2022年高中数学解题基本方法数学归纳法及训练习题集.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学解题基本方法数学归纳法及训练习题集归纳是一种有特别事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完 全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只依据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法, 在数学推理论证中是不答应的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理 方法,在解数学题中有着广泛的应用. 它是一个递推的数学论证方法, 论证的第一步是证明命题在n1 或 n 0 时成立,这是递推的基础.其次步是假设在n k 时命题成立,再证明nk 1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据, 它判定命题的正确性能否由特别推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.这两个步 骤亲密相关,缺一不行,完成了这两步,就可以肯定“对任何自然数（或 n n 0 且 n N）结论都正确”.由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时,关键是nk1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识, 留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完 成解题.运用数学归纳法,可以证明以下问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.、再现性题组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.用数学归纳法证明 n 1n 2n n 2 n ·1·22n 1) （ nN）,从“ k 到 k1”,左端需乘的代数式为 .A.2k 1B.22k 1C.2k1D.k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k3k12. 用数学归纳法证明11 1 2312 n1<nn>1时,由 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k k>1不等式成立,推证n k 1 时,左边应增加的代数式的个数是 .A.2k 1B.2k 1C.2kD.2k 13. 某个命题与自然数 n 有关,如 n k k N时该命题成立, 那么可推得 nk1 时该命题也成立. 现已知当 n 5 时该命题不成立, 那么可推得 . 94 年上海高考 A. 当 n6 时该命题不成立B.当 n6 时该命题成立C.当 n4 时该命题不成立D.当 n4 时该命题成立1nn 14. 数列a n 中,已知 a 1,当 n 2 时 a a 2n1,依次运算 a 2 、a 3 、a 4 后,猜想 a n 的表达式是 .A.3n 2B.n2C.3n 1D.4n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 用数学归纳法证明3 4 n2 5 2n 1n N能被 14 整除,当 n k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 时对于式子 3 4 k 12 5 2k1 1 应变形为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 k 棱柱有 fk个对角面,就 k1 棱柱对角面的个数为fk+1 fk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【简解】 1 小题： n k时,左端的代数式是 k 1k 2k k,n k1时,左端的代数式是 k 2k 32k 12k 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以应乘的代数式为 2k1 2k2) ,选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12 小题：（ 2 k 1 1）（ 2 k 1） 2 k ,选 C.2. 小题：原命题与逆否命题等价,如n k1 时命题不成立,就n k 命题不成立,选C.3. 小题：运算出a1 1、a 2 4、a3 9、a 4 16 再猜想 a n ,选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 小题：答案（ 3 4k2 5 2k1 ）3 k 5 2k1 （ 5 2 3 4 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 小题：答案 k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、示范性题组：例1.已知数列8·1,得,8 ·n,. S为其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 · 322n1 2 · 2 n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和,求 S1 、S2 、S3 、S4 ,估计 Sn 公式,并用数学归纳法证明.（ 93 年全国理）8 , S 24 , S 48 ,S 802349254981【解】运算得 S1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推测 Sn 2n 2n1 2112nN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n1 时,等式明显成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设当 n k 时等式成立,即： Sk 2k2k12112,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 nk 1 时, S S 8· k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1k2 k12 · 2k32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2k1218· k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k1 2 2k12 · 2k32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k12 2k322k328· k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222k1·2k3 2k122k3 22k122k321222,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k1 · 2k32 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可知,当 nk1 时等式也成立.综上所述,等式对任何nN都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】 把要证的等式Sk 1 2k2k32321 作为目标, 先通分使分母含可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有2k 3 2 ,再考虑要约分,而将分子变形,并留意约分后得到（2k 3） 2 1.这样证题过程中简洁一些,有效的确定了证题的方向.此题的思路是从试验、观看动身,用不完全归纳法作出归纳猜想,再 用数学归纳法进行严格证明,这是关于探干脆问题的常见证法,在数列问题中常常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不肯定 正确,即使正确,解答过程也不严密.必需要进行三步：试值 猜想 证明.【另解】用裂项相消法求和：22由 a8· n11得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n1· 2n1 2n122n1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nS（ 1 13）（1231）12252n1122 n1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n2n1211) 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -此种解法与用试值猜想证明相比,过程非常简洁,但要求发觉可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n8 ·n 1· 2 n1221 2n1122 n1的裂项公式. 可以说, 用试值猜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_想证明三步解题,具有一般性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.