三维设计二轮原创押题卷(二).docx

原创押题卷（二）（时间：120分钟总分值：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的）1 .设集合2=如，=/+1, M=x|y=N+l,那么集合M与集合尸的关系是（）A. M=PB. PGMC. MQPD. PJM解析：D P= y|y=x2+1 = yy 1 = h +°°), M=x|y=x2+1=R,所以 P=M. 应选D.1+P0212 .设复数z=-那么z的虚部是()3A. tB彳iC, 5D, ?解析：Al+j2021i+i4X505 ><i1+i(1+i)(2 + i)l+3i2 i 2 i2i(2 - i)(2+i)5所以z的虚部是3与应选A.3.菱形A8CO的边长为4,ZBAZ）=120°, E为5C的中点，点方在CQ上，且布= 2CF,那么肉+ 2前=()A. V13C. 2/21B.师D. 4s解析：C 建立如下图的直角坐标系，因菱形ABC。的边长 为 4,可知。=2, OB=2小,C（0, 2）, Eg 1）, F（一小,1）, A（0, -2）, AE =（73, 3）,左=（一小，3）, | AE+2F| = yj （2+92=2-/2T.4.函数y=ln 的图象为（ ）I乙人/ J ID（2）证明：假设直线/|、/2中有一条斜率不存在时，不妨设/斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=2吸或X=-2限，当/i方程为x=2、时，此时/i与“卫星圆”交于点（2吸，2）和（2w，-2）, 此时经过点（2吸，2）或（26，-2）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2, 即，2为y=2或y=2,此时线段应为“卫星圆”的直径，|MN|=4小， 当/1,，2斜率都存在时，设点尸（xo,州），其中蝠+网=12,设经过点P（xo,州）与椭圆只有一个公共点的直线为y=£（xxo）+yo,y=t （xx（） +y（）,联立方程y2忖+4 =屋消去 y 得到（1 + 2户）/+tx（）x+2（y（）tx8=0,那么 A = （648器）於 +16xo）”+ 328网=0,32 8）6 32 8 （12琬、廿二“立士 a , w 士32=64_8x8=64 8a6= '）两足条件的两直线/i, b 垂直，此时线段MN应为“卫星圆”的直径，|孙=4、3，综合可知，|MN|为定值且|加川=45.21.（本小题总分值12分）某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、北 海（广西）、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔各答、内罗毕、雅典和威尼斯共13个城 市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销 往这13个城市.（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；（2）每间工业厂房的月产量为10万件，假设一间厂房正常生产，那么每月可获得利润100 万；假设一间厂房闲置，那么该厂房每月亏损50万.该公司为了确定建设工业厂房的数目统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数 分布表：月需求量（单位：万件）100110120130月份数6241812假设以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达 到最大，应建设工业厂房多少间？解：（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，那么 P（A）= 1 P（A ）= 1m3'J所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为吉.A. I设该产品每月的总利润为匕当 =1。时，产品可完全售出，故y= 100x10=1 oocx万元）.当 =11时，月需求量为100万件时，获利y=100X1050=950（万元）.月需求量为iio万件及以上时，获利y=iooxii = i 100（万元）.6P（y=950）=而=0.1,p（y=i ioo）=1 -p（r=950）=1 -o.i =o.9.y的分布列为Y9501 100P0.10.9A E（y）=950X0.1 + 1 100X0.9=1 085（万元）.当=12时，月需求量为100万件时，获利y=100X 1050X2 = 900（万元）.月需求量为110万件时，获利y=100X 11-50=1 050（万元）.