空间解析几何 课后习题解析.docx

第一章矢量与坐标§ 1.1矢量的概念1 .以下情形中的矢量终点各构成什么图形?(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;(3)把平行于某始终线的一切矢量归结到共同的始点；(4)把平行于某始终线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：(1)单位球面；(2)单位圆(3)直线；(4)相距为2的两点2 .设点。是正六边形ABCDE尸的中心，OF. AB. BC > CDDE、EF在矢量而、OB， 0C.而、0E，和雨中，哪些矢量是相等的？解:如图1-1,在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：次和丽;砺和初反和通;无和丽;丽和诙.3 .设在平面上给了一个四边形点K、L、M、N分别是边力£ BC CD、的中点，求证：KL = NM .当48co是空间四边形时，这等式是否也成立?证明:如图1-2,连结AC,那么在ABAC中，中，- AC.而7与前方向相同，从而 2KL=NM且应与两方向相同，所以应=NM .1» KL - AC KL与AC方向相同；在AD4C 24.如图1-3,设A5CD-EFG”是一个平行六面 体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量：而、丽；(2)荏、无；(3) AC.EG;(4) AD. GF;(5) BE、CH .解:相等的矢量对是(2)、(3)和(5)；互为反矢量的矢量对是(1)和(4)o§ 1.2 矢量的加法1.要使以下各式成立，矢量二3应满意什么条件?(1) a + b = a-b;(3)(4) a-b - a + b> -* ->->a + b - a - bX. +x2+x3+x4 %+%+%+” Z1+Z2+Z3+Z4同理得B三2三P4三尸1，所以4G,交于一点P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的 三倍.§1.6矢量在轴上的射影1.矢量标与单位矢量工的夹角为150°,且|回二 10,求射影矢量Z赢与射影2赢, 又假如2 = & 求射影矢量3M 与射影3M.解射影赢二洞©0$4",1) = 10.。05150°=56,射影矢量Z瓶二-?= 一Z(?,AB) = 180° - /(而)=30°射影 3赢二1祠cosZ(?, AB) = 10.CO5300 = 5a/3,射影矢量3M = 5632试证明：射影/(% + Aa2 +办。)=九射影/% +4射影 9+4射影icin .证明:用数学归纳法来证.当=2时，有射影/(Al ax +右2 )=射影/(4。1 )+射影/( 2 a2 )=九射影+42射影/。2 假设当=攵时等式成立，即有射影/(见必4卜/4 )=/射影吗+»射影S,欲证当=叶1时亦然.事实上 1 > 1 > 1 >射影 ,(4 + , , + . cij, + -+14+i)=射影 /(Aax + +)+4+4+=射影/(44T>)+射影/(4+1%+1 )=力射影+»射影lClk +&+1射影/%+1故等式对自然数成立.§ 1.7 两矢量的数性积.证明：(1)矢量a垂直于矢量(ab)c -(ac)b ；(2)在平面上如 果应加应2，且五彻=5%(，=1,2),那么有。=B.一 > > » 证明：(1) V a . (tz-b)c 一(ac)b = a(ab)c-a(ac)b » > » » » » =(ab)ac - (ac)ab = 0二矢量a垂直于矢量(B)c -(qc)B .(2)由于 应应2,所以，对该平面上任意矢量己=4玩 +成2,(a - b )=(a b )(2mx )->一f一=4 万 i (a b )+玩2 (a 一 b)一 = q m - b 玩)+( q m2 - b mI ) 0, 故( -B ) J_ 亍.由亍的任意性知a-b =Q.>一从而 a=b.2.矢量ZB相互垂直,矢量：与的夹角都是60°且7=1是=2工=3计算:(1) + b)2;(2)(1 + b)(a -B);(3)(3% - 23).( -3c);(4)(S + 2b-c)2 解:(l)(a + b)2 - a + lai + b =1 + 2x0 +22 =5;(2)(： + b)(a _ 力: 7 + / =_ 22 二 _六(3)(3(2-2b).(b-3c) = 3ai-2b -9a.c + 6b.c=-8-9x3.cos60° +6x2x3cos60° =;2(4)(2+ 2-c)2 - a + 4cib - 2ac - 4bc + 4b +c2=1 - 2x 3cos60 - 4x 2x 3cos60 + 4x 22 + 32 = 1 13.计算以下各题.(1)等边 ABC的边长为 1,且 BC = a , CA = b , AB = C,zab + bc + ca ；(2)两两垂直，且 二1,B =2, c =3,求r = i + B + c的长和它与a.b,c的夹角.(3)己知。+ 3B与7。一53垂直，求的夹角.(4) =2, B = 5,2/(。/)=可肛p = 3a-b, q = 2a + 17B.