2022年任意角的三角函数典型例题精析.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -任意角的三角函数·典型例题精析例 1以下说法中,正确选项A 第一象限的角是锐角B锐角是第一象限的角C小于 90°的角是锐角D 0°到 90°的角是第一象限的角【分析】 此题涉及了几个基本概念,即“第一象限的角”、“锐角”、“小于 90°的角”和“ 0°到 90°的角”在角的概念推广以后,这些概念简单混淆因此,弄清晰这些概念及它们之间的区分,是正确解答此题的关 键【解】 第一象限的角可表示为|k ·360° 90° k·360°, kZ,锐角可表示为 |0 ° 90°,小于90°的角为 | 90°, 0°到 90°的角为 |0 ° 90°因此,锐角的集合是第一象限角的集合当k=0 时的子集,故 A , C , D 均不正确,应选 B 90° 分别是第几象限角？【分析】由 sin · cos 0,所以 在二、四象限.由 sin · tan 0,所以 在二、三象限因此 为其次象限的角,然后由角 的【解】 1 由题设可知 是其次象限的角,即90° k· 360° 180° k· 360° k Z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的角2由于180° 2k· 360° 2 360° 2k· 360° k Z ,所以2 是第三、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角3解法一：由于90° +k· 360° 180° k· 360° k Z ,所以180° k·360° 90° k·360°k Z 故90° k·360° 90° k·360°k Z 因此 90° 是第四象限的角解法二：由于角 的终边在其次象限,所以的终边在第三象限将 的终边按逆时针旋转90°,可知 90° 的终边在第四象限内【说明】 在确定形如 k·180°角的象限时,一般要分k 为偶数或奇数争论.确定象限时,k 与 k 是等效的例 3已知集合 E= |cos sin , 0 2,F= |tansin ,那么 EF是区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【分析】解答此题必需娴熟把握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情形可由三角函数的性质判断,也可由三角函数线判定用代入特别值排除错误答案的方法解答此题也比较简单【解法一】由正、余弦函数的性质,【解法二】 由单位圆中的正弦线和正切线简单看出,对于二、四象限的角, AT MP,即 tan sin ,由正弦线和余弦线可看出,当应选A 可排除 C ,D ,得A 【说明】 此题解法许多,用三角函数线仍可以有以下解法：由于第一、三象限均有 AT MP,即 tan sin ,所以 B ,C ,D 均不成立用排除法也有些别的方法,可自己练习例 4 1已知角 终边上一点 P3k , 4kk 0 ,求 sin , cos, tan 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【分析】 利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明,是三两个象限,因此必需分两种情形争论【解】 1 由于 x 3k,y=4k,例 5一个扇形的周长为l ,求扇形的半径、圆心角各取何值时,此扇形的面积最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【分析】 解答此题,需敏捷运用弧度制下的求弧长和求面积公式此题是求扇形面积的最大值,因此应想法写出面积S 以半径 r 为自变量的函数表达式,再用配方法求出半径r 和已知周长 l 的关系【解】设扇形面积为S,半径为 r ,圆心角为 ,就扇形弧长为 l 2r 所以【说明】 在学习弧度制以后,用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中,中心角用弧度表示较便利本例实际上推导出一个重要公式,即当扇形周长为定值时,怎样选取中心角可使面积得到最大值此题也可将面积表示为 的函数式,用判别式来解【分析】第1 小题因 在其次象限, 因此只有一组解. 第2 小题给了正弦函数值, 但没有确定角 的象限, 因此有两组解. 第3 小题角 可能在四个象限或是轴线角,因此需分两种情形争论【解】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3由于 sin =m|m| 1 ,所以 可能在四个象限或 的终边在 x 轴上例 71 已知 tan =m,求 sin 的值.【分析】 1 已知 tan 的值求 sin 或 cos,一般可将tan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -母都是 sin 和 cos 的同次式,再转化为关于 tan 的式子求值,转化的方法是将分子、分母同除以 cos 或 cos2,这里 cos 0 ,即可依据已知条件求值【说明】由 tan 的值求 sin 和 cos 的值,有一些书上利用公很简单推出,所以不用特的推导和记忆这些公式,这类问题由现有的关系式和方法均可解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的定义来证明由左边 =右边,所以原式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【证法三】 依据三角函数定义 设 Px ,y 是角 终边上的任意一点,就左边=左边,故等式成立例 9化简或求值：【分析】解此题的关键是娴熟的应用正、余弦的诱导公式和记住特别角的三角函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -= sin cos 由于 为第三象限角 例 101 如 fcos x=cos9x,求 fsin x的表达式.【分析】 在1 中懂得函数符号的含义,并将fsin x化成 fcos90° x 是充分利用已知条件和诱导公式的关键在2 中必需正确把握分段函数求值的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【解】 1fsin xfcos90° x cos990 ° x=cos2× 360° 90°9x cos90 °9x=sin9x.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
