2022年高中数学必修知识点总结及经典例题.docx

精品_精品资料_必修 5 学问点总结1、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R 为C 的外接圆的半径,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有abc sinsinsin C2 R 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、正弦定理的变形公式：a2Rsin, b2Rsin, c2Rsin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sina2 R, sinb, sin C2 Rc2R.a : b: csin:sin:sin C .sinabsincsin Cabsinsincsin C（ 正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量. 2、已知两角和一边, 求其余的量. ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形.（一解、两解、无解三中情形）如：在三角形 ABC中,已知 a、b、A（ A 为锐角）求 B.详细的做法是：数形结合思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画出图：法一：把a 扰着 C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点： 当无交点就 B 无解、当有一个交点就 B 有一解、当有两个交点就 B 有两个解.A法二：是算出 CD=bsinA, 看 a 的情形：当 a<bsinA ,就 B 无解当 bsinA<a b, 就 B 有两解当 a=bsinA 或 a>b 时, B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可.CabbsinAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、三角形面积公式：SC1bc sin1ab sin C1ac sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、余弦定理：在C 中,有 a 2b 2c22bc cos, ba 2c22ac cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2a 2b22ab cos C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_225、余弦定理的推论：cosb 2c22bca , cosa2c22acb , cos Ca 2b 2c22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角,求其余的量.2、已知三边求角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如何判定三角形的外形： 设 a 、b 、c 是C 的角、 、C 的对边,就：如 a2b2c2 ,就 C90o .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a 2b 2c2 ,就 C90o .如 a2b2c2 ,就 C90o BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正余弦定理的综合应用：如下列图：隔河看两目标A、B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但不能到达,在岸边选取相距3 千米的 C、D 两点,OOO并测得 ACB=75,BCD=45, ADC=30,O ADB=45A、B、 C、D 在同一平面内 ,求两目标 A、B 之间的距离.此题解答过程略附：三角形的五个“心” . 重心：三角形三条中线交点 .外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 . 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 . 垂心：三角形三边上的高相交于一点 .7、数列：依据肯定次序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）12、递减数列：从第2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1<an）13、常数列：各项相等的数列（即：an+1=an）14、摇摆数列：从第2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、数列的通项公式：表示数列an 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16、数列的递推公式：表示任一项an 与它的前一项an 1 （或前几项）间的关系的公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17、假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,就这个数列称为等差数列,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个常数称为等差数列的公差符号表示:an 1and .注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1d n2, d为常数 2 anan 1an 1 n2 anknb n, k 为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18、由三个数 a , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列,就称为 a 与 b 的等差中项如acb,就称 b 为 a 与 c 的等差中项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19、如等差数列an的首项是a1,公差是 d ,就 ana1n 1 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20、通项公式的变形：aan m d.aan1 d. dana1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1 n1. danam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21、如an是等差数列,且 mnpq （ m 、 n 、 p 、 q*aa）,就 mnapaq .如an是等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差数列,且 2npq （ n、 p 、 q22* ）,就 2anapaq Sn a1ann n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 ： n2. Snna1d 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sna1a2Lan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23、等差数列的前 n 项和的性质： 如项数为2n n*,就 S2nn anan 1,且 S偶S奇 nd,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S奇anS偶an 1*S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如项数为 2n1 n,就S2n12n1 an ,且 S奇S偶an ,S偶（其中 S奇n1na n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S偶n1 an ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24、假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,就这个数列称为等比数列,这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个常数称为等比数列的公比符号表示：an 1anq （注：等比数列中不会显现值为0 的项.同号位上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ anan 1q n2, q为常数 , 且 0 a 2an 1an 1 n2 , an an1 an 10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn acqn c, q 为非零常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数列 an 成等比的充要条件是数列log x an （ x1 ）成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25、在 a 与 b中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,就 G 称为 a 与 b 的等比中项如 G 2ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称 G 为 a 与 b 的等比中项 （注：由 G 2ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a , G , bG 2ab ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26、如等比数列a的首项是 a ,公比是 q ,就 aa qn 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27、通项公式的变形：aa qn m . aa qn 1. q n1a n. q nma n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm1na 1a m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28、如an是等比数列,且 mnpq （ m 、 n 、 p 、 q*）,就amanapaq .如an 是等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列,且 2 npq （ n 、 p 、 q）,就 a2aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*npq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29、等比数列an的前 n 项和的公式： Snna1 q1na1 1qa1anq q sn1a1a2Lan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1q1qs1a1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30、对任意的数列 an 的前n 项和Sn 与通项an 的关系： ansnsn1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 注 ： ana1n1 dnda 1d（ d 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列）如 d 不为 0,就是等差数列充分条件）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差 a 前 n 项和 SAn 2Bndn 2adn d可以为零也可不为零为等差的充要条件如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn2122d 为零,就是等差数列的充分条件.如d 不为零,就是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列. （不是非零,即不行能有等比数列） 附： 几种常见的数列的思想方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的前n 项和为Sn ,在 d0 时,有最大值 .如何确定使Sn 取最大值时的n 值,有两种方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一是求使 a0, a0 ,成立的n 值.二是由 Sd n2 ad n 利用二次函数的性质求n 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1n212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列（指数型函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列前 n 项和公式对应函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列（时为二次函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列（指数型函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们用函数的观点掀开了数列神奇的“面纱”,将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数,为我们解决数列有关问题供应了特别有益的启示.