问系数丸取何值时解 (1) a -b - c - X,.二 ab + bc + ca = a - b - cos 120°+b-c -cosl20()_3+ c a cos 1200 =2(2) : _L 8 _L c,且 a = 1,设： = £ + B + ) =l+2j + 3k ：. r = Vl2 +22 +32 = V14设厂与的夹角分别为a,瓦丫.1V14 n 2V1433V14.cos a - -= , cos p = = =, cos / = f=.V141447V1414巫， = arccos, Z = arccos 147巫， = arccos, Z = arccos 1473V1414(3) (£ + 3B)(7£-56=0,即77+16茄-157 =0 (1)Q 4R)(72一2R)=0,即7£230£行 + 8行2 =0 (2)(1)(2)得:2a-b = b(1) x8 + (2)x5 得：2a-b = aI AcosZ(=TJ -= 2一 一 71，cos/(a,b)= 3. I(4) a-h = a - b cos /(a,b) = 2x5x()=一5 2_2 一一 一 一 一 2pq = (3一/?)(24 + 17在)=3A a +51ab-Aa-b-17 b =-680+172 = 0A2 = 40(8)页后(5) 矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理cr=h2-c2 2hccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：(1)如图 1-21, AABC 中，设 AC = b,AB = c,BC=a, 且I，1 = 4,=b,c = c.那么 o=B c,a 2=(b c)2= b 2+c2 2b -c = b 2+c 22| |c |cosA.此即a2=b2+c2-2bccosA.(2)如图1-22,设AB, 8C边的垂直平分线P。, 尸£相交于上。，区b为AH, BC,。的中点，设方=3, PB =b , PC = c ,那么 AB = B CA ac,PD (a + b), 21 一PE = -(c + b).图 1-11由于 PD1AB, PE1BC.I» >1 -所以一(+/?)(/?Q)= ( 2q 2) = 0,22I 一 f f 一 f一 (/?+<?)(7/?)= (? 2 /? 2) = (),22从而有 a2=b2=c2. 即 a 2 = b |2 = |c |2,所以 -(c + a)(a-?)=-(52-c2)=o, 22所以 PF 1CA, 且 | = |B| = |c|.故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.5平行四边形以5= 1, 2, -1 , 6= 1, -2, 1 )为两边（1）求它的边长和内角（2）求它的两对角线的长和夹角解： a - V22 +1 + 1 = >/6, b - a/1 + 22 +1 = V6cos。=cos。=ab _ 1ci - b 6(2) q = a + b = V10 , c2 = a b = V14 .71* a =26 ABC的三顶点A(0,0,3), B(4,0,0), C(0,8,3)试求：三边长（2） 三内角（3）三中线长（4）角A的角平分线矢量而（中点在边上），并求击的方向余弦和单位矢量解： 施=(4,0,3),* = (0,8,6), 就= (4,8,3).网 =5, “卜10, 囱 =V89(2) cos ZA =AB BC _ 9ab|-|bc| 259/. ZA = arccos25AC BC _41V89445445/n BABC 7V89cos ZB = 1_1_=BC - BC 445/. /B = arccos7789445 _, /9 AD, =AB + BD1 =(2, 4,)271612皿=丽 + 皿=(-4, 4, 0)|函卜/砌 = (2,8,2)(4) cos 0 =(4) cos 0 =AB-ADAC-AD.而"I).2c 2-3 cos oc , cos p -j= , cos y - V17V17V17设它的单位矢量为 q/,c ,且4+2+/=0-4-2=2V = MB; a.b.c ) = § 1.81 . a =1, B =5, qB = 3.试求：(1) axb两矢量的失性(2) (q + B)x(q-B)厂-|2(a-2b)x(b-2a)解: sin/(,B) = Jlcos2(a,B)=» » axb(2)原式=一 一一 一 一 一|2 (a + b)义 a 一 (a + b)义 b=(2xB)2一 _ 2=4 axb =64.(3)原式=axb-2bxb-ax2a + 4bxa = (-3tz x )2 =9 x42 = 1442.证明：(1) (axb)2a2-b并说明在什么情形下等号成立.(2)假如+B + C=0,那么Q xB = B X。= c X4 ,并说明它的几何意义.(3)假如xB = cxd,xc = Bxd,那么一。与匕一。共线.(4)假如 a = pxn.证明：(1) (a xb )2=a 共面 > > b = qxn,c = r x n,那 么b |2 = | 121P |2sin2Z( a ,B )2b 2 a2-b2.