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（8）立体几何【新课标通用版】2022届高考数学二轮复习真题通关练1. （2021年新高考I卷，3圆锥的底面半径为近,其侧面展开图为一个半圆，那么该圆锥的母线长为（）A.2B.2V2C.42. 2021年新高考H卷，4卫星导航系统中，地球静止同步考L道卫星的轨道位于地球赤道 所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球外表的最短距离）.把地球看成一 个球心为O,半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数, 地球外表能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为a .该卫星信号覆盖的地球外表面积S = 2"?（l-cosa）（单位：km信号覆盖的地球外表面积S = 2"?（l-cosa）（单位：km ）那么S占地球外表积的百分比为A.26%A.26%B.34%C.42%D.50%3. 2021年北京卷，4】某四面体的三视图如下图，该四面体的外表积为（）4. 【2021年新高考H卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2, 4,侧棱长为2,那么四棱台的体积为（）a 56aA.3棱台的体积为（）a 56aA.3B.56x/2C.28x/2D.竽5. 2021年全国乙卷（理），5在正方体A3。-A4GA中，P为4。的中点，那么直线PB 与AR所成的角为（）A 冗 A. 所以根据勾股定理得期=5,那么M六三.由ZVlMF是直角三角形，pI#AM2+MF2=AF2,解得。=也， 2所以底面A8CD的面积S = 2a = 0 ,那么四棱锥夕ABC。的体积V=Ls-/? 二1x夜xl-克 33313.答案：(1)因为£尸分别是AC和CG的中点，侧面44罔B为正方形且AB=8C = 2, 所以 B = l, BF = M.如图，连接AR由以FAq, AB"AB,得BF _L AB ,于是AF = Jb)+ AB： =3,所以夜.由A+BC=AC?得胡_L3C,故以8为坐标原点，以AB, BC,照所在直线分别为x, yf z轴建立空间直角坐标系Bx)z,那么 8(0,0,0), E(l,k0),尸(0,2,1), 酢= (0,2,1).设 4。= /(0 < m W 2),那么。(m,0.2),于是现=(1 一见1,一2).所以B广。8 = 0,所以8/_LOE.JkZ（2）易知面的一个法向量为1 =（1,0,0）.设面DFE的法向量为2 =（x，z），那么产j=°，EF/i2 =0,又诙=（1一肛1,-2）, E尸= （-1,1,1）,所以。-心+y-2z =。,令，得+ , z = 2-m -X + y + z = 0,于是，面OFE的一个法向量为%=（3,/ + 1,2 ?），设面8aGC与面。FE所成的二面角为0 ,那么sin0 =犷嬴乐为， 故当 ?=；时，面与面。FE所成的二面角的正弦值最小，为半，即当用。=g时, 面BB«C与面。产E所成的二面角的正弦值最小.14 .答案：（1）如图，取人。的中点E,连接石Q, EC.因为QA = QO =逐，所以QE_LAD.又因为在正方形A8CO中，4)=2,所以QE = 2, EC =亚,此时。炉 +£。2=9 =。2,所以 Q£_LEC又 ECcAD=E, EC, ADu平面 A8CQ,所以QEJ,平面ABCD因为。£ u平面QAD,所以平面QAD ±平面48CD(2)由(1)知QE_L平面ABCD,因此以点E为原点，建立如下图的空间直角坐标系Exyz,那么 8(2,7,0), 以0,1,0), 0(0,0,2) , B£> = (-2,2,0) , DQ = (0-1,2).设平面BDQ的法向量% =(苍乂z),那么W丝=0,即 nDQ = O 1)' = 2z,取 z = l,得 x = y = 2,那么 =(2,2,1).易知平面AQD的一个法向量/ =(1,0,0),那么cos5,)=备 = 2,由图可知二面角8 QD A的平面角为锐角，同E3因此二面角A的平面角的余弦值为1.15 .答案：(1)因为= 。为8。的中点，所以04 _L 80.因为OAu平面A8D,平面A或)1.平面8CO且平面ABDc平面BCD=BD ,所以Q4_L平面BCD,所以 04 JL CO.(2)以。为坐标原点，0。为y轴，0A为z轴，垂直。且过点。的直线为工轴建立如图 所示的空间直角坐标系Oxyz，"OJO), B(O,-1,O),设 40。?)，那么石伍工2 2I c e设马=(不如马)为平面EBC的法向量.ULU / 4 9因为 5E=I 3 3LILK,BC =军，。