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滨海新区2021-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷两局部，总分值150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上.答卷 时，考生务必将I卷答案涂在答题卡上，II卷答案写在答题纸上，答在试卷上的 无效.祝各位考生考试顺利！第I卷选择题（60分）本卷须知：1 .每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2 .本卷共12小题，每题5分，共60分.一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .直线-百y一2 = 0的倾斜角为）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由 Gy 2 = 0可得：y = 3x所以斜率为女=且， 3设倾斜角为。，那么tana =虫，3因为O Wav 180°,所以 = 30°，应选：A【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为(i,o),半径为&TTT,再利用圆心到直线的距离等于半 径即可得解.【详解】由题意圆的方程d + y22x = 0可转化为(x iy + y2=Q + ,所以该圆圆心为(1,0),半径为JZ7T,所以圆心到直线 = 3的距离d = 3 1 =解得 =3.故答案为：3.【点睛】此题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力, 属于根底题.15 .数列%满足 4 =1 , 。 = 1+二一( £ N*),那么。4=. an-【答案】-3【解析】【分析】根据递推关系依次求出生，。3，。4即可.【详解】a = l+二一(wN*),11cIa2 = 1 + = 2 ,/=1 +a111cIa2 = 1 + = 2 ,/=1 +a113, 15-=1 %= + - = a2 24 3故答案为： 322.方程-匚=1表示双曲线，那么实数机的取值范围为m + 2 m + 1【答案】机一2或加一1【解析】【分析】 由双曲线方程的特点可得(加+ 2)(m+1)。，解不等式即可求解.22【详解】假设方程- = 1表示双曲线，m + 2 m + 1那么(加+2)(m+1) 0,解得：加v 2或机 一1,故答案为：根V2或机1.17.如图，在棱长为1的正方体ABC。AgG2中，求点5到直线AG的距离 【答案】亚3【答案】亚3【解析】分析】以。为坐标原点，分别以。A, RG，所在直线为工，y, z轴建立空间直角坐标系,取w豆=(0,1,0)u =J1),从而可得点3到直线AC的距离.【详解】以2为坐标原点，分别以AA，AG，。所在直线为X, y, z轴建立空间直角坐标系，那么 4(1, 0, 1),1, 1), G(°，1，0)，丽= (0,1,0),取a = AB = (01,0) , w = -5. =-(1,1,1),I AC1|3-2- 上a =1，au = ，故答案为：立.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：1）观察图形，建立恰当的空间直角坐 标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3设出相应平面的法向量，利 用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；4）将空间位置关系转化为向量关系；（5） 根据定理结论求出相应的角和距离.18.抛物线。：了2=2%（>0）的焦点为八 并且经过点“（2,-2&）,经过焦点尸且斜率 为1的直线/与抛物线。交于A 5两点，那么二,线段AB的长为【答案】 （1）. 2（2）. 8【解析】【分析】将点M（2,-272）代入抛物线C:y2= 2PMp > 0）可得的值，求出直线/的方程与抛物线方程联立可得为+的值，利用过焦点的弦长公式AF+ BF= x+ x2+ p即可求得 线段A5的长.【详解】因为抛物线C:y2=2px（p> 0）经过点M（2,2后）,所以2g二 2px2,解得 =2,所以抛物线C：V=4x,焦点/（1,0）,所以直线/的方程为：y = x-1,设A(ax), 3(,%)，f y1231 FA FB p'4)以A5为直径的圆与准线相切；5)以A尸或5方为直径的圆与y轴相切.19.数列%为等比数列，4=32,公比q =假设了是数列%的前项积，那么当 =时，Tn有最大值为.【答案】.5或6(2). 32768【解析】【分析】先求出%的通项公式，再将其前项积7；表示出来，利用函数的性质即可求得最值，以及 取得最值时的值.