要使等号成立，必需sin2/(。3 )=1,从而sin/(，B )=1,故/(。，为二，即当时，等号成立.(2)由+B + c = 6,有(+B + c)xc = 6xc = 6,但 cxc = 6, f f于是 a xc +b xc 0, f f所以 b xc c xa . 一 f f f 同理由(q+/?+c)xq = 0,有 c xa = a xb , , 一 f 从而 axb = b xc = c xa .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.»»» » :(a-d)x(b-c尸axd-axc bxd + dxc= cxd-bxd + bxd-cxd=O=0=0一 一 一一A 一 一 一 一( > ) 一 一(4)(6zx/7)c = (px)x(gx)(rx) = J p(几 x)q_(px)qj(rx)» » 二(a x b)c = 0，a, b,c 共面» 一(px)q(rx) = 0 3.假如非零矢量q (，= 123)满意r=r2xr3 , G=qxq, G=qxq,那么q ,石，q是彼此 垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.证明:由矢性积的定义易知彳石区彼此垂直，且构成右手系 下证它们均为单位矢量.由于 4=4乂勺，弓= qxq,所以匕 1 = 14 1匕 I, r2 |=|q IH I,所以- l = K FK l.由于1川。0，从而l4|2=l,仍1=1. 同理可证|为1=1, I。l = L从而(，G , G都是单位矢量.4.：Z = 2,3不=1,一2,3,求 与£ 都垂直，且满意以下条件的矢量c: (1)"为单位矢量解：设三%,，",V图 1-13(2) 32 = 10 ,其中 2= 2,1,-7 _Lq,c_lB, c-b = x-2y + 3z =0(1)/. c-a = 2x-3y + z=0(2)记，丁，可(2)设 c = x, y, z . I。c d = 10三隹至斗I 6 6 6/. c-a = 2x-3y + z=0(2)记，丁，可(2)设 c = x, y, z . I。c d = 10三隹至斗I 6 6 6x2 + y2 + z2=l (3)由，(2),(3)得:/. 2x+ y-7z=10(4)由，(2), (4)得:5.在直角坐标系内三点A(5,L1), 5(0,-4,3),。(1厂3,7),试求：三角形ABC的面积三角形 ABC的三条高的长.AC = (-4,-4,8), 就二 (1,1,4)解：血=(-5,-5,4)八 ABAC Vn .5 cos /A -2a =J 阿 | 同 sin A = 120q*ABCabs 3721"T"£_3V462776 .：£ = 2,3,1, B = 5,6,4, 试求：以£4为边的平行四边形的面积.这平行四边形的两条高的长.解:(1) S = a b - sin Z.(a,b)乙-八 a-h 16422.乙-六 V297cosN(。，b) = . . = sinN(。，b) =77777.用矢量方法证明：(1)三角形的正弦定理a _ b _ csin A sinB sinC(2)三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式： 屋=P(P - a)(P - b)(pc).式中=，3+h+3是三角形的半周长，为三角形的面积.证明:(1)如图 1-13,在A3C 中，设前=",CA = b , AB = c, 且 |a|=a,|=b, |c |=c，那么 a +b +c Q,所以于是所以于是， 一 f f f f -从而有 b xc = c xa = axb ,一 ff 一b xc | = |c xa = a xb |,bcsinA = casnB=absmC,a _ b _ csin A sinB sinC(2)同上题图，ABC的面积为1 -* A= axb, 21 一 一所以 屋=(qx/?)2. 4由于 (a xb /+(q -b )2= a 2b2, f 一f 一所以 A2= a2b 2(a b )2. 4由于 q +B +c = 0, _> f-f 从而 q+/?=<?, (a + b )2= c 2,1->1所以 a b = (c2 a2 b 2)= (，一/一廿)， 22故有A2= cb1 (?crh2)244=2ab(c2a2 h2) lab+fc1a1 b2)=77 (。+。)2 -)2lo=(q+Z?+c)(+。-c)(c+4 -b)(ca-b)16=2p(2p2c)(2p2/?)(2p24).16所以 N=p(pa)(pb)(pc), 或 A=y/p(p-aXp-b)(p-c).§ 1.9 三矢量的混合积.设。，"C为三个非零矢量，证明 -> -* f >> >(1)(6/, b, c+4+/?) =(q , b, (2)(q+B, b c . c a) =2( a证明:左端=(。xB).(c+?lq+B)>>>> 二(q x/?) c +(。xby(ka )+( x/?)fff=(a xb c +九(a x b ) a +pi(axbyb> f- f-> -a b c )+M aba )+|i( abb)=(abc )=右端.