卜2 2所以uin 42BE n, = y. + mz. = 0,1 371 3 1UUO J3 34。=彳$+/)1 =。，所以2y, + mZj = 0,为 + Gy = 0,令 X = 1 ,所以 Z = - , xx = -5/3 , in所以IJ .ULU因为平面BCD的法向量为OA = (0.0.M ,所以 COS(1 ,OA) =1r3J_= = 解得 7 = 1 ,'E 2所以。4 = 1,因为%c°=；xlxlx旁,所以5"=*, 所以%-BCO =；Sa8m % = %6.【2021年全国甲卷（理），6在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G. 该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如下图，那么相应的侧视图是（）图是（）7.【2021年北京卷，8定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其 中小雨(< 10mm),中雨(10mm25mm),大雨(25mm50mm),暴雨(50mm100mm),小明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，如图，那么这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨812021年全国甲卷（理），11】A,8, C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC J_4C, AC=BC= ,那么三棱锥的体积为（）A.立B9C.史D.立121244.【2021年上海卷，9圆柱的底面半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，点 。为下底底面圆周上的个动点，点C绕着下底底面旋转周，那么AABC面积的取值范围 为.9 . 2021年全国乙卷（理），16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图 和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.图图图.【2021年北京卷，17正方体人gco-AqGR，点E为AR中点，直线qq交平面CDE于点F.(1)证明：点尸为-G的中点;(2)假设点例为棱A区上一点，且二面角M-b-E的余弦值为亚，求4把的值.3 ABi.【2021年全国乙卷(文)，18如图，四棱锥ABC。的底面是矩形，PD_L底面ABCD, M为8c的中点，且依_LAM.(1)证明：平面RW_L平面PBD；（2）假设PD=DC = 1,求四棱锥P-ABC/）的体积.12 . 2021年全国甲卷（理），19】直三棱柱A8C-ASG中，侧面明用8为正方形,A8 = 8C = 2, E, 分别为4C和CG的中点，。为棱AB】上的点，BF（2）当印。为何值时，面88UC与面。FE所成的二面角的正弦值最小？13 .【2021年新高考I【卷，19】在四棱锥。-八ACO中，底面A/3CO是正方形，假设4）=2,（1）证明：平面Q4O_L平面A3C。；（2）求二面角8A的平面角的余弦值.1512021年新高考I卷，20如图，在三棱锥A-8C。中，平面ABE>_L平面8C£>, AB = AD, 。为8。的中点.(1)证明：OALCD；(2)假设VOCQ是边长为1的等边三角形，点石在棱人。上，。石=2£4,且二面角E-BC-O 的大小为45°,求三棱锥A-8CD的体积.答案以及解析1 .答案：B解析：此题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为广，母线长为/.由题意可得2u = W, 所以/ = 2厂=2>/2 .2 .答案：C解析：由题意可知，cosa = - = 。0.15,所以从同步卫星上可望见的地 r +36000 6400 + 36000球的外表积S = 2nr2 (1 - cos a) « 2nr2 (1-0.15),此面积与地球外表积之比约为 2-)/5)x 100% *42%.4nr2.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：解析：此题考查棱台的体积.将正四棱台/勺0口-人成工)补成四棱锥尸-钻0 作2。_1_底面ABCD于点0 ,交平面AgCQ于点O1 ,那么棱台ABCR-ABCD的体积.由题意P POX2 PAPOB42易知,PA=4, AO = 2五,而PO = dP# -AG =y142 T2丘丫 =2x/5, 所 以 PO、=正 , 那么VP-ABCD = X (4 X 4) X 2V2 = ，匕-A 4 c闽二;x(2x2)x夜 所以棱台 AB©DABCD的体积V = %" -匕EGA = 竿一殍=竿.