2022年全等三角形中做辅助线总结.docx

精品_精品资料_全等三角形中做帮助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.线段垂直平分线,常向两端把线连.线段和差及倍半,延长缩短可试验.线段和差不等式,移到同一三角去.三角形中两中点,连接就成中位线.三角形中有中线,延长中线等中线.一、由角平分线想到的帮助线口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.角平分线具有两条性质： a、对称性. b、角平分线上的点到角两边的距离相等.对于有角平分线的帮助线的作法,一般有两种.从角平分线上一点向两边作垂线.利用角平分线,构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）.通常情形下, 显现了直角或是垂直等条件时, 一般考虑作垂线. 其它情形下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件.与角有关的帮助线EA（一）、截取构全等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图 1-1 ,AOC=BOC,如取 OE=O,F 并连O接 DE、DF,就有 OED OFD,从而为我们证A明线段、角相等制造了条件.例1 如图 1-2 ,AB/CD, BE平分 BCD, CE平分 BCD,点 E 在 AD上,求证：BC=AB+C.DBDCF图1-1BEDFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图1-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2 已知：如图 1-3 ,AB=2AC, BAD=CAD,DA=D,B 求证 DCAC例3 已知：如图 1-4 ,在 ABC中, C=2 B,AD平分 BAC,求证： AB- AC=CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：此题的条件中仍有角的平分线, 在证明中仍要用到构造全等三角形, 此题仍是证明线段的和差倍分问题. 用到的是截取法来证明的, 在长的线段上截取短的线段, 来证明.试试看可否把短的延长来证明了？B练习1. 已知在 ABC中, AD平分 BAC, B= 2C,求证： AB+BD=ACAECD图1-4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知：在 ABC中, CAB=2B,AE平分 CAB交 BC于 E,AB=2AC,求证： AE=2CE3. 已知：在 ABC中, AB>AC,AD为 BAC的平分线, M为 AD上任一点.求证： BM-CM>AB-AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分线 AD上的任一点,连接 DB、DC.求证： BD+CD>AB+.AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题.A例1 如图 2-1 ,已知 AB>AD, BAC= FAC,CD=B.C求证： ADC+B=180D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：可由 C 向 BAD的两边作垂线.近而证 ADCB与 B之和为平角.EFC图 2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2 如图 2-2 ,在 ABC中, A=90,AB=AC, ABD= CBD.求证： BC=AB+AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B分析：过 D 作 DEBC于 E,就 AD=DE=C,E就构造出全等三角形, 从而得证.此题是证明线段的和差倍分问题, 从中利用了相当于截取的方法.ADCE图2-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3 已知如图 2-3 , ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P.求证： BAC的平分线也经过点 P.A分析：连接 AP,证 AP平分 BAC即可,也就是证 P 到 AB、AC的距离相等.NDMFPBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：图2-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图 2-4 AOP=BOP=15 , PC/OA,PDOA,C假如 PC=4,就 PD=（）OA4B3C2D1BPAD图2-4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知在 ABC中, C=90, AD平分 CAB,CD=1.5,DB=2.5. 求 AC.3. 已知：如图 2-5,BAC=CAD,AB>A,D CEAB,A1AE=2 （ AB+AD）. 求证： D+ B=180.D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD中, E为 CD 的中点,BF 为 BC上的点, FAE=DAE.求证： AF=AD+C.F5. 已知：如图 2-7 ,在 Rt ABC中, ACB=90 ,EC图2-5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDAB,垂足为 D, AE平分 CAB交 CD于 F,过 F 作 FH/AB 交 BC于 H.求证 C F=BH.ACDEEFH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B图2-6 FCADB图2-7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交, 就截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点, 该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质. （假如题目中有垂直于角平分线的线段,就延长该线段与角的另一边相交）.例1 已知：如图 3-1 , BAD=DAC,AB>AC,CDAD于 D,H 是 BC中点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：1ADH= （AB-AC）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DCEBH图示 3-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：延长 CD交 AB于点 E,就可得全等三角形.问题可证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2 已知：如图 3-2 , AB=AC, BAC=90 ,AD为 A BC的平分线, CEBE.求证： BD=2C.E例 3已知：如图 3-3 在 ABC中, AD、AE分别 BACB的内、外角平分线,过顶点 B 作 BFAD,交 AD的延长线A于 F,连结 FC并延长交 AE于 M.FADEC图3-2M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： AM=M.EB分析：由 AD、AE 是 BAC内外角平分线,可得EAAF,从而有 BF/AE,所以想到利用比例线段证相等.DCEFN图3-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例4 已知：如图 3-4 ,在 ABC中, AD平分 BAC, AD=AB,CM AD交 AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_延长线于 M.