月需求量为120万件及以上时，获利7=100X12=1 200（万元）.624P（y=900）=77；=0.1, P（y=l 050）=示=0.4, o（JoU18+12P（y=l 200）=0.5.oUy的分布列为Y9001 0501 200P0.10.40.5A£（y）= 900X0.1 + l 050X0.4+1 200X0.5=1 110（万元）.当/?=13时，月需求量为100万件时,月需求量为100万件时,月需求量为110万件时,获利 丫= 100X1050X3 = 850（万元），获利 丫= 100X1150X2=1 000（万元c月需求量为120万件时，获利7=100X12-50=1 150（万元）, 月需求量为130万件时，获利r=100X13 = l 300（万元）.624p（y=850）=而=0.1, p（y=i ooo）=而=0.4,P（y=l 150）=j1=0.3, P（y=l 300）=11=0.2.y的分布列为Y8501 0001 1501 300p0.10.40.30.2AE(y)=850X0.1 + l 000X0.4+1 150X0.3+1 300X0.2=1 090(万元).综上，当 =12时，E(y)=l 11。(万元)最大，欲使该产品的每月总利润的数学期望到达最大，应建设工业厂房12间.22.(本小题总分值12分)函数,火幻=匕乎一4(£阳.(1)假设/U)W0在(0, +8)上恒成立，求Q的取值范围，并证明：对任意的£N*,都有 ,1,1, , 1 ,1 +§!k>ln(/?+1)；(2)设g(x) = (% 1 )2e".讨论方程"X)=g(x)实数根的个数.解：(1)由火x)W0可得，心人1 +ln x eix X令/z(x)=,那么/(x)=人1 +ln x eix X令/z(x)=,那么/(x)=(1+lnx) In xx2X2当工£(0, 1)时,hf (x)>0, (x)单调递增； 当%正(1, +8)时，hf(X)<o,以%)单调递减, 故力(X)在X=1处取得极大值，也是最大值， 要使匕手，只需。2/2(1)=1,故Q的取值范围为1, +°°), d 小、 I,1, 1+lnx 一显然，当4=1时，有1,即不等式lnx<x-l在(1, +8)上恒成立，人 +1 t ，n 1 n- 11令 那么有- 1=:nn n n所以n/+ln-|bln，2-12n 2 3 n即 l+g+g_lF>ln(n +1).,rm 1+lnxc(2)由次x)=g(x)可侍，-a=(x-l)-e 人EE 1+lnxr 人1 +ln Xr即 a= (% l)2eA, 令 Z(x) =" (x 1 )2eA(x>0),Inx )那么 t (x) = -2 (x2 1 )e', X当go, 1)时，/ a)>o, ©)单调递增;当尤w(i,+8)时，/ a)vo,心；)单调递减, 故，(x)在X=1处取得极大值*1)=1,也是最大值， 又当 f。时，(x)f 8, 当 Xf + 8 时 £(x)f 8, 所以，当Q=1时，方程/U) = g(x)有一个实数解； 当qvi时，方程"x)=ga)有两个不同的实数解； 当a>l时，方程式x)=g(x)没有实数解.解析：A 易知2x3W0,即x#*排除C、D.当看时，函数为减函数；当制时, 乙乙乙函数为增函数，应选A.5.(JT ) 2sin( n 6t) = 3sin+贝lj sin2 a sin 2 a cos2 Q =(B.B.113a 白.应选B.-X.3a =5从而 sin2 乙6 .唐代诗人李颁的诗古参军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.” 诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某 处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设 军营所在区域为x2+ywi,假设将军从点A(2, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为()A.C. 2y2B. 22-1D. yiQ解析：A设点A关于直线x+y=3的对称点4(m b)9 AAr的中点为告，故< a2Ft f =a2。+ 2 b r +厂3,b=l,要使从点A到军营总路程最短，即为点4到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为小可口一1=4而一1,应选A.7 .函数4x)的图象与指数函数=户(。>0,且的图象关于直线y=x对称，函 数人幻的图象经过点A(4, 2)与点8(8,。，假设p=/°V 4=。2，r=logz0.2,贝1()A. r<q<pB. r<p<qC. q<r<pD. p<q<r解析：A因为凡r)的图象与指数函数y=(a>0,且qW 1)的图象关于直线y=x对称， 那么危) = logx,又因为图象过点4(4, 2),贝U 2 = log“4,那么。