设 a n 1×2 2× 3 nn1n N,1证明：2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1<a< 1n2n 1 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】与自然数n 有关,考虑用数学归纳法证明.n 1 时简洁可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证得,n k1 时,由于 a k 1 a k k1 k2) , 所以在假设 n k 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立得到的不等式中同时加上k1 k2 ,再与目标比较而进行适当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的放缩求解.【解】当 n 1 时, a n2 , 12nn+1 1 , 122n+12 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n 1 时不等式成立.假设当 n k 时不等式成立,即：12kk 1<a< 1k2k1 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n k 1时, 12kk 1 k1 k12 <a k 1 <2k 1 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k1 k2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 kk 1 k21 k2 > 12kk 1 k 1 12k 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3> 12k 1k 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 k 1 2 k21 k2 12k 1 2 k 23k2 < 12k 1 2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3 1k 2 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 12k 1k 2 <a k< 1 k 2 2 ,即 n k1 时不等式也成立.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,对全部的nN,不等式 12nn 1<a< 1n2n 1 2 恒成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,留意适当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选 用 放 缩 法 . 本 题 中 分 别 将k1 k2缩 小 成 k 1 、 将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k1 k2 放大成 k 32 的两步放缩是证n k 1 时不等式成立的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键.为什么这样放缩,而不放大成k 2 ,这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原就.此题另一种解题思路是直接采纳放缩法进行证明.主要是抓住对nn1 的分析,留意与目标比较后,进行适当的放大和缩小.解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下：由nn1 >n可得, a n>1 2 3 n 12nn 1 .由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1 <n 12可得, a n<1 2 3 n 12× n 12nn 1 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 n 2 2n< 122n 1 2 .所以 12nn 1<a< 1n2n 1 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.设数列 a n 的前 n 项和为 Sn ,如对于全部的自然数n,都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn a1有n 2a n ,证明 a 是等差数列.（94 年全国文）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n【分析】 要证明 a n 是等差数列,可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式,即证： a n a1 n 1d.命题与 n 有关,考虑是否可以用数学归纳法进行证明.【解】设 a 2 a1 d,推测 a n a1 n 1d当 n1 时, a n a1 , 当 n 1 时推测正确.当 n2 时, a1 2 1d a1 d a 2 ,当 n2 时推测正确.假设当 n k（ k2）时,推测正确,即： a k a1 k 1d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 nk 1 时, ak 1 Sk 1 Sk k1 a12a k 1 ka12a k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a k a1 k 1d代入上式,得到 2ak 1 k 1a 1 a k 1 2ka 1 kk 1d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -整理得 k 1a k 1 k 1a 1 kk 1d ,由于 k 2, 所以 a k 1 a1 kd,即 n k1 时推测正确.综上所述,对全部的自然数n,都有 an a1 n 1d ,从而a n 是等差数列.【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题.在证明过程中a k 1 的得出是此题解答的关键,利用了可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn a1已知的等式n 2a n 、数列中通项与前 n 项和的关系 a S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1k 1Sk 建立含 a k 1 的方程, 代入假设成立的式子a k a1 k 1d 解出来a k 1 .另外此题留意的一点是不能忽视验证n1、n2 的正确性,用数学归纳法证明时递推的基础是n2 时等式成立,由于由 k 1a k 1 k 1a 1 kk 1d 得到 a k 1 a1 kd 的条件是 k 2.【另解】 可证 a n 1 a n a n a n 1 对于任意 n 2 都成立： 当 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 时,a n SnSn 1 n a12a n n1 a12a n 1 .同理有 a n 1Sn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn n1 a12an 1 n a12a n .从而an 1 a n n1 a12a n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1 a n n1 a12a n 1 ,整理得 a n 1 an an an 1 ,从而a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等差数列.一般的,在数列问题中含有a n 与 Sn 时,我们可以考虑运用a nSn Sn 1 的关系,并留意只对a n 一类型题应用此关系最多.n2 时关系成立,象已知数列的Sn求、巩固性题组：1. 用数学归纳法证明： 6 2n 1 1nN能被 7 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2. 用数学归纳法证明： 1 ×4 2× 73× 10 n3n 1 nn1 2nN.3. nN,试比较 2 n 与n 1 2 的大小,并用证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24. 用数学归纳法证明等式：cos x · cos x· cos x· · cos x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x2n · sin x2n3n81年全国高考 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 用数学归纳法证明：|sinnx| n|sinx|（ nN）.（ 85可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_年广东高考）26. 数列a n 的通项公式 a n 1 n1nN,设 fn 1 a1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 2 1 a n ,试求 f1、f2、f3的值,估计出fn的值,并用数学归纳法加以证明.7. 已知数列 a n 满意 a1 1,a n a n 1 cosxcosn 1x , x k, n 2 且 nN.求 a 2 和 a 3 . . 推测 a n ,并用数学归纳法证明你的推测.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设 floga x a x2x a21 ,. 求 fx的定义域. . 在 y fx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图像上是否存在两个不同点, 使经过这两点的直线与x 轴平行？证明你的结论. 求证： fn>nn>1且 n N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载