2022年高中数学知识要点重温之定比分点平移正余弦定理.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -要点重温之定比分点、平移、正余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1如P1PPP2,就称点 P 分有向线段P1 P2所成的比为.留意：“定比”不是“,比点”分有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向线段所成的比,是用数乘向量定义的,而不是两个向量的比.当P 为外分点时为负,内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分点时为正, P 为中点时=1 ,如起点P1 x 1,y 1,终点P2 x 2,y2 ,就分点P x 0,y0 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为： x0 =x1x21,y0=y1y21.由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在ABC 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x如 A （ x1,y 1）、B（ x2 ,y2 ）、 C（ x3,y 3）,就 ABC 的重心 G （1x23x3 , y1y2y3 ） .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 举例 1 设 O（ 0, 0）, A（ 1,0）, B（0, 1）,点 P 是线段 AB 上的一个动点,APAB ,如 OPABPAPB ,就 的去值范畴是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 1B1-22 1C21 1+22D 1-22 1+222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：思路一： APABAP APPBAP1PB ,即 P 分有向线段AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所成的比为,由定比分点坐标公式得：P（ 1- , ） , 于是有 OP =（ 1- , ）,1AB =-1,1,PA =（ ,- ）, PB =（ -1 ,1- ）, -1+ -1- 1- 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 -4 +101-2 1+22 .思路二：记Px,y,由 AP2AB 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x-1,y=- , x=1- ,y= 即 P（ 1- , ）,以下同“思路一” .思路三： AB =-1,1, AP =（- , ）, PA =（ ,- ）, OP = OAAP =（1- , ）,PB = PAAB =（ -1 , 1- ）,以下同“思路一” .22 举例 2 已知 ABC中,点 B（ -3 , -1 ）, C（ 2, 1）是定点,顶点A 在圆（ x+2） +y-4=4上运动,求 ABC的重心 G的轨迹方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：记G（ x,y ） ,Ax0,yx00, 由重心公式得：x=31,y=y0, 于是有： x30=3x+1,y0 =3y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 A 点在圆（ x+2 ）2+y-42=4 上运动,（ 3x+1+2）2+3y-42=4, 化简得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 2 y4 24 .39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 已知 P 是曲线 C： y=x1 n N 上异于原点的任意一点,过P 的切线 l 分别交 X 轴, Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴于 Q、 R两点,且PQQR ,求 n 的值.2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 迁移 已知 yf x 是定义在R 上的单调函数,实数x1x2 ,1, a,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x11,如 |f x1 f x2 | f f |,就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0B 0C 01D12. 关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化.点Mx,y按向量 a m,n 平移得到点M x+m,y+n .曲线 C： fx,y =0 按向量 a m,n 平移得到曲线/C ： fx-m,y-n =0 .函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移,再按函数图象变换的规律“图进标退”操作.留意 ：向量无论怎样平移,其坐标都不发生变化. 举例 将直线 x - by+1=0 按向量 a =（ 1,- 1）平移后与圆x 2- 4x+y 2+3=0 相切,就k=.解析：思路一：直线l ：x - by+1=0 按向量 a 平移即“向右、向下各平移1 个单位”,亦即： x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2变为 x- 1, y 变为 y+1 ,得直线l / ： x - by- b=0 ,圆： x - 22+ y 2=1, 直线 l/ 与圆相切,就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| 2b |1b 21 得 b=3 .思路二：圆M ：x - 22+ y4=1 按向量 - a 平移（ x 变成 x+1,y 变成 y - 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后得：圆M /： x- 12+y - 1 2=1, 圆 M / 与直线 l ： x- by+1=0 相切,有| 2b |1b 21 得 b= 3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路三：圆心M （ 2,0）按向量 - a 平移后得M /（ 1,1）, M / 到直线 l 的距离为1. 巩固 1 已知点 A（ 1,2）、B（ 4,2）,向量 AB 按 a =（1,3）平移后所得向量的坐标为（）（A ）（3, 0）（ B）（ 4, 3）（ C）（ -4, -3）（ D）（ -4,3） 巩固 2 如把一个函数的图象按a =（, 2）平移后得到函数y= cosx 的图象,就原图象3的函数解析式为： A y= cosx+ 2.B y= cosx 2.33C y= cosx+2 .D y= cosx+233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 迁移 已知函数fx= -3 sinxcosx+3cos2x -1,x R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 将 fx 表示成 Asin2x+B 的形式（其中A>0,0<<2）（2） ）将 y=fx 的图象按向量a 平移后,所得到的图象关于原点对称,求使| a | 得最小的向量 a .3三角形内的三角函数问题中,既涉及到边又涉及到角时,往往需要进行边角转换,正、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -余弦定理是实现三角形边角转换的仅有的工具.对a、b 、c（或 sinA 、sinB 、sinC ）的齐次式,可以直接用正弦定理转换.而对a 、b、 c 平方的和差形式,常用余弦定理转换. 举例 1 ABC 的三内角的正弦值的比为4： 5： 6,就三角形的最大角为.