=2,那么函数段)=log2%,因此/ = log28 = 3.那么=产2=3。21,夕=02'=0.23 , 0<(/<1, r= logz0.2 = loga0.2<0,故 r<q<p,故 选A.228.B，&分别为双曲线今一方=1(4*0)的左、右焦点，过尸I，F2作一条渐近线的垂线，垂足分别为A, B,假设O5F2的面积为2,且双曲线的离心率万，yb5 ,那么"的取值范围是（）A.停1B.停1_C. I,也D. 1, 2hh解析:B依题意，取双曲线的渐近线方程为产队即AB的方程为尸九因为点F2（c, 0）,所以3F2的方程为尸一宗XC）,所以点8伶，g）,所以AOB尸2的面积为SZO5F2= JxcX华=y=2,即 。=4,因为 6=2 所以 /=1+¥，因为 eey/Tj, y/65 ,所以 17W1 +4或65,又。0,所以坐WaWl.应选B.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分）9 .随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.某家庭2020年全年的收入 与2016年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变 化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：那么以下结论中错误的选项是（）A.该家庭2020年食品的消费额是2016年食品的消费额的一半B.该家庭2020年教育医疗的消费额与2016年教育医疗的消费额相当C.该家庭2020年休闲旅游的消费额是2016年休闲旅游的消费额的五倍D.该家庭2020年生活用品的消费额是2016年生活用品的消费额的两倍解析：ABD 设该家庭2016年全年收入为m那么2020年全年收入为2。.对于A, 2020 年食品消费额为0.2X2q=0.4q, 2016年食品消费额为0.40 故两者相等，A错误；对于B, 2020年教育医疗消费额为0.2X2a=0.4m 2016年教育医疗消费额为0.2a,故B错误；对于 C, 2020年休闲旅游消费额为0.25X24=0.5a, 2016年休闲旅游消费额为0.la,故C正确; 对于D, 2020年生活用品的消费额为0.3X2a=0.6d 2016年生活用品的消费额为0.15m 故D错误.10 .在卜x十）的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,那么（）A.二项式系数和为64C.常数项为一135A.二项式系数和为64C.常数项为一135B.各项系数和为64D.常数项为135解析：ABD解析：ABD的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,令64,各项系数和也为64,故A、B正确;64,各项系数和也为64,故A、B正确;一点展开式的通项为，+1=&(3x)6r =1,得各项系数和为2，二项式系数和为2，那么2X2=128,得=6,即二项式系数和为k33= &(1)匕6)x65心令6一手:=0,得Z=4,因此，展开式中的常数项为八=金(一11.函数 f（x）=Acos（cox+（p）A>0,11.函数 f（x）=Acos（cox+（p）A>0,3>0, |研<3的局部图象如图1）4 32=135.故 D 正确.应选 A、B、D.所示，且满足£)=|,现将图象沿尤轴向左平移弓个单位长度, 得到函数y=g(x)的图象.以下说法正确的选项是()ji jiA. g(x)在一五，不上是增函数B. g(x)的图象关于x=等对称C. g(x)是奇函数D.g(x)在区间It上的值域是一4F，TL乙 L乙D DT 11 n 7 n Ji2 n解析：BCD 设«r)的最小正周期为T,由题图可知5=1厂一=彳，所以丁=一，2 n ,7 n , i7 兀ji9n3=京=3,当 时，y=0,即 3X+=2Z：ti 一了（攵£2）,所以（p = 2kf 一丁（攵£Z）, 亍ji因为191V7,所以上=1,(p =JT4,所以 yu)=Ac所以g(x)=/Q+总所以 A =2乎，所 以 fix) =2cos(3x一总,事n 3招（ 小 2a/2 ,（兀、| 2 C、|2/2 , n大一司=-3 sinrTj=3><Tj=_ 3 sinT= "所以A不正确；因为gdB=sin3x=sin(3义於)=1,所以B正确；因为8(一%)=一2sin( 3x)=¥sin 3x=g(x),所以 g(x)是奇函数，故 C 正确；当时，3xji 5 n 22 2 2£ 丁，, sin 3x£1 , g(x)£ 一箕一，7，故 D 正确.应选 B、C、D.-'乙J J12.