的交点点B的横横坐标设y= -x+3与与y=x的交点点为M，则则点M的的横坐标标为(11.5,1.55)，所以a+b=2xM=3 loog2a+2b=2yM=3例6.设设f(x)=mmin(3+，llog22x),其其中miin(pp,q)表示示p、q中的较较小者，求求f(x)的最最大值解：易知知f(x)的定定义域为为(0,+¥)因为y11=3+在(00,+¥¥)上是是减函数数，y2=loog2x在(00,+¥¥)上是是增函数数，而当当y1=y2，即3+=llog22x时，x=4，所所以由yy1=3+和y2=loog2x的图象象可知故当x=4时，得得f(x)的最最大值是是2另解：ff(x)£33+=33- (1) f(x)=llog22x (2)(1)´´2+(2)消消去loog2x，得33f(x)£66，f(x)£22又f(4)=2,故f(x)的最最大值为为2例7.求求函数的的最小值值解：由11-3xx>0得得，x<0,所以函函数的定定义域为为(-¥¥,0)令3x=t,则tÎ(00,1)，于是是故当x= -11时，得得y的最小小值-22+2llog223五、方程程和不等等式例1.解解方程(1)xx+loog2(2x-311)=55(22) 22lgx×xlg22-3××xlg22-21+lgxx+4=0解：(11)原方方程即：logg22x+loog2(2x-311)=55log222x(2x -331)=5 (22x)2-311×2xx=322解得：2x=322, x=5(2)原原方程即即：(22lgx)2-5××2lggx+4=0解得得：x1=1000,xx2=1例2.设设a>0且且a¹1,求证：方程aax+a-x=2a的根不不在区间间-11,1内解：设tt=ax,则原原方程化化为：tt2-2att+1=0 (1)由D=4a2-4³³0得aa³1,即a>1令f(tt)= tt2-2att+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-aa2<0所以f(t)的图图象与横横轴有的的交点的的横坐标标在之外外，故方方程t2-2att+1=0在之之外有两两个实根根，原方方程有两两实根且且不在区区间-1,11内例3.解解方程：lg22x-llgx-22=0 (其中中x表示示不大于于实数xx的最大大整数)解：由x的定定义知，x£x，故原原方程可可变为不不等式：lg2xx-lggx-2££0即-1£llgx£2当-1££lgxx<0时时，llgx= -1，于于是原方方程为llg2x=1 当0£llgx<1时时，llgx=00，原方方程为llg2x=2，均均不符合合lggx=00当1£llgx<2时时，llgx=11，原方方程为llg2x=3，所所以lggx=，当lgxx=2时时，x=1000所以原方方程的解解为x1=例4.当当a为何值值时，不不等式有且只有有一解解：易知知：a>0且且a¹1，设设u=x2+ax+55，原不不等式可可化为(1)当当0<aa<1时时，原不不等式为为 (11)由于当uu³0时时，与均为单单调增函函数，所所以它们们的乘积积也是单增增函数因为f(4)=logg3(2+1)××logg5(4+1)=1所以(11)等价价于u³4,即x2+ax+55³4此此不等式式有无穷穷多解(2)当当a>1时时，不等等式化为为 (22)由f(44)=11知，(2)等等价于00£u£4，即即0£xx2+ax+55£4从上式可可知，只只有当xx2+ax+55=4有有唯一解解即D=a2-4=0，aa=2时时，不等等式0££x2+ax+55£4有有唯一解解x= -1综上所述述，当aa=2时时原不等等式有且且只有一一个解例5.已已知a>0且且a¹1，试试求使方方程有解解的k的取值值范围解：原方方程即即分别解关关于的不不等式、方程得得： (k¹0时时)所以解得得k< -1或00<k<1又当k=0时，代代入原式式可推出出a=0与与已知矛矛盾，故故k的取值值范围为为(-¥¥,-11)U(0,11)- 10 -