求证：1AM= （AB+AC）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：题设中给出了角平分线 AD,自然想到以 AD为轴作对称变换,作 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D关于 AD的对称 AED,然后只需证11DM=2EC,另外AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由求证的结果 AM=2（AB+AC）,即 2AM=AB+A,C也可F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_尝试作 ACM关于 CM的对称 FCM,然后只需证 DF=CBF 即可.练习：DnCM图3-4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知：在 ABC中, AB=5, AC=3, D是 BC中点, AE是BAC的平分线,且 CEAE于 E,连接 DE,求 DE.2. 已知 BE、BF 分别是 ABC的 ABC的内角与外角的平分线, AFBF1于 F,AE BE于 E,连接 EF分别交 AB、AC于 M、N,求证 MN= BC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时, 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线, 从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交, 从而也构造等腰三角形.如图 4-1 和图 4-2 所示.CAHIDEFGBCAB图4-1图4-2例 4如图, AB>AC, 1=2,求证： ABAC>BDCD.CA12DB如图, BC>BA,BD平分 ABC,且 AD=C,D 求证： A+C=180.ABDC如图, ABCD,AE、DE分别平分 BAD各 ADE,求证： AD=AB+C.DDCE例 5例 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1. 已知,如图, C=2A,AC=2BC.求证： ABC是直角三角形.CAB2. 已知：如图, AB=2AC, 1=2,DA=DB,求证： DCACA1 2C3. 已知 CE、AD是 ABC的角平分线, B=60°,求证： ACB=AE+CDDAEBDC4. 已知：如图在 ABC中, A=90°, AB=AC,BD是 ABC的平分线,求证： BC=AB+ADADBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 由线段和差想到的帮助线口诀： 线段和差及倍半, 延长缩短可试验. 线段和差不等式, 移到同一三角去.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条.2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段.对于证明有关线段和差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想方法放在一个三角形中证明.一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中显现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明,如：例1、 已知如图 1-1 ：D、E 为 ABC内两点 , 求证:AB+AC>BD+DE+CE.证明：（法一）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 DE两边延长分别交 AB、AC于 M、N, 在 AMN中, AM+AN>MD+DE+（NE1;）AMDEN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BDM中, MB+MD>B.（D 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 CEN中, CN+NE>C.E（ 3）B由（ 1） +（ 2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+EC（法二：图 1-2 ）延长 BD交 AC于 F,廷长 CE交 BF于 G,在 ABF和GFC和 GDE中有：BAB+AF>BD+DG+（G三F 角形两边之和大于第三边）（ 1）GF+FC>GE+（CE同上）（2）C图11AGFDE图12CA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_GED图21BFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DG+GE>D（E同上）（3） 由（ 1） +（ 2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+.EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时,可连接两点或延长某边, 构造三角形, 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图 2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点,求证： BDC>BAC.分析： 由于 BDC与 BAC不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加帮助线构造新的三角形,使 BDC处于在外角的位置, BAC处于在内角的位置.证法一：延长 BD交 AC于点 E,这时 BDC是 EDC的外角, BDC> DEC,同理 DEC> BAC, BDC>BAC证法二：连接 AD,并廷长交 BC于 F,这时 BDF是 ABD的外角, BDF>BAD,同理, CDF>CAD, BDF+CDF>BAD+CAD,即： BDC>BAC.留意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明.三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：A例如：如图 3-1 ：已知 AD为ABC的中线,且 1=N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2, 3=4, 求证： BE+CF>E.F分析：要证 BE+CF>E,F 可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知 1=2,EF1 2 3 4CBD图31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3=4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN, EF移到同个三角形中.证明： 在 DN上截取 DN=D,B 连接 NE, NF,就 DN=D,C在 DBE和 NDE中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DN=D（B 帮助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边） DBE NDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得： CF=NF在 EFN中 EN+FN>E（F 三角形两边之和大于第三边）BE+CF>E.F留意：当证题有角平分线时, 常可考虑在角的两边截取相等的线段, 构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素.