(2)左端=(B+ c )x(c+ Q ).(&+B) f f > f=bxc +hxa+c xa-(a+h)> > > > > > * >=(/7 X C ) Q +( /7 X。) +( C X Q ) Q +( A X C ) /? +( b X ) /? +( C X Q ) b f > f二(b c a)+(c a /?)=2( b c )=右端.2 .设径矢OA = q, OB =为,OC = q,证明 R =(x ) + (G、勺)+ (qx) 垂直于ABC平面.证明:由于AB.R =(g -4).() + (弓*)+(4、八)» > » » » '» # > * »> » »> » >二(弓乙弓)+ (与 q) +(G q q)一(4 q G)一(q 弓 q) 一(q q q)> - »二(4GG)一(4GG)=。，所以 ABLR.同理可证 AC.LR.所以斤J_平面ABC» » » » » » » » »3 . 3 = , +。2 +GJ，3 = a2 e +202 +0263，vv a3e +瓦4 + c3 e3,4 b、 C试证明 (日,记日)=% b2 c2 (e1 ,e2 , e3).% A 03证明:,/证明:,/b,b2(，xg )+bib2GC2(g xq)+ciy-»»(«3 X，)a2：.(W,V,VV)=(fi x v)- VV：.(W,V,VV)=(fi x v)- VVa1a2a1a2bb2C3( q x e2 ) e3 +4b?C- C。3( e2 x 4 )- e1 +Q|-/?3( e3 x ex ) e.a2b, b2bh2C3 +瓦qb2 c2qa2、 » »4 (et x e2 ) e374.直角坐标系内矢量工匠工的重量，判别这些矢量是否共面?假如不共面，求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. £ = 3,4,5, B = 1,2,2, c = 9,14,16.(2)£ = 3,0,-1,3 4解：共面0,瓦")=1 29 14B = 2,-4,3, c = -l-Z252 =0向量及工共面1630-1(2)不共面 。瓦")=2 -4 3 =2-1 -2 2向量之反"不共面以其为邻边作成的平行六面体体积V=25.直角坐标系内A,B,C,O四点坐标，判别它们是否共面?假如不共面，求以它们为顶点的四周体体积和从顶点。所引出的高的长. 现0,1),夙4,4,6), 0(223), 0(10,14,17)； A(2,3,l), 3(4,1,-2), C(6,3,7),。( 5,4,8).解：共面.-2 -3CQ06 =2x58.-. V= 3 17又 ABx / = 一 12,-24,8,. ABx AC = 28 ,11 a997Q./l ='=.顶点。所引出的四周体高为三.2877,T T ->、丁 AB.AC.AD =7§1.10三矢量的双重矢性积1.在直角坐标系内， 靛,0,1,而-2,0,121,求(装 办XI和装Z?x c7ax b x c= a- c b - b- c77=-2 b+5 a=2,4,0+5,0,5 =3,4,5ax bx c )b- a-b c=-2b-c = - 2,4,0 - -1,2,1 = -1,2-1.2.证明对于任意矢量能= 123,4)下式成立:(TT ->Vqxq qxq + 八 xq r4x r2 + qxq r2x r3 =04G " +)73.3.证明 axb7x axd7T -> ->、-> abd a 7一、一、qx d 76/x b-d a- ax b a d = ab d a(T(T4.证明 ax b, ex d, ex f7abd 八->-> ->A ce/7ab c八de/ax b, ex d, ex f = ax b7ax b, ex d, ex f = ax b7ex d ex f7 )abd c- ab c d .abd(m、ab c7def 75.证明。也c共面的充要条件是。X C , CX，qxZ;共面.证 Z?XC,CX4,xZ?共面的( > > > > bx c, ex a, ax bbx c x ex a7 V(Tb c a c- Id c c a . ax b = 0(5) a-b = a - b解:(1) a,解:(1) a,B所在的直线垂直时有Z +刃=a-h(2)(3)+ b;> >>> >> b,且Q,反向时有a + b = a - b(4)。,。反向时有,一/? = +人；(5) 同向，且 2 B 时有 a-B = 一 B§ 1.3 数量乘矢量1试解以下各题. > >> >(1)化简(x y)(a- Z7) (x + y)(。- b). >>->-> -> -> (2) a = g +262-63，b = 3e1-2e2+2e3 ,求 a+b, a-b 3 a+2b . -> -> ->从矢量方程组3；+4q = f,解出矢量;，2x-3 y = b解(1)(x- y)- (a- /7) - (% + j) (a- b) = x a+ x b- y a- y b- x a+ x b- y a+ y b = 2x b- 2y aT T T ->->->->->->->(2) q+ Z? = ' + 2 g q + 3 g 2 令 + 2 4 = 4q + q , -b 6 + 2 6) q (3 G 2 e2 + 2 q) 2 g + 4 e2 3 q ,3a 2b = 3(g + 2e2一/)2(3g 2g + 2q) 3, +10g 7e?.2四边形4BCD中，AB=a-2c, CD = 5a+6b-Sc ,对角线AC、8。