【详解】因为数列q为等比数列，e=32,公比q 二 ；, = 4x由，可得V6工+ 1=0，可得X+%=6,由抛物线的定义可得：所以 AF + BF = xl + + x2 + =+ x2 + p= 6+ 2= 8,故答案为：2； 85(%,%)，那么：BF =2,1 + cos a【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线丁 = 2px ( > 0)的焦点方的弦，假设A(%, y),n221XjX2 = - ,P ；42)假设点A在第一象限，点3在第四象限，那么AF =E一 l-cos«弦长|A3| = X+X2 + = r ,为直线A3的倾斜角)； sirr a所以 =32x丫一3=26-，所以J； = q。2,%4 = 25242326一 = 25+4+3+T6-2§+4+3+. +6-n 2（5+6-）-n+l n=2 2令,对称轴为八=5.5,因为是正整数,所以人=5或6时/()=一一；11"最大,此时，最大,I最大值为丁=2-52+11x5T=215 =32768'故答案为：5或6； 32768.故答案为：5或6； 32768.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是将%前飞项积7；表示出来,2n2,结合对应的二次函数的性质可求最值.20.椭圆C：x2a2=1(。匕0)的右焦点尸9,0),点/在椭圆。上，线段Pb与圆、 cx3；【答案】V53【解析】【分析】 根据数形结合分析，可得PF上PF ，并根据勾股定理，可得 br2+ 9=(_相切于点。，且迎=2万，那么椭圆C的离心率为 +(2一=4。2 =4(/_/),计算离心率【详解】如图，首先画出函数图象,12EF = OF-OE = c-c = -c12EF = OF-OE = c-c = -cEFEF'2c 13J1 -2, c + -c3又,=2诙，：.PFY /QE,且QE 1 口鬲不且小/|2E| = |, ：.PF'=b,根据椭圆的定义可知|正川=2-,由勾股定理可知|Pk十|Pb由勾股定理可知|Pk十|Pb'=|耳局） 即=4/ =4（/ _/）b 2整理为 h1 + 4a2 +h2 4ah = 4a2 4h2，即一二彳，a 3故答案为：且3【点睛】方法点睛：此题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于兄。的齐次方程求解.，3,根据几何关系找到a,4 c的等量关系求解.三.解答题：本大题共4小题，共50分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.圆C的圆心在x轴上，且经过点4(-3,0), 5(-1,2).I )求圆C的标准方程;3II)过点P(0,2)斜率为的直线/与圆C相交于M,N两点，求弦MV的长.【答案】(I (x+1)2 + /=4； (II) 2 6.【解析】【分析】(I)求出AB的垂直平分线，可求得圆心坐标，进而可求出半径，得出圆的方程;(II得出直线方程，求出圆心到直线距离，由几何法即可得出.【详解】解：I)设A3的中点为。，那么。(2,1),70-2 t,* 阳8 = 9"-3+1由圆的性质得COJLA3,所以左心3=1,得分。二1,所以直线CD方程是y = -x1,令y =。，可得x = 1,故圆心C(1,0),半径厂= |AC| = 2,所以圆C的标准方程为(x += 43H)可得直线/的方程为y = x+2, 4圆心。(1,0)到直线/的距离为d 二圆心。(1,0)到直线/的距离为d 二二1所以，MN = 2*_d2 =271 = 2622.如图，在四棱锥夕A5CO中，PDJ_底面ABCQ,底面ABCQ是边长为2的正方形,PD = DC, F , G分别是依，AO的中点.BI求证：G/，平面PC8；n）求平面e钻与平面pcb的夹角的大小；III）在线段AP上是否存在一点使得。0与平面AOb所成角为30。？假设存在，求 出M点坐标，假设不存在，请说明理由.【答案】（I ）证明见解析；（II） 60。；III）存在，（1,0,1）.【解析】分析】1）以。为原点，DA. DC、0 P分别为工、V、z轴建立空间直角坐标系，写出G、P、A、3、C、尸的坐标，根据法向量的性质求得平面PC8的法向量为，证得淀/万即可；2由 知，平面尸CB的法向量为为=（0, 1, 1）,同11）可求得平面的法向量成,m*nDM4DMt "由cos" ”>=而而即可得解;3)设 AM = AAP那么”(2 24,0, 2A),故有cos60。=| cos < DM, t >| '解之得2的值即可.【详解】（I）证明：以。为原点，DA. DC、OP分别为工、y、Z轴建立如下列图的空间直角坐标系，F那么 4(2,0,0), B(2,2, 0), C(0,2,0),尸(0,0,2), G(l, 0,0)/ (1J J). GF = (0 JI),PB = (2,2,-2), PC = (0,2-2)设平面PCS的法向量为碗= （/y,zJ,那么设平面PCS的法向量为碗= （/y,zJ,那么m-PB = 0m-PC = 02x1 +2y -2zj =02yl - 2zj =0令 G=1， 那么七=0, % = 1,m=(0 J J) GF/m故G/J_平面PC8.(H)解：由1 I知，平面PCS的法向量为莉= (0,1,1),PB = (2,2,-2),西=(2,0,-2)设平面B45的法向量为 = （%,%，Z2），那么那么n-PB = 0 即 +2%2%2 =0 ri - PA = 02x2 2z2 = 0令 z2 = 1 ,那么 x2 = 1, % = 0,，1V2xV2所以平面的法向量元二（1,。