三、截长补短法作帮助线.例如：已知如图 6-1 ：在 ABC中, AB>AC, 1= 2,P为 AD上任一点求证： AB-AC>PB-P.C分析： 要证： AB-AC>PB-P,C 想到利用三角形三边关系,定理证之,由于 欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在 AB上截取 AN等于 AC,得 AB-AC=B,N 再连接 PN,就 PC=PN,又在 PNB中, PB-PN<BN,即： AB-AC>PB-P.C证明：（截长法）在 AB上截取 AN=AC连接 PN,在 APN和 APC中 AN=AC（帮助线作法） 1=2（已知）AP=AP（公共边） APN APC（ SAS）, PC=PN（全等三角形对应边相等）在 BPN中,有 PB-PN<B（N 三角形两边之差小于第三边）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BP-PC<AB-AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：（补短法）延长 AC至 M,使 AM=A,B在 ABP和 AMP中A 1 2连接 PM,PNDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAB=AM（帮助线作法） 1=2（已知） AP=AP（公共边） ABP AMP（ SAS） PB=PM（全等三角形对应边相等）图61M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又在 PCM中有： CM>PM-PC三 角形两边之差小于第三边 AB-AC>PB-P.C例 1如图, AC平分 BAD,CEAB,且 B+D=180°,求证： AE=AD+B.EADECB例 2 如图,在四边形 ABCD中, AC平分 BAD,CEAB于 E,AD+AB=2A,E求证： ADC+B=180oDCAEB例 3 已知：如图,等腰三角形ABC中, AB=AC, A=108°, BD平分ABC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： BC=AB+D.CADBC例 4 如图,已知 RtABC中, ACB=90°, AD是 CAB的平分线, DMAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1于 M,且 AM=M.B求证： CD=2ADB.M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【夯实基础 】CDB例：ABC中, AD是BAC 的平分线,且BD=CD,求证 AB=AC方法 1：作 DE AB于 E,作 DF AC于 F,证明二次全等A方法 2：帮助线同上,利用面积方法 3：倍长中线ADBCD【方法精讲 】常用帮助线添加方法倍长中线AA ABC中方式 1： 延长 AD到 E,AD 是 BC边中线使 DE=AD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBCBCD连接 BE方式 2：间接倍长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EAA作 CF AD于 F,延长 MD到 N,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FBDC E作 BE AD的延长线于 EM连接 BEB使 DN=M,D连接 CDDCN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【经典例题 】例 1： ABC中, AB=5, AC=3,求中线 AD的取值范畴提示：画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：已知在 ABC中, AB=AC, D 在 AB上, E 在 AC的延长线上, DE交 BC于 F,且 DF=EF,求证： BD=CEA方法 1：过 D 作 DGAE交 BC于 G,证明 DGF CEF方法 2：过 E 作 EGAB交 BC的延长线于 G,证明 EFG DFBD方法 3：过 D 作 DGBC于 G,过 E 作 EH BC的延长线于 H证明 BDG ECHBC FE例 3：已知在 ABC中,AD是 BC边上的中线, E 是 AD上一点, 且 BE=AC,延长 BE交 AC于 F,求证： AF=EFA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示：倍长 AD至 G,连接 BG,证明 BDG CDA三角形 BEG是等腰三角形FEBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：已知：如图,在ABC 中, AB交 AE于点 F, DF=AC.求证： AE平分BACAC , D、E 在 BC上,且 DE=EC,过 D作DF / BAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示：方法 1：倍长AE 至 G,连结DG方法 2：倍长FE 至 H,连结CHFBDEC第 1 题图例 5：已知 CD=AB, BDA=BAD, AE是 ABD的中线,求证：C= BAEA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示：倍长 AE 至 F,连结 DF证明 ABE FDE（ SAS）进而证明 ADF ADC（SAS）BEDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【融会贯穿 】1、在四边形 ABCD中, AB DC, E 为 BC边的中点, BAE= EAF, AF 与 DC的延长线相交于点 F.摸索究线段 AB与 AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论提示：延长 AE、 DF交于 GA证明 AB=GC、AF=GFDBEC F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 AB=AF+FC2、如图, AD为 ABC 的中线, DE平分BDA 交 AB于 E,DF平分ADC 交 AC于 F.求证：BECFEFA提示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 1：在 DA上截取 DG=BD,连结 EG、FG 证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ED至 H,连结 CH、 FH证明 FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边EFBCD第 14 题图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知：如图,ABC中,C=90,CMAB于 M, AT平分BAC交 CM于 D,交 BC于 T, 过 D 作 DE/AB 交 BC于 E,求证： CT=BE.AM提示：过 T 作 TN AB于 N证明 BTN ECDDBETC1. 如图, ABCD,AE、DE分别平分 BAD各 ADE,求证： AD=AB+C.DDCEAB2. 如图, ABC中, BAC=90°, AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且 B,C在 AE的异侧,BD AE于 D,CEAE于 E.求证： BD=DE+CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 由中点想到的帮助线口诀：三角形中两中点,连接就成中位线.