答案：D 解析：此题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为，那么 Aj = & B = A3 = BR = Ei ,所以 BF = PC】=,"尸二)瓦尸+旦出二冬】莅 4BCP 中，由余弦定理得cos/PBG = PB2兆c=与，所以阳吟又因为4WG， 所以NP8G即为直线尸8与4。所成的角，所以直线尸8与A"所成的角为看.5 .答案：D解析：此题考查三视图.由正视图虚线可知所截为正方体的里面左下角，故侧视图为实线左 下角.6 .答案：B200解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径r = - = 50 ,故 2K.lltll =-x7rx5O2xl5O = 5O3-7i,积水厚度力=且诞=更苫= 12.5 ,属于中雨，应选B. 小醐3S人网H10027 .答案：A解析：此题考查三棱锥和球.设AB的中点是。，可知O'A = OB = O'C =正，又 2OA = OB = OC=1,那么三棱锥OABC的高是O'O =巫，故体积是/乂正=立. 23 2212.答案：2,右解析：此题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为。，下底面圆心记为。：连接OC,过点 C作CM_LA6,垂足为点M, WiS abc=-xABxCM ,根据题意，为定值2,所以S, 的大小随着CM长短的变化而变化.当点M与点。重合时，CM = OC = Jl2+2?=逐,取得 最大值，此时久诋=gx2x石=行.当点M与点B重合时，CM取最小值2,此时 Sa*=x2x2 = 2综上所述，£状的取值范围为石.8 .答案：或©解析：此题考查几何题的三视图.由高度可知，侧视图只能为或.图1图2当侧视图为时，那么该三棱锥的宜观图如图I,平面八4C_L平面/WC, PA = PC = 6 , BA = BC = 45 , AC = 2,此时俯视图为；当侧视图为时，那么该三棱锥的直观图如图2, E4JL平面 ABC, E4 = l , AC = AB = yf5 , BC = 2,此时俯视图为.9 .答案：(1)证明：连接。E,因为A8CO-ABCA为正方体，所以CD/C.D,. 又因为平面AMGA，£Ru平面ABC。1，所以C。/平面A8CQ.因为平面CDZTn平面A8CR=K"，且CDu平面COER所以CD砂，所以CDJ/EF , 所以人B1£/7/C|R ,又因为AR用G，所以四边形A线正为平行四边形，四边形EFG。为平行四边形，所以AE=BF，EDi=FC,而点E为AQ中点，所以AE = E。，所以=FC,所以点尸为4G中点.(2)因为ABC。-AqGA为正方体，故D4, DC, OR两两垂直，以。为坐标原点，分别以。人，DC, 0n所在直线为x釉，.y轴，z轴建立空间直角坐标系,令正方体 ABCD-AiBiCiDi 的校长为 2,设 A.M = 2Aq(。4 % K D .那么 C(0,2,0), £(1,0,2),尸(122), M(2,22,2).C£ = (l,-2,2), CF = (1,0,2) , CM =(2,22-2,2).设平面CEF的法向量为4 二(%,y,zj ,那么性./=0,即卜2y+2Z|=0, CFw, =0 芭 +24 =0故 X = 0,令 Z| = -1 ,芭=2 ,可取 =(2,0, -1).设平面CM/；的法向量为% =（七,%，Z2）， 那么|"% 二 ° ,即+(2义-2)/ +2z2=0 、|cF w2=0，、x2+2z2=0令 z? =-1，那么4=2，y2=-,1 - A设二面角M-CF-£为"旦。为锐角,故 cos 0 = |cos, a >1 =； J同|电|故 cos 0 = |cos, a >1 =； J同|电|解得故出1 =.244 2.答案：（1）因为PO_L底面A8CD, AMu底面A8CD, 所以 PDJ_/W.又因为 P8JL4V/, PDcPB=P, PB, PDu平面 PBD,所以A"_L平面PBD.因为AWu平面附M,所以平面P4M_L平面P8D.（2）由PD_L底面ABC。，所以PD即为四棱锥PABCQ的高，。心是直角三角形.由题可知底面4BCO是矩形，PD=DC = 1, M为BC的中点，且相_LAM.设AD= BC = 2ci,取CD的中点为E, CP的中点为F,连接MF, AF, EF, AE,可得MFHPB,AM=J42+1 ,AM=J42+1 ,EF/DP,那么AA"'为直角三角形，且石F=，AE = 2AF = yjEF2 +AE =因为/）相是直角三角形,