正四棱柱ABCD-AxBxCxD的底面边长为2,侧棱A4 = 1, P为上底面ABxCDx 上的动点，给出以下四个结论中正确结论为()A.假设PO=3,那么满足条件的P点有且只有一个B.假设PD=小,那么点P的轨迹是一段圆弧C.假设PD平面AC?”那么QP长的最小值为2D.假设平面AC8,且PD=5,那么平面截正四棱柱由CQi的外接9 n球所得平面图形的面积为一厂解析：ABD 如图：:正四棱柱ABCO-A/iGA的底面边长为2, ，BiDi = 2吸,又侧棱 A4 = l,:.DBi= (2-)1=3,那么尸与 囱重合时尸0=3,此时P点唯一，故A正确；,一。=小£(1, 3), £>£>1 = 1,那么PDi=即点二的轨迹是一段 圆弧，故B正确；连接04, DC1,可得平面AQG平面那么当尸为4G中点时，。尸有最小值 为' (陋)2+了=小,故C错误；由C知，平面3。尸即为平面3。n8,平面成)P截正四棱柱ABCD-AiEGd的外接球1 jq9 IT所得平面图形为外接球的大圆，其半径为5 “22+22+ 12=；,面积为方，故D正确.应选A、B、D.三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 .函数/(x) = 3xcos x在(0, 7(0)处的切线与直线1 =0垂直，那么实数机的 值为.解析：因为了(x) = 3+sinx, / (0) = 3,所以在(0,40)处的切线的斜率为3,因为切线212与直线21一/2+1=0互相垂直，x+,所以而乂3 = 1,解得根=一6.答案：一614 .商家通常依据“乐观系数准那么”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价m 最高销售限价仪/>。)以及实数x(0<x<l)确定实际销售价格c=a+x(。一).这里，x被称为乐 观系数.经验说明，最正确乐观系数x恰好使得(c。)是S。)和S。)的等比中项.据此可得, 最正确乐观系数x=.解析：由题意得 x=b_Q, (ca)2=(bc)(ba)9bc=(ba) (ca) 9(c-a)2 (b-(/7q)(cd),两边同除以(b 。)2,得X2+x 1 =0,_ 1 =t/5. 小一1解得 x= 2 * 0<<l»-套案.邓I u 215.甲和乙等5名志愿者参加全运会A、B、C、。四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，那么共有 种不同的参加方法.解析：由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，那么有CgAW= 240种方法，甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有AX=24种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有240-24=216种.答案：21616 .如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一局部，杯口宽42 cm, 杯深8 cm,称为抛物线酒杯.在杯口放一个外表积为36兀cn?的玻璃球，那么球面上的点到杯底的最小距离为cm；假设在杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径的取值范围为cm.解析：因为杯口放一个外表积为36冗cn?的玻璃球，所以球的半径为3cm,又因为杯口宽4位cm,建立如图所示的平面直角坐标系，有45=也n，GA = G8=3, CyDLAB. 所以AD=BD=2® 所以|GD=d|G82一|D3|2= 正与=i,所以DE=2,又因为杯深8 cm, 即。=8,故最小距离为。一。5=6,易知5（2吸，8）,设抛物线的方程为 >=状2,所以将5（2世，8）代入得加=1,故抛物线方程为>=X2,当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图，设玻璃球轴截面所在圆的方程为炉+。一厂）2 =已依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立,即（/厂）22厂,那么有12（/+1 2厂）20恒成立，解得12r，0,可得所以玻璃球的半径的取值范围为（0, 1答案：6（0,四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .(本小题总分值 10 分)在。Seisin C=ccos(q-A;(DVccos A=acos 3+加os A；坟+，=层+蛆秘，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.