中考数学经典压轴题大集合(二)(共46页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上中考数学压轴题大集合（二）17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2BP·BE，能否推出APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.解 （1） C（5，-4）； （2）能。连结AE ，BE是O的直径， BAE=90°. 在ABE与PBA中，AB2BP· BE , 即, 又ABE=PBA,ABEPBA . BPA=BAE=90°, 即APBE . （3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2BQ· EQ. Q点位置有三种情况：若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；若无两条等长，且点Q在线段EB上，由RtEBA中的射影定理知点Q即为AQEB之垂足；若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切C于点A.设Q(),并过点Q作QRx轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12BQ1· EQ1 ,Q1(5, -4)符合题意； 当Q2点在线段EB上， ABE中，BAE=90°点Q2为AQ2在BE上的垂足， AQ2= 4.8（或）.Q2点的横坐标是2+ AQ2·BAQ2= 2+3.84=5.84,又由AQ2·BAQ2=2.88,点Q2（5.84，-2.88）, 方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的C的切线与直线BE在第一象限的交点.由RtQ3BRRtEBA，EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t, 由RtARQ3RtEAB得， 即得t=，注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为，即Q3（，）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), 直线BE的解析式是 . 设Q3（，）,过点Q3作Q3Rx轴于点R, 易证Q3AR =AEB得 RtAQ3RRtEAB, , 即 ,t= ,进而点Q3 的纵坐标为，Q3（，）. 方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,Q3AB =Q3EA，,在R tOAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,可得直线AF的解析式为 , 又直线BE的解析式是 ,可得交点Q3（，）. 18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i )求拉杆DE的长度；FGxyCBOA图4(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆DE的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0k1），GFx轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tgFOG= tgCAO？此时点G与OA线段有什么关系？解 （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h代入A（d，0）得a=y=x2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9据题意OE=d，设D（d，yD）点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，DE=5米。(ii) 拉杆DE的长度不变。（3）OG=kd，点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得：yF= h(1k2) tgFOG= tgCAO ， = 解得 （0<k<1，舍），此时点G是线段OA的黄金分割点。19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）CO（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，把APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设A= x，PE = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使EF的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由。解 （1）设 把代入得 即 （2）顶点P（ AP=AB=BP=6 作于G，则，又，在中， （3）若轴 则 ， （舍去） 若轴 则 ， （舍去） 若轴， 显然不可能。 或 20. （2006湖北十堰）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，注：抛物线的顶点坐标为（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：_；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由解 （1）（2）当时，为等腰直角三角形3分理由如下：如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于当时，顶点的坐标为，又点的坐标为，从而，由对称性知，为等腰直角三角形 （3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则由（2）知，从而为等边三角形 四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称与的交点也为点，因此点的坐标分别为，在中，故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时21.（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE过点A的直线ykxm 交y轴于点F，FBFA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由解 （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，n）当x0时，ykxmm，点F坐标为（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，FBAF，m2n2(-2nm)2，化简得：m0.75n， 对于ykxm，当xn时，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 抛物线为y=x2x0.75n 解方程组： 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H坐标是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面积0.5×HM×AM6n2； 而矩形AOBC 的面积2n2，AMH的面积矩形AOBC 的面积3:1，不随着点A的位置的改变而改变 22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tanACO=，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO<PC)是关于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的两根 (1)求AC、BC的长； (2)求P点坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由解 (1) ACB=900，COAB， ACO=ABC tanABC=， RtABC中，设AC=3a，BC=4a 则AB=5a，5a=25 a=5 AC=15， BC=20 (2) SABC=AC·BC=OC·AB， OC=12 PO+PC=4+2k=12 k=4 方程可化为x2-12x+32=O解得x1=4，x2=8 PO<PC PO=4 P(O，-4) (3)存在，直线PQ解析式为：y=- x-4或y=- -423.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD (1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)OA=6，OB=12 点C是线段AB的中点，OC=AC作CEx轴于点E OE=OA=3，CE=OB=6 点C的坐标为(3，6) (2)作DFx轴于点F OFDOEC，=，于是可求得OF=2，DF=4 点D的坐标为(2，4) 设直线AD的解析式为y=kx+b把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得 直线AD的解析式为y=-x+6 (3)存在 Q1(-3，3) Q2(3，-3) Q3(3，-3) Q4(6，6) 二、函数与方程综合的压轴题1.