高三限时练（排列组合与概率）公开课教案教学设计.docx

高三数学限时练（概率）1 .生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，假设从这5只兔子中随机取 出3只，那么恰有2只测量过该指标的概率为2 3A.B.3 54 1C.D.一55【答案】B【分析】此题首先用列举法写出所有基本领件，从中确定符合条件的基本领件数，应用古典概 率的计算公式求解.【详解】设其中做过测试的3只兔子为剩余的2只为A5,那么从这5只中任取3只的所有取法有a,b,c,a,Z?,A,a,Z?,5,a,c,A,G3,a,A3,4c,4,"cI,b,A3,c,A3共10种.其中恰有2只做过测试的取法有也闽,他,仇3,伍,0,4,。3,反孰4,g63共6种,所以恰有2只做过测试的概率为 =选B.【点睛】此题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考 查.应用列举法写出所有基本领件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利 用“树图法”，可最大限度的防止出错.2. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，那么不同的安排方法共有（）A. 120 种B. 90 种C. 60 种D. 30 种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】15,甲、乙两球落入盒子的概率分别为7和7.假定两球是否落入盒子互不影 23响，那么甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.12【答案】7T63【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为2 3且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为=2 3 6甲、乙两球都不落入盒子的概率为（1 ,）x（1 ；） = ；,所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2.312故答案为：；.6 3【点睛】此题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.16.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，那么甲通过自主 招生初试的概率为；记甲答对试题的个数为X,那么X的数学期望£"）=-【答案】工314【分析】根据古典概型计算出甲通过的概率，根据超几何分布的知识求得分布列和数学期望.83 1114 14 14【详解】 依题意，甲能通过的概率为P（X=3）+ P（X=4）=试卷第10页，总11页C2C2 3由""=2)= =才383故 EY = 2x + 3x + 4x = 3.141414【点睛】本小题主要考查古典概型，考查利用超儿何分布概率计算公式计算分布列和数学期望，属于基础题.17.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取 1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为4,那么06 =。)=; E®=【答案】1 3【分析】 先确定J = 0对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】 因为4 = 0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球,所以 PC = o)=，+，x，=，4 4 3 3随机变量J = o12,PC = i)=2 12 11 1 2 11X HX X|x x = 一 43432432 3P(J = 2) = 1二 L 3 3 3所以石(J) = 0x! + 1x! + 2x' = 1.故答案为：一；1.3【点睛】 此题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能 力，属基础题.首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C；C； = 6x 10 = 60种.应选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30 = 7 + 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是12141518【答案】C【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据 古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，随机选取两个不同的数，共有=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选31取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为一二一，选C.45 15点睛：古典概型中基本领件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂 的问题中的基本领件的探求.对于基本领件有“有序”与"无序”区别的题目，常采用树状 图法.（3）列表法：适用于多元素基本领件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、 抽象的题目具体化.排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4.设那么随机变量X的分布列是：X0a1P3工 33那么当。在（0,1）内增大时（）A. O（X）增大B. O（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大试卷第2页，总11页【答案】D【分析】研究方差随。变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数。表示，应用函数 知识求解.此题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象 和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法1：由分布列得石(x)=H9,那么11/1+11 - 3X2O11 zf+1 - - 03X2/+112 - 9-n - 3X)72在(0,1)内增大时,在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.方法2：那么八 2八 / 1(4 + 1)2 2q22q + 2 1(1Y 3D(X) = E X -E(X) = Q + + - 二= - a +-v 73 3999(2)4应选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二 是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2A,尸(X=4)vP(X=6),那么=A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【详解】 分析：判断出为二项分布，利用公式D(X)= w(l-p)进行计算即可.vD(X)= np(l-p).p = 0.4 或 p = 0.6/ P(x = 4)=。前4 (1 P)6Vp(x = 6)= C>6 (1-p)4,“J < p2;gDp>0.5故答案选B.点睛：此题主要考查二项分布相关知识，属于中档题.6.设。随机变量J的分布列如图，那么当在（。/）内增大时，（）012P1-P22P_2A. 0(/减小B.。（/增大C.。（为先减小后增大C.。（为先减小后增大D.。（劣先增大后减小【答案】D【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】Q£C) = 0xQ£C) = 0x1 - P . 1p1+ lx- + 2x= p + , 2222 0(4) =y(0p J)2 +|(1 - 一 +§(2一一|)2 =一22 +P + ；,Q；£（o,l）,。6）先增后减，因此选D.【点睛】EC) =心 p,= £(七EC)? Pi =沙 2p,一炉 C). Z=1i=i=l7.随机变量 Ji 满足尸(5=1)=p P(5=0)=1pi, i=L 2.