问题：在ABC中，内角A, B, C所对边分别为m b, c,=3, ABC的面积注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：选：因为也sin C=ccos信一A),由正弦定理得也sin Asin C=-sin C(sin A+cosA),因为 C£(0, Ji),所以 sinCWO,所以 sinA=cosA,因为 A£(0, n ),所以 A=宁，又 Saabc= 3=2sin A,且 b=3,得 c=2、，由余弦定理得层=从+。22bccos A,解得a=邓.选：因为立ccos A = cos 3+"cos A,由正弦定理得也sin Ceos A = sin Acos B+sin Bcos A = sin(A+B)= sin C,因为 C(0, n ),所以 sin CWO,y2所以 cosA=¥，因为 A£(o, Ji),所以 A=?,又 Szabc=3 =：Z?csin A,且 b=3,得 c=2小,由余弦定理得 a2=b2-c22Z?ccos A,解得 ay5.Ll c2 _ 2选：因为 b2-c2=a2 +y/2bc9 所以 b1-Vc1a1=2bc,得 cos A=因为A£(0, ),所以又 S/abc= 3=2sin A,且 /?=3,得 c=2y,由余弦定理得a2b2-c22/?ccos A,解得a=木.18 .(本小题总分值12分)数列斯是等比数列，且0 = 1,其中，s+l,6+1成 等差数列.(1)求数列斯的通项公式；斯,几为奇数,(2)记bn=A田拈 求数列儿的前2n项和一.U0g2，几为偶数，解：(1)设数列斯的公比为9，因为0，念+1, s+l成等差数列，所以 2(42+1)=。1+。3+1,又的=1,所以2(q+1)=2+/，即炉2q=0,所以q=2或4=0(舍去)，所以斯=2一1.(2)由(1)知,b尸2一、为奇数，、一 1, 72为偶数,所以 外=(2°+l)+Q2+3)+ Q22+2- 1) = )+22F22/7-2)+(l +3HF2/1-1)1 4n n ( 1+2h1) 14 +19 .(本小题总分值12分)如图,在三棱柱ABC-AiSG中，88i_L平面ABC, ABA.BC, AB =2, BC=1, BBi = 3,。是CG的中点，石是A3的中点.(1)证明：。石平面G84；(2)F是线段CCi上一点，且直线AF与平面ABBxAx所成角的正弦值为求二面角F-BA1-A的余弦值.解：(1)证明:如图，连接A囱交48于点。，连接EO, OCi.= AE=EB, ：. OE=BB OEBBi,又 DCtBBi, DCBB,：.OE DC,因此，四边形DEOG为平行四边形, ：.ED/OC. .OGU平面GB4, EZK平面C184,二DE平面GA4i.(2)易知AB, BBi, 8C两两垂直，所以以BA, BB】,BC所在直线分别为x轴，)，轴，z 轴建立如下图的空间直角坐标系B-xyz,过点尸作/HJ_5囱，交BBi于点、H,连接AH. BB平面 ABC, ABU平面 ABC, ：.ABA.BB.9：ABA_BC, BCCBBi=B,，人对平面 C851G.ABU平面 BAAiBi,，平面3AA向J_平面CBBiG. .FHU平面CB&Ci, FH上BBi,平面34415 n平面C381G =3囱，产”，平面 BAAiBi,J NE4H为直线A厂与平面ABBiAi所成的角，FH 1记为仇 那么 sin =77=T, .AF=3, /r j在 RtZXAC/中，5=AG=A/一C尸=9一。尸，:CF=2, F(0, 2, 1), 4(2, 3, 0),?."8F=(0, 2, 1),就= (2, 3, 0),设平面8/A的法向量为m=(x, y, z),m- BF =2y+z=0,那么j _取y=2,得x=3, z=-4,.m=(-3, 2, 4)为平面B碎 m- BA =2x+3=0,的一个法向量.易知平面844的一个法向量为n=(0, 0, 1),44 1贝"cos (m, n) |=啦义=药回又二面角F-BA-A为钝二面角，因此，二面角F-BA-A的余弦值为一为您.20.(本小题总分值12分)给定椭圆C： 2+1=1(。0)，称圆心在原点。，半径为“屋+抉的圆是椭圆。的“卫星圆”，假设椭圆C的离心率为平，点(2,也)在。上. 乙(1)求椭圆。的方程和其“卫星圆”方程；(2)点P是椭圆。的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线小，2使得小/2与椭圆。都只有一个交点，且人/2分别交其“卫星圆”于点M，N,证明：弦长IMNI为定值.解：(1)因为椭圆C的离心率为姿，点(2,也)在。上， 乙r c V2e=a= 2 '所以(二+/=1 解得”=2吸，b=2, c=2,所以椭圆方程为会+：=1,6Z2 = /72 + c2,因为半径为”层+抉=2小,圆心为原点。，所以卫星圆的方程为炉+产二口.