（2004江苏宿迁）已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m 的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.MNCxyO解（1）设点（x1，0）,B(x2，0) .则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两根. x1 x2 m ，x1·x2 =m2 0 即m2 又ABx1 x2 m24m3=0. 解得：m=1或m=3(舍去), m的值为1. （2）设M(a，b)，则N(a，b) . M、N是抛物线上的两点, 得：2a22m40 .a2m2.当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. 这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为（0，2m）,而SM N C = 27 ,2××（2m）×=27. 解得m=7 . 2.（2005福建三明）已知二次函数(为常数，=)的图象与轴相交于A，B两点，且A，B两点间的距离为，例如，通过研究其中一个函数及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。561231223 （1）在表内的空格中填上正确的数；（2）根据上述表内d与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；（3）对于函数(为常数，=)证明你的猜想解 （1）第一行 ； 第三行 ，=9，； （2）猜想： 例如：中；由得， （3）证明。令，得，>0 设的两根为， 则+， 3.（2006上海浦东）已知：二次函数图象的顶点在x轴上（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数的图象与x轴必有两个不同的交点；（3）如果函数的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且ABC的面积等于2求这个函数的解析式解 （1）二次函数图象的顶点在x轴上， 又， 这个函数图象的开口方向向上 （另解：这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴相交， 这个函数图象的开口方向向上 （2），这个函数是二次函数 ， >0函数的图象与x轴必有两个不同的交点 （3）由题意，得， ， 而，点C的坐标为（0，-1） 所求的函数解析式为 4.（2005天津）已知二次函数.（1）若a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b的值；（2）若a =2，b + c = -2，b > c，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b0；（3）若a + b + c = 0，a > b > c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.解（1）当a = 2，c = -3时，二次函数为，该函数的图像经过点（-1，-2），解得b=1. （2）当a = 2，b + c = -2时，二次函数为该函数的图像经过点（p，-2），即于是，p为方程的根，判别式=又b + c = -2，b > c，b > -b -2，即b > -1，有b + 8 > 0.（3）二次函数的图像经过点（q，-a）,.q为方程的根，于是，判别式=又=又，且a > b > c，知a > 0，c < 03a -c > 0q为方程的根，或.当时， 若，则.a > b 0，即，若，则.当时，二次函数所对应的函数值大于0. 5.（2006江苏盐城）已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在OAB的外部作BAEOAB ，过B作BCAB，交AE于点C.(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x226(x1+x2)=8，求直线l的解析式解 (1)方法一：在RtAOB中，可求得AByAOBxCDGHOABBAC，AOBABC=Rt，ABOABC，由此可求得：AC 方法二：由题意知：tanOAB= (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CHx轴，交x轴于点H，则可证得ACAD，BD AOOB，ABBD，ABOBDO，则OB2AO×OD，即化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，y与x的函数关系式为：y=方法二：过点C作CGx轴，交AB的延长线于点H，则AC2(1y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），所求的直线l的解析式为：y=2x-16.（2006广东广州）已知抛物线y =x2+mx-2m2(m0) (1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是 否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由解 （1） 该抛物线与轴有两个不同的交点。 （2）由题意易知点、的坐标满足方程：，即由于方程有两个不相等的实数根，因此，即.由求根公式可知两根为：， 分两种情况讨论：第一种：点在点左边，点在点的右边.由式可解得 .第二种：点、都在点左边.由式可解得.综合可知，满足条件的点存在，此时、应满足条件：，或。三、动态几何型压轴题1.（2001天津）已知：在RtABC中，B90°，BC4cm，AB8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点若P为AB边上的一个动点，PQBC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y（1）如图，当AP3cm时，求y的值；（2）设APxcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；（3）当y2cm2时，试确定点P的位置解（1） PQBC， BC4，AB8，AP3， PQ D为AB的中点， ADAB4，PDADAP1 PQMN为正方形，DNPNPDPQPD， yMN·DNcm2（2） APx， ANx当ox时，y0；当x4时，；当4x时，yx；当x8时，y2（8x）2x16（3）将y2代入y2x16（x8）时，得x7，即P点距A点7cm；将y2代入时，得，即P点距A点cm2.（2002上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）解 图1 图2 图3（1）解：PQPB证明如下：过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形（如图1）NPNCMB BPQ90°，QPNBPM90° 而BPMPBM90°，QPNPBM 又QNPPMB90°，QNPPMB PQPB（2）解法一由（1）QNPPMB得NQMPAPx，AMMPNQDN，BMPNCN1，CQCDDQ12·1得SPBCBC·BM×1×（1）x SPCQCQ·PN×（1）（1）x2S四边形PBCQSPBCSPCQx21即yx21（0x）解法二作PTBC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形PTCBPN又PNQPTB90°，PBPQ，PBTPQNS四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCNCN2（1）2x21yx21（0x）（3）PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）解法一：此时，QNPM，CPx，CNCP1 CQQNCN（1）1当x1时，得x1 解法二：此时CPQPCN22.5°，APB90°22.5°67.5°，ABP180°（45°67.5°）67.5°，得APBABP，APAB1，x1 ONPQMCC1B1A1AB图13.（2006河北课改）如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，RtABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，RtABC停止移动.设运动时间为x秒，QAC的面积为y.（1）如图1，当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在RtABC向下平移的过程中，请你求出y与ONPQMCAB图2x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在RtABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？