2022年高二数学教案空间的平行直线与异面直线.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题： 9 2 空间的平行直线与异面直线一教学目的：1. 会判定两条直线的位置关系.2. 懂得公理四 , 并能运用公理四证明线线平行.3. 把握等角定理 , 并能运用它解决有关问题.4. 明白平移的概念,初步明白平几中成立的结论哪些在立几中成立5. 把握空间两直线的位置关系,把握异面直线的概念,会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面.6. 把握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特别的异面直线所成的角教学重点： 公理 4 及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点： 公理 4 及等角定理的运用异面直线所成的角.授课类型： 新授课课时支配： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：本节共有两个学问点,平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学 习平行直线的性质,把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念,明白了平移的初步性质在这一节仍由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求同学正确把握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念,这样就为同学学习向量和空间图形的性质打下了基础教学过程 ： 一、复习引入：把一张纸对折几次,为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次,打开后得4 个全等的矩形,每个矩形的竖边是相互平行的,再应用平行公理,可得知它们的折痕是相互平行的）你仍能举诞生活中的相关应用的例子吗？二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交 有且只有一个公共点.（2）平行 在同一平面内,没有公共点.（3）异面 不在任何一个平面内,没有公共点.2 平行直线（1）公理 4 ： 平行于同一条直线的两条直线相互平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推理模式：a / b,b / ca / c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：（ 1）公理 4 表述的性质叫做空间平行线的传递性.（2）几何学中,通常用相互平行的直线表示空间里一个确定的方向.（3）假如空间图形F 的全部点都沿同一个方向移动相同的距离到F 的位置,就就说图形F作了一次平移（2）空间四边形： 顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形,相对顶点的连线 AC,BD叫空间四边形的对角线（3）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -角相等分析：在平面内,这个结论我们已经证明成立了在空间中,这个结论是否成立,仍需通过证明 要证明两个角相等,常用的方法有： 证明两个三角形全等或相像,就对应角相等.证明两直线平行,就同位角、内错角相等.证明平行四边形,就它的对角相等,等等依据题意, 我们只能证明两个三角形全等或相像,为此需要构造两个三角形,这也是此题证明的关键所在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知：BAC 和B A C 的边求证：BACB A C AB /A B , AC /A C ,并且方向相同,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：在BAC 和B A C 的两边分别截取ADA D, AEA E,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD / A D, ADA D ,ECAD B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A D DA 是平行四边形,C AA / DD , AADD,同理 AA / EE , AAEE ,EADB EE / DD , EEDD,即 D E ED 是平行四边形, EDE D ,ADEA D E ,所以,BACB A C 4 等角定理的推论: 假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 .指出 : 等角定理及其推论, 说明白空间角通过任意平行移动具有保值性, 因而成为异面直线所成角的基础.3. 空间两条异面直线的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abb baaD1C1A1B1DCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推理模式：A, B,l, BlAB 与 l 是异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：（反证法）假设直线 AB 与 l 共面, B,l, Bl ,点 B 和 l 确定的平面为,直线 AB 与 l 共面于, A,与 A冲突,所以, AB 与 l 是异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5异面直线所成的角：已知两条异面直线a, b ,经过空间任一点 Oa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作直线a / a, b/ b ,a , b 所成的角的大小与点O 的挑选无关,把a ,b 所成的锐角（或直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角）叫异面直线a, b 所成的角（或夹角） 为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_异面直线所成的角的范畴：0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就叫两条异面直线垂直两条异面直线 a, b垂直,记作ab 7求异面直线所成的角的方法：（ 1）通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另始终线的平行线.（ 2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求三、讲解范例：例 1 已知四边形ABCD是空间四边形,E、H 分别是 AB、ADA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CF的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且CB求证：四边形EFGH是梯形CG2,CD3EH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组BDF对边会平行了？为什么？（平行公理）证明对边不相等可G以利用平行线分线段成比例证明：如图,连接BDCEH是 ABD的中位线,EH/BD,EH= 1 BD.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又在 BCD中, CFCBCG2 , FG/BD,FG=CD32 BD.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据公理4, EH/FG又 FG EH,四边形EFGH的一组对边平行但不相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 如图, A 是平面 BCD 外的一点G , H 分别是ABC ,ACD 的重心,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：GH / BD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：连结AG, AH 分别交BC, CD 于 M , N ,连结 MN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ G, H 分别是ABC ,ACD 的重心,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M , N 分别是 BC , CD 的中点,BGH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MN / BD ,又AGAH2D,AMAN3MN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ GH/ MN ,由公理4 知 GH/ BD C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3如图,已知不共面的直线a, b, c 相交于 O 点,M , P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是直线 a 上的两点,N ,Q 分别是b, c 上的一点aPMcOQ学习资料 名师精选Nb- - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求证： MN 和 PQ 是异面直线证（法一）：假设 MN 和 PQ 不是异面直线, 就 MN 与 PQ 在同一平面内,设为, M , Pa, M , P, a,又 oa , o, N,Ob, Nb ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b,同理 c,a, b, c 共面于,与已知a, b,c 不共面相冲突,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, MN 和 PQ 是异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（法二）： a IcO ,直线a, c 确定一平面设为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Pa, Qc , P, Q, PQ且 M, MPQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a, b, c 不共面,Nb , N,所以, MN 与 PQ 为异面直线DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4正方体 ABCDA B C D 中那些棱所在的直线与直线BA是异面直线？