三角形中有中线,延长中线等中线.在三角形中, 假如已知一点是三角形某一边上的中点, 那么第一应当联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质 （直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）,然后通过探究,找到解决问题的方法.（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1,AD是 ABC的中线,就 SABD=SACD=SABC（由于 ABD与 ACD 是等底同高的）.例 1如图 2, ABC中, AD是中线,延长 AD到 E,使 DE=AD,DF是 DCE的中线.已知 ABC的面积为 2,求： CDF的面积.解：由于 AD是 ABC的中线,所以 SACD=SABC=×2=1,又因 CD是 AC E的中线,故 SCDE=SACD=1,因 DF是 CDE的中线,所以 SCDF=SCDE=×1=. CDF的面积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3,在四边形 ABCD中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD的中点, BA、CD的延长线分别交 EF的延长线 G、H.求证： BGE= CHE.证明：连结 BD,并取 BD的中点为 M,连结 ME、MF,ME是 BCD的中位线,MECD, MEF=CHE,MF是 ABD的中位线,MFAB, MFE=BGE,AB=CD, ME=M,F MEF=MFE,从而 BGE=CHE.（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4,已知 ABC中,AB=5,AC=3,连 BC上的中线 AD=2,求 BC的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：延长 AD到 E,使 DE=AD,就 AE=2AD=×2在 ACD和 EBD中,AD=ED, ADC=EDB, CD=B,DACD EBD, AC=BE,从而 BE=AC=.32=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222在 ABE中,因 AE+BE=4 +3 =25=AB,故E=90°,BD=,故 BC=2BD=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4如图 5,已知 ABC中, AD是BAC的平分线, AD又是 BC边上的中线.求证： ABC是等腰三角形.证明：延长 AD到 E,使 DE=AD.仿例 3 可证：BED CAD,故 EB=AC, E=2,又 1=2, 1=E,AB=EB,从而 AB=AC,即 ABC是等腰三角形.（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6,已知梯形 ABCD中,AB/DC,ACBC,ADBD,求证： AC=BD.证明：取 AB的中点 E,连结 DE、CE,就 DE、CE分别为 RtABD,RtABC斜边 AB上的中线,故 DE=CE= AB,因此 CDE= DCE.AB/DC, CDE= 1, DCE= 2, 1=2,在 ADE和 BCE中,DE=CE, 1= 2, AE=BE,ADE BCE, AD=BC,从而梯形 ABCD是等腰梯形,因此 AC=BD.（五）、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例 6如图 7, ABC是等腰直角三角形, BAC=9°0 , BD平分 ABC交 AC于点 D,CE垂直于 BD,交 BD的延长线于点 E.求证： BD=2C.E证明：延长 BA,CE交于点 F,在 BEF和 BEC中, 1=2,BE=BE, BEF=BEC=9°0 ,BEF BEC, EF=EC,从而 CF=2CE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 1+F=3+F=90°,故 1=3.在 ABD和 ACF中, 1=3,AB=AC, BAD=CAF=90°,ABD ACF, BD=C,F BD=2C.E注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线.（六）中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线.题目中假如显现了三角形的中线, 常延长加倍此线段 ,再将端点连结, 便可得到全等三角形.例一：如图 4-1 ：AD为 ABC的中线,且 1=2,3=4,求证： BE+CF>可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EF.A证明：廷长 ED至 M,使 DM=D,E 连接 CM,MF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BDE和 CDM中, BD=C（D 中点定义）1=5（对顶角相等）ED=M（D 帮助线作法）BDE CDM（SAS）又1= 2, 3=4（已知）1+2+ 3+4=180°（ 平角的定义 ） 3+2=90° 即： EDF=90°EF1 2 34CBDM图41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FDM= EDF=90°在 EDF和 MDF中ED=M（D 帮助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDF MDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在 CMF中, CF+CM>M（F三角形两边之和大于第三边）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE+CF>EF上题也可加倍 FD,证法同上.留意： 当涉及到有以线段中点为端点的线段时, 可通过延长加倍此线段, 构造全等三角形,使题中分散的条件集中.例二：如图 5-1 ：AD为 ABC的中线,求证： AB+AC>2A.D分析：要证 AB+AC>2A,D由图想到： AB+BD>AD,AC+CD>,A所D 以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2,AD左边比要证结论多BD+C,D 故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造 2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE,CEAAD为 ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在 ACD和 EBD中DBCBD=C（D 已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（帮助线作法）E图51 ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB+BE>A（E 三角形两边之和大于第三边）AB+AC>2A.D练习：1 如图, AB=6,AC=8,D为 BC 的中点,求 AD的取值范畴.A68BDC2 如图, AB=CD,E 为 BC的中点, BAC=BCA,求证： AD=2AE.ABECD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 如图, AB=AC,AD=AE,M为 BE中点, BAC=DAE=90°.求证： AM DC.ABMCDED4,已知 ABC,AD是 BC边上的中线,分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图 5-2 ,求证 EF=2AD.EFABDC