, 1）_ _ m-n cos < m, n >=|沅|利二平面RIB与平面PCB的夹角大小为600.III）假设线段A尸上存在一点M,设而=丸而，Ae0,l,那么"（2 24,0,2,/.W = (2-22,0,22),设平面ADb的法向量为亍=(当，为，Z3)，通=(2,0,0),加二(1,1,1),由方 T = 0,加,亍=0 得到亍=(0, -U), DM与平面ADF所成角为30° ,DM与7所成角为60。， . cos60° =| cos < DM,t >= I 血m = /»=-,I W|.|7| V(2-2)2+422-V2解得2=!，2故在线段AP上存在一点Af ,使得与平面AZ)厂所成角为30。，点M的坐标为(1,0,1).【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点加，设血 =49，利用向量的坐 标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的兄，即存在，否那么不存在.23.等差数列4的前几项和为S，且54=4邑,。2.=2。+1,£4*,(I )求数列怎的通项公式；(II)假设么=3T,令c=%4+-,求数列g的前项和却 an , an+【答案】(I) %=2-l(£N*)； (II) T=(n-i)3n + l + .'7 2n + l【解析】分析】(I)根据条件列出方程组求出数列的首项和公差，即可得出通项公式；(II分组求和结合错位相减法和裂项相消法可求出.【详解】解:(I )设等差数列4的公差为d ,那么由S4 = 4s2M2 = 2% + 1,” w N*+6d = Sa, + 4d,f a, = 1,可得V 八八c 八，解得cq + (2 一 l)d = 2% + 2(n - l)d + 1.d = 2.因止匕4 = 2 一 1( g N*).经过A（0,2）, 5（1,0）两点的直线的方向向量为（1处，那么左的值是）A. 1B. -1C. 2【答案】D【解析】【分析】由两点的斜率公式计算即可.2-0详解】解：由得 =二2.0-1应选：D【点睛】此题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是根底题.2 .抛物线/ =2y的焦点坐标为（）（ A. （1,0）B.（0,1）C. ,012 ）【答案】D【解析】【分析】（八根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为0,£即可求解.12）【详解】由/= 2可知抛物线焦点在y轴上，且 =1,所以4 =,，2 2（n故焦点坐标为：o,-,I 2）应选：D4 .等差数列%的前项和为S，%=8, §3=6,那么，o 的值是A.48B. 60C.72【答案】A【解析】D. -2D. 0,一D. 24【分析】 根据条件列方程组，求首项和公差，再根据S。57=/+。9+4（）=39,代入求值.(II)由(汲勿=37 ,11 <11> % = (2 - 1) 3'1 += (2/1-1)- 3一| +(2 -1)(2 + 1)2 1 2 -1 2n+l)那么令 A = 1x30+3x31+5x3?+ +(2- 1)3t,n 1 1 111 A 1<1 A nB 1 + +-,21 3 3 52/7-1 2/?+ 1J 21 2/1 + 1J 2 + 1那么 7； = A + 8,A = lx3°+3x31+5x32+. + (2-1).3工3A = 1x3;3x32+5x33+(23)3”】+(21).3，两式相减得2A = l + 2x(3i+32 +33 + + 3T) (2 l)3,-24 = 1 +-24 = 1 +2(3-3)1-3(2-1)3=3(2 2)一2所以4 =5T 3+i综合知7； = A+5综合知7； = A+5=(胃1)3+1 +n2 + 1【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：m 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；2）对于见2结构，其中4是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；对于4+结构，利用分组求和法；1 111 r 1114）对于卜结构，其中%是等差数列，公差为d,那么=-14%+/dan 4+J利用裂项相消法求和.24.如图，在平面直角坐标系X。，中，椭圆C：Y2 V21二十二=1的离心率6 = 一，左顶a b2点为4（2,0）,过点A作斜率为攵/W0）的直线/交椭圆。于点。，交y轴于点EyI）求椭圆。的方程;IIP为AD的中点，是否存在定点。，对于任意的左（左。）都有石。，假设存在,求出点。的坐标；假设不存在说明理由;4 n 1 ,万an）假设过。点作直线/的平行线交椭圆c于点求的最小值.OM【答案】（I ）丫2v231= 1； (II)存在，(,0) ； (III) 2a/2 -432【解析】【分析】I）根据离心率和顶点求出再求出。即可得出方程;II联立直线与椭圆方程求出点。