解析：由正弦定理得：ABC 三边的比为4： 5：6,不妨设 a=4k,b=5k,c=6k,k>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就边 c 所对的角C 为最大角, cosC=16k 225k 236 k21 , C=arccos 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24k5k88 举例 2 在 ABC 中,角 A 、B、C 所对的边分别为a、b、c,如 a2+b2=6c 2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cot Acot B tanC 的值为sin 2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：对c2cot Acot B tan C “切化弦”得：2c 2,再由正弦定理得sin A sin B cos C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab cos C,再对 cosC 使用余弦定理得：a 2b 2,将 a2+b2=6c 2,代入接得原式等于.c25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 1如 ABC三边成等差数列,就B 的范畴是.如 ABC三边成等比数列,就B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的范畴是. 巩固 2 如三角形三边a、 b、c 满意 a2 +c2=b2+ac ,且 a:c= 31 :2 ,求角 C 的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 迁移 已知 ABC 中, sinAsinB+3 cocB=3 sinC,BC=3, 就 ABC 的周长的取值范畴是.4关注正弦定理中的“外接圆”直径,涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理. 举例 ABC中, AB=9, AC=15, BAC=1200,它所在平面外一点P 到 ABC三个顶点的距离是 14,那么点P 到平面 ABC的距离是：.P解析：记P 在平面 ABC上的射影为O, PA=PB=PCOA=OB=O,C即 O是 ABC的外心,只需求出OA（ ABCO的外接圆的半径） ,记为 R,在 ABC中由余弦定理知：CB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC=21,在由正弦定理知：2R=21=143 , OA=7 3sin1200A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： PO=7.222 巩固 已知 O的半径为R,如它的内接ABC中, 2RsinA-sinC=a-bsinB,求（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 的大小.（ 2） ABC的面积的最大值.xmyn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 迁移 直线 l ： xmynn0 过点A4,43 ,如可行域3xy y00 的外接圆直径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 1433 ,就实数 n 的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 正、余弦定理是解三角形的最主要工具.涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理,只涉及三角形中的一个角常用余弦定理.关注两定理在解相关实际问题中的运用.acb 举例 1 已知 ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且 BC 边上的高为,就的2bc最大值为：A.22B.2C.2D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： cbb c 2b 2=c bc,这个形式很简单联想到余弦定理：cosA= b2ac2a 22bcA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而条件中的“高”简单联想到面积,abc sin A2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a 22bc sin A,将代入得：2BDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2c 22bccos Asin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cbbc=2（cosA+sinA ） =22 sinA+,当 A=4时取得最大值22 ,应选 A .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00 举例 2如图,已知A、 B、C 是一条直路上的三点, AB与 BC各等于 1 千米,从三点分别眺望塔M,在 A 处观察塔在北偏东45 方向,在B 处观察塔在正 东方向,在C 处观察塔在南偏东60 方向,求塔到直路 ABC的最短距离.000解析：已知AB=BC=1, AMB=45, CMB=30, CMA=75易见 MBC与 MBA面积相等,AMsin 450 = CMsin 300即 CM= 2 AM,记 AM=a ,就 CM= 2 a ,在 MAC中, AC=2,由余弦定理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4=3 a 2-22 a 2cos75 0, a 2=44 , 记 M到 AC的距离为 h ,就2 a 2sin75 0=2 h3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 h = 753,塔到直路ABC的最短距离为13753.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 巩固 1如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上一点,且OA=2 ,B 为半圆周长上任意一点,以AB 为边作等边ABC ,问B 点在什么位置时,四边形OACB 的面积最大,并求出这个最大面 积 . 巩固 2一艘海岸缉私艇巡逻至A 处时发觉在其正东可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方向 20 km 的海面 B 处有一艘走私船正以vkm/ h 的速度向北偏东300 的方向逃跑, 缉私艇以3 vkm / h 的速度沿的方向追击,才能最快截获走私船？如v =403 ,就追击时间至少为分钟.简答1、 巩固 3 .迁移 A .2、, 巩固 1 A , 巩固 2“倒行逆施” ：函数 y= cosx 的图象按 - a =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（, 2）平移,选D . 迁移 （ 1）3f x3sin 2x21,（ 2） 3,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 巩固 1（ 0,3（ 0,3 . 巩固 245. 迁移 先求 A=03,再用正弦定理求出：b+c=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6sinB+ 3,6 , 于是a+b+c 6,9 , 也可以用余弦定理.4、 巩固 （ 1） 45 ,（ 2）06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 R 2 . 迁移 3 或 5.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 巩固 1设AOBx,就Ssin x, S533 cos x, S2sin x53 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOBABC4OACB34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x56时, SOACB 有最大值 2530, 10. 巩固 2 北偏东 604可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