的中点分别为£、F ,求还.T1 I-> f f f角星 EF = -CD+-AB = -(5a+6b-Sc) + -(a-2c) = 3a+3b-5c.3 设A3=6z+5Z?, BC = -2a+Sb, CD = 3(ab),证明：A、B、。三点共线. 证明 BD = BC+ CD = -26/+ 8b+ 3(a- b) = a+5b = AB->>AB与3。共线，又5为公共点，从而A、B、。三点共线.4 在四边形 A3CD 中，AB=a+2b, BC = 4ab, CD = 5a3Z?,证明 ABC。为梯形.-一、2=ab c =0I7<=> ab d =07ff -<=> a,b.c 共面.6.对于任意矢量Q,0,c,d,证明bed a- c d a b+ dab c- ab c d = 0G 7一证 bed a-7G 7一证 bed a-7c d a h+ d ah c- ab c dcxd b a-7(T -、一、一cxd a b+Jaxb d c-ex d x ax b +ax b x ex d7(Tax b x cxd7 ax b x ex d - 0其次章轨迹与方程§2.1 平面曲线的方程1 .一动点M到A (3,0)的距离恒等于它到点3(-60)的距离一半，求此动点M的轨迹方程, 并指出此轨迹是什么图形？解：动点M在轨迹上的充要条件是q。设M的坐标(x,y)有7(x-3)2 + y2 =-(x + 6)2 + y2 化简得(x 6)2 + V = 36故此动点加的轨迹方程为(犬-6)2 + y 2 = 36此轨迹为椭圆.有一长度为2。(>0)的线段，它的两端点分别在工轴正半轴与y轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A, 8为两端点，M 为此线段的中点。解：如下图设A(x,o), B(o,y) ,那么M(工2).在册"Ob中有( + /)=(2。)2 把一点的坐标代入此式得: (x2 + y2) = a2 (xZ0,y20)此线段中点的轨 迹为(V +y2) = 2.3 . 一动点到两定点的距离的乘积等于定值加2，求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2m并取两定点的连线为X轴，两定点所连线段的中垂线为y轴.现有: AM-BM =府.设M(x,y)在RtBNM 中(a + x)2 + y2=AM. (1)在 RtaBNM 中 (a-x)2 + y2=BM. (2)由(2)两式得：(X2 + 9 )2 - 2a2 (12 一 ,2)=加1 14 .4 .设P, Q, R是等轴双曲线上任意三点，求证PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.x = ct证明：设等轴双曲线的参数方程为cP(%，),。(，为)，R。3，).重心”尸一It'3'3).任何一圆交等轴双曲线孙=，于四点。(%,£)1(%,£)及S(%,9) .那么 "23'4肯定有小2y4 = 1证明：设圆的方程/ + 3；2+2瓜+ 2切+/=0.圆与等轴双曲线交点(£)，那么代入得c12Fr+ 2Dct + + 尸=0.整 理得：c2t4 + 2Dct3 + Ft2 + 2Ect + c2 = 0.可 知2(i = 1,2,3,4)是它的四个根,那么有韦达定理4 4%3，4 =(T)4 -T = 1 c(Dy2 =/； (2) X2 + y28.把下面的平面曲线的一般方程化为参数方程.=a2 .(a > 0)； (3)x3 + V -2axy = 0,(a > 0)._L _L _L令x = acos，6,代入方程= a2_L _L _L1得 J = a2 - a2 cos2 0 = a2 0,y = asm4 0.参数方程为令y =枕，代入方程x3 + y3 - 3axy = 0得(1 + /at 3at=> x = 0 或x =T1 + ?当 =。时，y =。;当片普时，y3at21 + J3atx =故参数方程为41 + t3at§2.2曲面的方程1、一动点移动时，与4(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,那么 M(x. y.z) eC o MA = z亦即 (x-4)2 +y2 +z2 = z(X 4)2+y2 =0由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(X-4)2 +y2 =。2、在空间，选取适当的坐标系，求以下点的轨迹方程：(1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹；(2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；(3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；(4)到肯定点和肯定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：(1)取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为机，二定点的距离为2，那么二定点的坐标为(。