坐标，进而得出点尸坐标，再利用七q=T即可求出定点;an）设om的方程为> ="，与椭圆联立，得出m横坐标，利用AD + AE xD xA| +|OM表示出，即可求出最值.Y2 y21【详解】解：（）因为椭圆C： +=1 （>b>0）的离心率6 =,左顶点为A（2,0）, a2 h22所以 =2,又6 = ,，所以。=1,可得/=2片=3, 222所以椭圆C的标准方程为土 +上=1 ；43（II）直线/的方程为y = %（、+2）,22J J43y = Z(x + 2)，可得:(x + 2)(44 + 3)%+8A2-6 = 0,所以为 7'%=芸詈一8公 + 6 山，8公+6 、12kx =时，y = k(；+ 2)=；，4k2+ 34k2+ 34k2+3的 、1-8公+612k 4k2+ 3 4k2+ 3Sk2 6k因为点P为的中点，所以P点坐标为（一，）, 4k2+ 3 4k2+3直线/的方程为 = %（x + 2）,令x = 0,得£点坐标为（0,2左）,假设存在定点。（狐ri）（m w 0）使得OPLEQ,那么 kgp * kEQ 1 ,即_2、4k,n-2k i 一 、二一1恒成乂, m所以(4m + 6)k - 3 = 0 ,所以4/7? + 6 = 0，即3 = 03 m =2 ,n = 03所以定点。的坐标为0）.III）因为/，所以OM的方程可设为y =丘,=1联立可得M点的横坐标为x = ±_, 2/=,J4/ + 3由QM/可得:4。+ 4石_|程“ +昆“_程_2/OM_ 4二+9氐/4白+3当且仅当“公+3 = / :，14k2 + 3即 = ±走时取等号， 2所以当 = ±走时，4需£的最小值为2e.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：1）得出直线方程，设交点为A（%，y）, 3（，%）；12）联立直线与曲线方程，得到关于x或的一元二次方程;3）写出韦达定理；4将所求问题或题中关系转化为百+，斗形式；15）代入韦达定理求解.4 + 4d = 8( 八a1= 0【详解】由条件可知上 3x2 z ,，解得：J，3a, Hd = 6d = 212iS q S Qg + a, + q 0 3dg = 3 (q + 8d) 48.应选：A5.等比数列。中，ai=7,。4=的。5,那么所=()A 111A. -B. C. D. 7973【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列的性质求出。4,再根据通项公式求出首项，即可求出。7的值.【详解】解:等比数列斯中，。1 = 7,由4 =。3。5 = 42,解得。4=1, 4 = 0舍去)，i24 Cl 1,.7=aq6=7x f ) 2=, 77应选：B.6.某中学的“希望工程募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200 元.他们第一天只得到1。元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天 多10元.这次募捐活动一共进行的天数为()A. 15 天B. 16 天C. 17 天D. 18 天【答案】A【解析】【分析】由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前项和即可求出.【详解】设他们每天收到的捐款形成数列%,那么由题可得%是首项为10,公差为10的等差数列，n(n :.S=Wn + -xl0 = 1200,解得 = 16 (舍去)或 = 15,2所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.应选：A.7 .圆G：/ + y2=9与圆。2：（11）2+（丁 + 2）2=36的位置关系是）A.相交B.相离C.内切D.内含【答案】D【解析】【分析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆 G ：/ + 丁=9与圆。2：。 1）2+（丫 + 2）2=36,可得 C（0,0）“ =3,。2（1,-2）,r=6,那么|GG| = "（i-oy+（-2-Oy =后,又由弓一4=3,所以6。2|<4大所以圆c和圆。2的位置关系式内含.应选：D.8 . A为抛物线。：丁2=2武>0）上一点，点4到。的焦点的距离为15,到>轴的距离为 12,那么的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】首先设点然后根据条件列式，求的值.【详解】设4（%,%）,X。+ 4 = 15那么彳° 2,解得：p = 6./（）=12应选：B9 .等差数列伍的前项和为S, 4 = 10,公差d = -3.5, S取得最大值时几的值为（）A. 3B. 3C. 4D. 5E. 6【答案】A【解析】【分析】求出等差数列的前项和，利用二次函数的性质即可求出.【详解】q =10,d = _3.5,（九一 1） /、7 9 47/. Sn = 10/?+-x（-3.5）=n + n，2 v 74447可得对称轴为=,开口向下，14N*,当 =3时，S取得最大值为;.应选：A.【点睛】求等差数列前项和最值：n（n-l） f d 9 （ d方法点睛：由于等差数列）ci：" a,- 是关于的二次函数，当由 与d异号时，s在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与d同号时，s在 =1取最值.10 .