2022年高中教案集平面向量数量积的运算律.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 8 课时§ 2.4.2平面对量数量积的运算律教学目的：1.把握平面对量数量积运算规律.2.能利用数量积的5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.3.把握两个向量共线、垂直的几何判定,会证明两向量垂直,以及能解决一些简洁问题.教学重点：平面对量数量积及运算规律.教学难点：平面对量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启示同学在懂得数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导同学留意数量积性质的相关问题的特点,以娴熟的应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与,作 OA , OB ,就 （ ）叫 与 的夹角 .2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与,它们的夹角是,就数量|a |b|cos 叫 与的数量积,记作a b,即有 a b = |a|b|cos ,（ ） .并规定 0 与任何向量的数量积为0.3“投影”的概念：作图C定义： |b|cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量.当为锐角时投影为正值.当为钝角时投影为负值.当为直角时投影为0.当= 0 时投影为|b|.当= 180 时投影为|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 .5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1e a = a e =|a|cos .2aba b = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 当 a 与 b 同向时,a b = |a|b|.当 a 与 b 反向时,a b =|a|b|. 特殊的 a a = |a|2 或| a |aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab4 cos=. 5 |a b| |a|b|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b |二、讲解新课：平面对量数量积的运算律1交换律： ab = ba证：设 a,b 夹角为,就 ab = |a|b|cos , ba = |b|a|cos ab = ba2数乘结合律：a b =a b = a b证：如> 0,a b =|a|b|cos ,a b =|a|b|cos ,a b =|a|b |cos ,如< 0,a b =|a|b|cos =|a|b| cos =|a|b|cos ,a b =|a |b |cos ,a b =|a|b|cos =|a|b| cos =|a|b|cos .3安排律： a + b c = a c + b c在平面内取一点O,作 OA = a,AB = b, OC = c,a + b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于a、b 在 c 方向上的投影和,即|a + b| cos= |a| cos 1 + |b| cos 2 | c | |a + b| cos=|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2, c a + b = c a + c b即： a + b c = a c + b c说明：（ 1）一般的, ·（ ·）（ 2）· ·, 0 （ 3）有如下常用性质： ,（ ）（ ） ·· · · · 三、讲解范例：例 1 已知 a、b 都是非零向量,且a + 3 b 与 7a5b 垂直, a4b 与 7a2b 垂直,求a 与 b的夹角 .解：由 a + 3 b7a5b = 07a2 + 16a b15b2 = 0a4b7 a2b = 07a230a b + 8b2 = 0两式相减： 2a b = b2代入或得：a2 = b2abb 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a、b 的夹角为,就 cos=| a | b |2 | b |22= 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图：平行四边形ABCD中, ABDC , ADBC , AC = ABAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AC |2= | AB2AD |2AB2AD2 ABAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 BD = ABAD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| BD |AC2= | AB22AD |2AB222AD2 ABAD22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|+ | BD |= 2 AB2 AD=| AB | BC | DC | AD |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 四边形ABCD 中, AB , BC , CD , DA ,且 ·· · ·,试问四边形ABCD 是什么图形 .分析： 四边形的外形由边角关系确定,关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形,这是由于：一方面： 0, （ ）, （ ）即 · · 由于 · ·, 同理有 由可得 ,且 即四边形ABCD 两组对边分别相等.四边形 ABCD 是平行四边形另一方面,由· ·,有 （ ）,而由平行四边形ABCD 可得 ,代入上式得 ·2 ,即 ·, 也即 AB BC.综上所述,四边形ABCD 是矩形 .评述： 1在四边形中,AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,就其和向量是零向量,即 0,应留意这一隐含条件应用.2 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,由于数量积的定义式中含有边、角两种关系 .四、课堂练习：1.以下表达不正确选项（）A. 向量的数量积满意交换律B.向量的数量积满意安排律C. 向量的数量积满意结合律D. a·b 是一个实数2.已知 |a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 °,就 a+2b ·a-3b等于（）A.72B.-72C.36D.-36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.|a|=3, |b|=4,向量 a+3b 与 a-43b 的位置关系为（）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 平行B.垂直C.夹角为D. 不平行也不垂直34.已知 |a|=3, |b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150 °,就 a+b .5.已知 |a|=2, |b|=5, a·b=-3,就 |a+b|= , |a-b|=.6.设|a|=3, |b|=5,且 a+b与 a b垂直,就 .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