例题： 1、等差数列中,就.分析：由于是等差数列,所以是关于 n 的一次函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一次函数图像是一条直线,就（n,m） ,m,n,m+n, 三点共线,所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0（图像如上） ,这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁.例题： 2、等差数列中,前 n 项和为,如, n 为何值时最大？分析：等差数列前n 项和可以看成关于 n 的二次函数=,是抛物线=上的离散点,依据题意,就由于欲求最大值, 故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为,即当时, 最大.例题： 3 递增数列,对任意正整数 n,恒成立,求分析：构造一次函数, 由数列递增得到：对于一切恒成立, 即恒成立,所以对一切恒成立,设,就只需求出的最大值即可,明显有最大值,所以的取值范畴是：.构造二次函数,看成函数,它的定义域是,由于是递增数列, 即函数为递增函数, 单调增区间为, 抛物线对称轴,由于函数 fx为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置.从对应图像上看,对称轴在的左侧也可以（如图） ,由于此时 B 点比 A 点高.于是,得假如数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和.例如： 1 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,3,. 2n241,.2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公差是两个数列公差d1,d 2 的最小公倍数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 判定和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1 定义法 : 对于 n 2 的任意自然数 , 验证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ananan1an 1为 同 一 常 数 . 2通 项 公 式 法 . 3中 项 公 式 法 : 验 证2an 1anan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1a 2an an2 nN 都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在等差数列an 中 , 有关 Sn 的最值问题： 1 当 a1 >0,d<0 时,满意的项数 m使得sm 取最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am 10大值 . 2当 a1 <0,d>0 时,满意的项数 m使得 sm 取最小值.在解含肯定值的数列最值问题时, 留意转化思想的应用.附： 数列求和的常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 裂项相消法 : 适用于c an an 1其中 an 是各项不为0 的等差数列, c 为常数.部分无理数列、含阶乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的数列等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：已知数列 a n 的通项为 an=解：观看后发觉： an= 111nn, 求这个数列的前 n 项和 Sn.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1sna1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22311n1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 错位相减法 : 适用于anbn其中an 是等差数列,bn是各项不为 0 的等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：已知数列 a 的通项公式为2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nann,求这个数列的前n 项之和sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题设得：sna1a2a3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1 212 223 23n 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即ns =1 212 223 23n 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_234把式两边同乘 2 后得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sn =1 22 23 2n 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 - ,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ns =1 212 223 23n 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2342sn =1 22 23 2n 1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得23nn 1sn1 2222n 2212 nn 1n 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n 112n n2 n 12n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ snn12n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 倒序相加法 :类似于等差数列前n 项和公式的推导方法 .5. 常用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1223331可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） : 1+2+3+.+n=2） 1+3+5+.+2n-1= n23） 12nnn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4）122232n21 nn612n15）1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn21112nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6）1 pq1 1qpp1 pq q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31、 ab0ab. ab0ab . ab0ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32、不等式的性质： abba . ab, bcac . abacbc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab, c0acbc , a b,c 0ac bc.ab, cdacbd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d0.aca bbd0nnabn, n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab0n an b n, n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33、一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34、含肯定值不等式、一元二次不等式的解法及延长0121. 整式不等式（高次不等式）的解法穿根法 （零点分段法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求解不等式：a xna xn 1a xn 2an00 a00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：将不等式化为a0x-x 1 x-x2 x-x m>0<0 形式,并将各因式 x 的系数化“ +”. 为了统一便利 求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来.由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过,奇次根一穿而过）,经过数轴上表示各根的点（为什么？） .如不等式（ x 的系数化“ +”后）是“ >0”, 就找“线”在x 轴上方的区间.如不等式是“ <0”, 就找“线”在 x 轴下方的区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+X 1+XX 2X 3X n-2X n-1X n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（自右向左正负相间）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：求不等式 x23x26 x80 的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将原不等式因式分解为：x2 x1x40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程： x2 x1x4) 0 解得 x12, x21, x34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将这三个根按从小到大次序在数轴上标出来,如图+x-214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可看出不等式x23 x26 x80 的解集为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x |2x1,或x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：求解不等式 x1 x2 x5) 0 的解集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x6 x4解：略一元二次不等式的求解：特例一元一次不等式 ax>b 解的争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元二次不等式ax2+bx+c>0a>0 解的争论 .000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a0 ）的图象一元二次方程有两相等实根有两相异实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc0x1, x2 x1x2bx1x2无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 的根2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc0x xx1或xx2x xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0的解集2aR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc0x x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0的解集对于 a<0 的不等式可以先把a 化为正后用上表来做即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分式不等式的解法（ 1）标准化：移项通分化为f x>0 或f x<0 .f x0 或f x0 的形式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg xg xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）转化为整式不等式（组）f x0f x gx0; f x0f x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：求解不等式：11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：略例题：求不等式x1 的解集.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 含肯定值不等式的解法： 基本形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型如： |x| aa 0的不等式 的解集为：x |axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型如： |x| aa 0的不等式 的解集为：x | xa, 或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变型：| axb |cc