解 （1）如图1，A2B2C2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形. 2分ONPQMCABCAB图2ONPQMC1C2B1A1A2B2图1（2）当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有： MA=x，MB=x+4，MQ=20， y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC = =2x+40(0x16).由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72. （3）解法一： 当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x, y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC =-2x+104(16x32). 由一次函数的性质可知： 当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40； 当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72. 解法二： 在ABC自左向右平移的过程中，QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.因此，根据轴对称的性质，只需考察ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况，便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况. 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；当x=32时，y取得最小值，且y最小=40. 4. (2004山东枣庄)如图，在ABC中，AB17，AC5，CAB45°，点O在BA上移动，以O为圆心作O，使O与边BC相切，切点为D，设O的半径为x，四边形AODC的面积为yABODC （1）求 y与x的函数关系式； （2）求x的取值范围； （3）当x为何值时，O与BC、AC都相切？解（1）如图，过点C作CEAB，垂足为E在RtACE中，AC=5，CAB=45°， AE=CE= AC·sin45°= BE=ABAE=175=12， tanB= CB切O于点D， ODBC又 =tanB=， BD= S四边形AODC= SABCSBOD， ABCDEFOABCDOG(2)过点C作CFCB交AB于F在RtBCF中， CF=BC·tanB=13× x的取值范围是0x （3）当O与BC、AC都相切时，设O与AC的切点为G，连结OG、OC（如图），则OG=OD=xSAOC+SBOC= SABC， 5.（2004浙江宁波）已知是半圆的直径，AB16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ，PQAB， 垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C （1）当P点与O点重合时(如图1) ，求O2的半径r；图图AO（P）N·O2·O1MCQBP·AON·O2·O1MCQB （2）当P点在AB上移动时(如图2) ，设PQx，O2的半径r求R与x的函数关系式，并求出r取值范围解 (1)连结OO2、O1O2、O2C，作O2DAB于D O2与O、O1、PQ相切， OO28r，O1O24r 四边形ODO2C是矩形， ODr，O1D4r 根据勾股定理得: ， 即: ， r2 (2) AB是O直径，PQAB PQ2AP·PB设O1半径是a，则x22a（162a）4（8aa2） 连结OO2、O1O2、O2C，作O2DAB于D ， ， ， 根据勾股定理得:， 即: ， 化简得: ， 即 为0x8， 0r8 AQB图O（P）N·O2·O1MCBD图P·AON·O2·O1MCQD6.（2005河北）如图12，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC16，DC12，AD21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AOOB时，求BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（1）如图3，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。PMDC12解ABMCDPQ图3QB16t，S×12×(16t)96t（2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2 得 ，解得t；A若BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2 得： 即。由于7040无解，PBBQ若PBPQ。由PB2PQ2，得整理，得。解得（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。PAEEDCQBO图4（3）如图4，由OAPOBQ，得AP2t21，BQ16t，2(2t21)16t。t。过点Q作QEAD，垂足为E，PD2t，EDQCt，PEt。在RTPEQ中，tanQPEPAEEDCQBO图5（4）设存在时刻t，使得PQBD。如图5，过点Q作QEADS，垂足为E。由RtBDCRtQPE，得，即。解得t9所以，当t9秒时，PQBD。7.（2005河南）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB2，DC2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PCx，四边形ABPD的面积为y。（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以D为圆心、为半径作D，以P为圆心、以PC的长为半径作P，当x为何值时，D与P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。解（1）过点D作DEBC于E，ABC900，DEAB2，又DC2，EC2BCBEECADEC213S四边形ABPD4x，即yx4 (0x3）（2）当P与E重合时，P与D相交，不合题意；当点P与点E不重合时，在RtDEP中，DP2DE2EP222|2x|2x24x8P的半径为x，D的半径为，当P与D外切时，(x)2x24x8，解得x此时四边形ABPD的面积y4当P与D内切时，(x)2x24x8，解得x此时四边形ABPD的面积y4P与D相切时，四边形ABPD的面积为或8.（2005江苏宿迁）已知：如图，ABC中，C90°，AC3厘米，CB4厘米两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿ABC的边运动当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为（秒） （1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化设PQ与ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由解 （1）SPCQPC·CQ2， 解得1，2 当时间为1秒或2秒时，SPCQ2厘米2； （2）当02时，S； 当23时，S； 当34.5时，S； （3）有； 在02时，当，S有最大值，S1； 在23时，当3，S有最大值，S2； 在34.5时，当，S有最大值，S3； S1S2S3时，S有最大值，S最大值 9.（2005江苏泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30°得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. （2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围. （3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（30°90°（图4）；ED图2图3DE图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段CN·EM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CN·EM的值，如果有变化，请你说明理由. 解 （1）BE=AD 证明：ABC与DCE是等边三角形ACB=DCE=60° CA=CB，CE=CD BCE=ACD BCEACD BE=AD TS（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在CQT中 TCQ=30° RQT=60°QTC=30° QTC=TCQQT=QC=x RT=3x RTSR=90° RST=90°y=×32 (3x)2=(3x)2(0x3) （3）CN