求BA 与 CC 夹角的度数那些棱所在的直线与直线AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA 垂直？DC解：（ 1）由异面直线的判定方法可知,与直线BA 成异面直线的有AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 B C, AD ,CC, DD, DC , D C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由BB / CC ,可知B BA 等于异面直线BA 与 CC 的夹角,所以异面直线BA 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC 的夹角为 45o 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）直线AB, BC ,CD , DA, A B, B C,C D, D A 与直线 AA 都垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 两条异面直线的公垂线指的是 A和两条异面直线都垂直的直线 B和两条异面直线都垂直相交的直线 C和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 D和两条异面直线都垂直的全部直线答案： B例 6 在棱长为a 的正方体中,与AD成异面直线且距离等于a 的棱共有 A2条B3条C4条D5条答案： BB1, CC1, A1B1, C1D1 共四条 应选 C.例 7 如 a、b 是两条异面直线,就以下命题中,正确选项A与 a、b 都垂直的直线只有一条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ba 与 b 的公垂线只有一条Ca 与 b 的公垂线有很多条Da 与 b 的公垂线的长就是a、b 两异面直线的距离答案： B例 8 已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为a,就棱 A1B1 所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是D1C1A1B1DCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）2 a2（ B） a（ C）2 aa（ D）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： A四、课堂练习：课堂小练习1判定以下命题的真假,真的打“”,假的打“×”（ 1）平行于同始终线的两条直线平行.（）（ 2）垂直于同始终线的两条直线平行.（）（ 3）过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.（）（ 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（ 5）如一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等（）（ 6）如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 .（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7 ） 向 量AB 与A1 B1, AC与A1 C1是 两 组 方 向 相 同 的 共 线 向 量 , 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BACB1A1C 1 （）答案：（ 1）（ 2）×（ 3）（ 4）×（ 5）×（ 6）（ 7） 2挑选题（ 1）“ a,b 是异面直线”是指 ab=且 a 不平行于b.a平面, b平面且 ab= a平面, b平面 不存在平面,能使 a且 b成立上述结论中,正确选项（）（ A）（ B）（ C）（ D）（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（ A） 2 对（ B）3 对（ C） 6 对（ D） 12 对（3）两条直线a, b 分别和异面直线c, d 都相交,就直线a, b 的位置关系是（）（ A）肯定是异面直线（ B）肯定是相交直线（ C）可能是平行直线（ D）可能是异面直线,也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行, 就它和另一条的位置关系是 （ A）平行（ B）相交（ C）异面（ D）相交或异面答案：（ 1）C（ 2） C（ 3） A（4） D3两条直线相互垂直,它们肯定相交吗？ 答： 不肯定,仍可能异面4. 垂直于同始终线的两条直线,有几种位置关系？答： 三种：相交,平行,异面5画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线.（ 2）相交直线.（ 3）异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：6挑选题（ 1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）（ A）异面（ B）平行（C）相交（ D）以上都有可能（2）异面直线a, b 满意 a, b, = l ,就 l 与 a, b 的位置关系肯定是（）（ A） l 至多与 a, b 中的一条相交（B） l 至少与 a, b 中的一条相交（ C） l 与 a, b 都相交（ D） l 至少与 a, b 中的一条平行（3）两异面直线所成的角的范畴是（）（ A）（ 0°,90 °）（B） 0 °,90 ° （C）（ 0° ,90 ° （D） 0 ° ,90 ° 答案（ 1） D（ 2） B（ 3）：C7判定以下命题的真假,真的打“”,假的打“×”（ 1）两条直线和第三条直线成等角,就这两条直线平行（）（ 2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（）（ 3）平行移动两条异面直线中的任一条,它们所成的角不变（）（ 4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）答案：×,×,×五、小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面）,平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判定及异面直线夹角的概念.证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理” .求异面直线的夹角的一般步骤是： “作证算答”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、课后作业：1如图, 有哪些直线和直线D1C 是异面直线,它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小D1C1CA1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如图正方体ABCDA1 B1C1 D1 中, E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点, P、Q分别为 A1C1 与 EF、 AC与 BD的交点,（1）求证： D、B、F、E 四点共面.（2）如 A1C 与面 DBFE交于点 R,求证： P、Q、R 三点共线提示：（ 1）证明四点共面,也就是证明什么？有什么公理或定理可用？（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？ABD1EC1QFA1B1DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键是引导同学自己动手,逐步建立同学的空间立体感APB3如图,空间四边形ABCD中, E、F 分别为 BC、CD的中点, G、H分别为 AB、AD上的点,且AG： GB AH： HD证明： GH与 EF 为异面直线A提示 ：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？G考虑：（1）假如直接证明,就必需证明GH和 EF 不在同一平面H内,有这样的定理或公理吗？BD（2）从（ 1）知,正面证明是不行取,那么我们可以考虑从反 而F来考虑平行或相交EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -七、板书设计（略）八、课后记：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载