假设 Ovpiv2< J , 那么A. E&kE©), D©)<D&)B. E©)<E&), D©)>D&)C. E/)>E($), D&)<D&)D. E&)>E&), D&)>D&)【答案】A【详解】 E&) = p1,E&) = p2 一. E&) < E&), v) = Pl (1 百),0 c2 ) = P2 (1 2 )，。(4)一。(42)= (1 一2)(1一1 一2)<。，应选 A.试卷第4页，总11页【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况， 然后利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率.对于服从某些特殊分布的 随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数.由此题随机变量。服从两点分布，由两 点分布数学期望与方差的公式可得A正确.8.将编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的小球放入编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七个盒 子中，每盒放一球，假设有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，那么不同的 放法种数为( ).A. 5040B. 24C. 315D. 840【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：先在七个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，再假设剩下的4个盒子的编号为4、5、6、7,依次分析4、5、6、7号小球的放法数目即可，进而由分步计数原理计算可得答案.【详解】 第一步，任选球与盒编号相同的三个数字，有=35种情况;第二步，余下放入盒子的四个球的编号与盒子编号均不相同，也即四个元素的错排问题.不妨设，剩下的4个盒子的编号为4、5、6、7,剩下的小球为4、5、6、7根据题意根据乘法原理，共35x9 = 315种放法,根据乘法原理，共35x9 = 315种放法,4,6474,7475,46,7 一5,4 <6,5' ,5,66,5' ,5,6工4共9种情况, 6,47,57,67,47,5应选：C.【点睛】 此题主要考查的是分步计数原理，以及组合数公式的应用，理解分步计数原理是解题 的关键，是基础题.9.某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的期望记为£(X),方差记为。(X),那么()A. £(X) = 5,O(X)>3B,石(X) = 5,O(X)<3C. E(X)<5,D(X)>3C. E(X)<5,D(X)>3D.石(X)<5,D(X)<3【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列 出相应的式子，从而求得£(X),O(X)的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，E(X) = 5x8 + 5=5, 9O(X) =O(X) =3x8 + (5-5>9=|<3,应选B.点睛：该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注 意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确 切的值，得到正确的答案.9.设p, q£(0)，随机变量量切的的分布列是:4012P1-P 22P_ 2那么()012q2£5i-q2(。)皿 <(。(叫3D(/HL与(。二大小关系不C,(。 L=(D(")a定【答案】C【分析】 根据随机变量，的分布列，利用期望和方差的公式，分别求得石和 结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，可得石& = Ox由题意，可得石& = Ox- + x- + 2x- = -+p, Er/ = >_q ,222 22那么 £)4 = (； + p)2+ (； )2 X ； + (1 一 p)221,1、21=P + P + = -(p-) +5，当p =；时，OJ取得最大值，最大值为试卷第6页，总11页3-） ci 19 119又由。=（彳_幻 x+（-Qyx+（+Qy2222221/1、21=Q +q + = Tq 1,422当q = L时，取得最大值，最大值为 22所以（。）皿=（。） 应选：c.10.甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有加个红球和几个篮球(根2 3, 2 3),从乙盒中随机抽取i(i = l,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为J,。= 1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为月. « = 1,2).A. Pl 2,石（）£（&）B. 12，£(。£值)C.百。2,石信 1)石信2)C.百。2,石信 1)石信2)D. PiP2，E（）E&）【答案】A【解析】【答案】A【解析】m n 1 2m+nm（m-l）mnP? 2£|（加+ ）（加 +-1）+ 2 n（n-l） 1x+ Jx-1） 3 （z + ）（m +九一1） 322377? -3m + 2mn + n -n3（加 + ）（加 + -1）Py-Pi =2m + 3m2- 3m + 2mn + h2-h _ 3（2m + ）（加 + n -l）-2（3/7? - 3m + 2mn rr-n2（加 + ）+5mn + nin-6（m+7i）（m + H-l）>（），故月 >%，xlllxm-n 2）2m + n2m + n2（m + n） 2m+nE（2）= °xmnm + nm + n1 t-x- +lx-1） 3J3m2 -3m + 2mn + n2 -n>3（m + n）（m + n-l）3rrr - 3m + 2mn + ” 一3rrr - 3m + 2mn + ” 一由上面比拟可知E（4）E©）,应选A考点：独立事件的概率，数学期望.11.有3个本校老师和3个外校老师被安排到高三地理选考考试的3个考场，要求一个试场有一个本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考1号试场，外校老师乙不监考2号试场，那么共有 种不同安排方案.【答案】16【分析】利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】解：根据题意得，第一步先排本校老师，先排甲2种排法，再排剩下的两名本校老师 有"中排法;第二步，排外校老师乙有两种排法，再排剩下的两名外校老师有8种排法;据分步乘法计数原理得共有2 x 2 X&x&=16种安排方案；故答案为：16.【点睛】此题考查有限制条件的排列组合问题，属于中档题.12 .在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为.【答案】-3【解析】试题分析：设一、二等奖各用表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本领件有4cB共6个，其中两人都中奖的有力B,B4共2个，故所求的概率P=： = g 所以答案应填：i O DD考点：互斥事件的概率加法公式.13 .将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排，且A, B均在C的同侧，那么不同的排法共有 种（用数字作答）【答案】480【解析】试卷第8页，总11页 按C的位置分类，在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3, 因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时，有A " 当C在左边第2个位置时A臬京当C在左边第3个位置时，有A氛g+A京1，共为240种，乘以2,得480.那么不同的排法共有480种.故答案为480.14 .随机变量X的分布列如下表，且石(X) = 2,那么=,O(2X-3)X02aP6P13【答案】=42【分析】由概率之和为1直接求出P的值即可；(2)先由题£(X)= 2求出a的值，再求出D(x),再利用公式求出。(2X3)即可.【详解】1 1 , 1(1)由题，一+ p + = 1 二一632(2)由期望公式：E(x) = 0x + 2x + 6zx = 2.*. 6/ = 3623D(x) = (0-2)2x- + (2-2)2x-!- + (3-2)2xi = l 623故 Z)(2% 3) = 22。(冗)=4故答案为(D.1(2). 42【点睛】此题主要考查了离散随机变量分布列的性质、期望、方差运算性质，属于基础题.