如图，在四面体Q45C中，。是BC的中点，G是AO的中点，那么加等于） 因为在四面体Q45C中，。是的中点，G是AO的中点，赤=西+，而，即可求得答A. -OA + -OB + -OC 333C. -OA + -OB + -OC244【答案】C【解析】【分析】B. -OA + -OB + -OC234D. -OA + -OB + -OC4462案.【详解】在四面体。45C中，。是3C的中点，G是AO的中点.OG = OA + -AD2 1 1 = OA + -x-(AB + AC)= OA + x(OB-OA + OC-OA)= -OA + -OB + -OC244应选：C.【点睛】此题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量根底知识和数形结合，考查了分 析能力和空间想象能力,属于根底题.11. OC:x2 +/-2x-2j-2 = 0,直线/:x + 2y + 2 = 0, 为直线/上的动点，过点" 作的切线切点为AB,当四边形M4C3的面积取最小值时，直线A3的方程为)A, x + 2y- =0B, x+2y + =0C. x-2y-l = 0D, x-2y+l = 0【答案】B【解析】【分析】将面积化为Smacb=4 ,即可得点。到直线的距离即为|MC|最小，由此求出M坐标，由M,A,C,5四点共圆，求出该圆方程，和圆。方程相减可得直线A3方程.【详解】将f + 丁2x 2y 2 = 0化为标准方程为(x l+(y 1)2=4,故圆心半径为2,可得M4_LAC,那么M42 + ac2=mc2,Smacb =2Sac =2xjX MA 义 AC =2个 MC -4,M为直线/上的动点,M为直线/上的动点,那么可得此时取得最小值为2,此时MC_L/,/. kMC = 2 ,那么直线方程为y 1 = 2（九一1）,即y = 2x 1联立MC和I可得M（0,-1）,（ 半径为=2半径为=2可得M,ACI四点共圆，且圆心为中点-,0 ,12（ V 5那么该圆方程为x-I 2J，4将两圆联立相减可得直线A3方程为x +2y +1 = 0.应选：B.【点睛】关键点睛：此题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当MCJL/,面积最大，求出点M坐标，且共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦A3方程.丫2v2h212.6、尸2分别为双曲线/-2 = 1（。>0/>0）的左、右焦点，且花用=，点、P为双曲线右支一点，/为尸大鸟的内心，假设心肥片tSjpFj/Sj"?成立，给出以下结论:当P&_Lx轴时，/P耳& =30。离心率e = l±2后2 4 = 2点/的横坐标为定值。上述结论正确的选项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】当尸鸟J_x轴时，求出tan/P耳&=,，判定不正确；通过求解离心率，可判定正确;设片乙的内切圆半径为广，利用面积公式求得；I,可判定正确；设内切圆与PF,PF2,耳与的切点分别为,N,7,结合双曲线的定义，求得/的横坐标，可判定正确.*11【详解】当P乙轴时，可得|PQ|=' = c =/耳国，止匕时tan/P耳&=5,所以不 正确;q 1 2q / 2 q 2。2因为由与| 二竺，所以=，整理得/丝=0,aa a可得-1 = 0 （其中e为双曲线的离心率，e>l）,所以6 = 立5,所以正确;2设尸耳鸟的内切圆半径为小 由双曲线的定义可得|尸耳|一归玛| = 2,|耳闾= 2c,其中,肥耳二）尸用"，5加2 =）尸周"4/人画 乙乙乙因为S/x/pm二乃+/ S许后，所以不P白卜一= 51P闾, + %cr ,解得力=怛止四=3=工=避二1,所以正确; 2c c e 2设内切圆与。耳,尸耳，与鸟的切点分别为",MT,可得|加闫RV|，|耳明=|耳刀，内可| =|以1，因为忸耳日产国=|耳MTeWT471T取1=%耳闾=出刀+1磔1=2，可得优T| = c 。，那么点7的坐标为（。,0）,所以1点横坐标为，所以正确.应选：D1、定义法：通过条件列出方程组，求得心。得值，根据离心率的定义求解离心率J2、齐次式法：由条件得出关于de的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第n卷(90分)本卷须知:L用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二.填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分.13 .直线/与平面。平行，直线/的一个方向向量为;= (1,3,z),向量;=(4,2,1)与平面。垂直，那么z =.【答案】2【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】由题可知1- v = lx4+3x(-2)+zx 1 = 0 ,解得 z = 2.故答案为：2.14 .假设直线X = 3与圆f+y22尤。=。相切，那么 =【答案】3【解析】