,0,0),0,0),设动点M(x,y,z), 所求的轨迹为C,那么y,z) e C o y/(x-a)2 + y2 +z2 =myl(x + a)2 + y2 +z2亦即(-a) 2 + y2 + z2 = m2(x + a)2 + y2 + z2经同解变形得：(l-m2)(x2 +y2 +z2)-2a(l + m2)x + (l-m2)a2 =0上式即为所要求的动点的轨迹方程。(2)建立坐标系如(1),但设两定点的距离为2c,距离之和常数为2a o设动点y, z), 要求的轨迹为C,那么M(x,y,z) £ C(x-c)2 + V +z2 + J(x + c)2 + y2 + z2 = 2cl亦即 yj(x-c)2 + y2 + z2 =2a- y(x + c)2 + y2 + z2两边平方且整理后，得：(。2/)X2+。2y2+，2z2 =，2(。2。2)(j) a > c /.令/ = a2 -c2从而(1)为+a2y2 +a2z2 = a2b2即：b2x2 +a2y2 +a2z2 = a2b2由于上述过程为同解变形，所以(3)即为所求的轨迹方程。(3)建立如(2)的坐标系，设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,贝！J(x,y,z) £ C o /(x-c)2 + y2 +z2 + /(x + c)2 + y2 +z2 = ±2a222类似于(2),上式经同解变形为：5-二-1 = 1er b c-其中 b2 =c2 -a2 (c>|d)(*)(*)即为所求的轨迹的方程。(4)取定平面为双？面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,。)，再令距离之比为 m o设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,那么y9z) e C = yx2 + y2 + z2 -mz将上述方程经同解化简为：x2 + 2 +(l-m2)z2 -2cz + c2 =0(*)(*)即为所要求的轨迹方程。3.求以下各球面的方程：(1)中心(2,1,3),半径为；R = 6(2)中心在原点，且经过点(6,-2,3)；(3) 一条直径的两端点是(2-3,5)与(4,3)(4)通过原点与(4,0,0),(1,3,0),与,0,-4)解：(1)由本节例5知，所求的球面方程为：(x-2)2+(y + l)2+(z-3)2=36(2)由，球面半径R = 将+ (2产+ 3? = 7所以类似上题，得球面方程为x2 + y2 + Z2 = 492+4-3+15-3(3)由，球面的球心坐标。= 3,b = l,c = =1,球的半径222R = gj(4 2)2+(1 + 3尸+(5 + 3尸=旧，所以球面方程为：(x-3)2+(j； + 1)2+(z-1)2 =21(4)设所求的球面方程为：x2 + y2 +z2 +2gx+2hy + 2kz+l = 0因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,T)，所以/ = 0(1)(1)16 + 8g=010 + 2g + 6/z = 016 8Z = 0 x.解(1)有7 = 0h = -1g = -2k = 2所求的球面方程为x2 + y2 +z2 -4x-2y + 4z = 0母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出以下方程所表示的曲面的图形。(1) 4x2 +9y2 = 36解：各题的图形如下：(2) 4x2 + 9y2 = 36§2.3 空间曲线的方程1、平面X = C与-+y22x = 0的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满意fx2 + y2 -2x = 0 0= c(2-c)x = cx = c从而：(I )当0vc<2时，公共点的轨迹为:y = _Jc(2 c)卜=Jc(2-c)x = cV.即为两条平行轴的直线；(II)当c = 0时，公共点的轨迹为：即为Z轴;卜=。x = 0(III)当c = 2时，公共点的轨迹为：y = 0r 即过(2,0,0)且平行于Z轴的直线;x = 2(W)当c>2或c<0时，两图形无公共点。2、指出以下曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？(1) x2 +y2 +16z2 =64；(2) %2 +4y2 -16z2 =64；(3) x2 -4y2 -16z2 = 64 ；(4) x2 +9y2 = 16z解：(1)曲面与xoy面的交线为：x1 + y2 + 16z2 = 64 = x2 + y2 =642 = 0z = 0此曲线是圆心在原点，半径R = 8且处在xoy面上的圆。同理可求出曲面/ + V +