2022年高等数学第章-导数与微分 .docx

精品_精品资料_其次章导数与微分教学目的：1、懂得导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,明白导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,懂得函数的可导性与连续性之间的的关系.2、娴熟把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就,娴熟把握基本初等函数的导数公式,明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.3、 明白高阶导数的概念,会求某些简洁函数的n 阶导数.4、 会求分段函数的导数.5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数.教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系.2、导数的四就运算法就和复合函数的求导法就.3、基本初等函数的导数公式.4、高阶导数.6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数.教学难点：1、复合函数的求导法就.2、分段函数的导数.3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数.§2. 1导数概念一、引例1. 直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数s f t求动点在时刻 t0 的速度考虑比值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s s0t t0f ttf t0 t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个比值可认为是动点在时间间隔t t0 内的平均速度假如时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0 的速度但这样做是不精确的更确的应当这样令 tt00取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比值 f t tf t0 的极限假如这个极限存在设为 v即t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vlimf tf t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tt 0tt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时就把这个极限值v 称为动点在时刻 t 0 的速度2. 切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 假如割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线设曲线 C 就是函数 y f x的图形 现在要确定曲线在点 Mx0, y0 y0 fx0 处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 Nx, y 于是割线 MN 的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanyy0xx0f xxf x0 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0假如当 x0 时 上式的极限存在设为 k即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_klimf xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 就此极限 k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 ktan其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 Mx0, fx0且以 k 为斜率的直线MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所争论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限limf xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x x x0就 y f x0x fx0f x fx0 xx0 相当于 x0于是limf xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成为limx0y 或 lim xx0f x0xf x0 xxx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义设函数 y f x在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0 处取得增量x点 x0x 仍在该邻域内 时相应的函数 y 取得增量 y f x0x fx0假如 y 与 x 之比当 x0 时的极限存在就称函数 y fx在点 x0 处可导并称这个极限为函数y fx在点 x0 处的导数记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0y |x x即f x0 limyx0xlimx0f x0xf x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也可记为 y |dy或df x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x0dx x x 0dxx x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx在点 x0 处可导有时也说成fx 在点 x0 具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x limf x0hf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 limf xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在实际中需要争论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如极限limx0f x0xf x0 x不存在 就说函数 y fx在点 x0 处不行导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如不行导的缘由是由于limx0f x0xf x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也往往说函数 y fx 在点 x0 处的导数为无穷大假如函数 y fx 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 fx在开区间 I 内可导 这时 对于任一 xI都对应着 f x的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原先函数 y fx的导函数记作 yf xdy或dxdf x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导函数的定义式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ylimf xxf xlimf xhf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xh0hf x0与 f x之间的关系函数 fx在点 x0 处的导数 f x就是导函数 f x在点 x x0 处的函数值即0f x0 f x x x导函数 f x简称导数而 f x0是 fx在 x0 处的导数或导数 f x在 x0 处的值左右导数所列极限存在就定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x在 x0 的左导数f x0 limf x0hf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x在 x 的右导数f x limf x0hf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0h hf x0f x0h hf x0假如极限假如极限limh0limh0存在 就称此极限值为函数在x0 的左导数存在 就称此极限值为函数在x0 的右导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数与左右导数的关系f x0Af x0f x0 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求导数举例例 1求函数 fx CC 为常数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xlimf xhf xlim CC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即C 0例 2求h0f xh1 的导数xh0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11解f xlimh0f xhhf xlimh0xh hxlimh0hxhh xlimh0 x1h x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3求f xx 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xlimf xhf xlimxhx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limh0hhlim1h0h1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0 h xhxh0xhx2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求函数 fx x n n 为正整数 在 x a 处的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 f alimf xf alim xnanlim x n 1 ax n 2a n 1 na n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaxaxaxaxa把以上结果中的 a 换成 x 得 f x nx n 1即x nnx n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C01 x1x1x22xx x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_更一般的有x x1其中 为常数例 3求函数 fx sin x 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xlimf x hf xlimsin xhsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0lim 1h2 cos xh0hh sin h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_hlim0 hcosx2sin hh22cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h02h2即sin xcos x用类似的方法可求得cos x sin x例 4求函数 fxa xa>0 a1 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xlimf xhf xlim ax hax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax lim ah1 令ah1t ax limt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0ax1hax ln at0 loga 1 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a e特殊的有 e x e x例 5求函数 fx log a x a>0 a1 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xlimf xhf xlimlog a xhlog a x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hlim 1 log a xhh0h1 lim x log a1hx1 lim loga1hh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0 hxx h0 hxx h0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 loga e x1xln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 f xlimlog a xhlog a xlim1 log a1h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h1h xh0 hx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim log a1 hx log a ex lna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x h0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即log a x1x ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的ln x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a x1xln aln x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 单侧 导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极限 limf xhf x存在的充分必要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h hf xf xh hf xf xhf xhhlim0f xhhf x 及limf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都存在且相等f x在 x0 处的左导数f x0 lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x在 x0 处的右导数f x0 lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0导数与左右导数的关系函数 fx在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数fx0 和右导数 fx0都存在且相等 假如函数 fx在开区间 a, b内可导且右导数 fa 和左导数 fb都存在 就说 fx 有闭区间 a, b上可导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6求函数 fxx|在 x0 处的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f 0limf 0hf 0lim|h|1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0limf 0hf 0lim|h|1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh0h由于 f0f0所以函数 fx |x|在 x 0 处不行导四、导数的几何意义函数 yfx在点 x0 处的导数 f x0 在几何上表示曲线 yfx在点 Mx0, fx0 处的切线的斜率即f x 0 tan其中是切线的倾角假如 y fx在点 x0 处的导数为无穷大这时曲线 y fx 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x0为极限位置即曲线 y f x在点 M x0, f x0处具有垂直于 x 轴的切线 x x0由直线的点斜式方程可知曲线 y fx在点 Mx0, y0处的切线方程为y y0 f x0x x0过切点 Mx0, y0且与切线垂直的直线叫做曲线y fx在点 M 处的法线假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 0法线的斜率为1f x0从而法线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy01 x f x0x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8求等边双曲线线方程y1 在点x1 ,22) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解y1x2所求切线及法线的斜率分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k11 x 1x224k211k14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求切线方程为所求法线方程为y24 x12y21 x142即 4x y 4 0即 2x 8y 15 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 求曲线 yxx 的通过点 04的切线方程解 设切点的横坐标为x0就切线的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 3x 2 3132x 2x0x x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是所求切线的方程可设为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx0x032x0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据题目要求点04在切线上因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x0x032x00x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得 x0 4于是所求切线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y4434x42即 3x y 4 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、函数的可导性与连续性的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 y fx在点 x0 处可导即limyx0xf x0 存在 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limyx0limyx0xxlimx0ylimx xx0f x0 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就是说函数 y fx在点 x0 处是连续的所以 假如函数 y fx在点 x 处可导就函数在该点必连续3另一方面一个函数在某点连续却不肯定在该点处可导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 函数f xx 在区间 ,内连续但在点 x 0 处不行导这是由于函数在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0 处导数为无穷大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf 0hf 0limh0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3h0hh0hx§2 2函数的求导法就一、函数的和、差、积、商的求导法就定理 1假如函数 u ux及 v v x在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外 都在点 x 具有导数并且 uxvxu xv x ux vxu xvx uxv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxu xv xuxv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vx证明 1 u xvxv2 xlim u xhv xhuxvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limuxhu xv xhvxu x v x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh法就 1 可简洁的表示为u vuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 uxv xlimu xhvxhuxvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 1 uxhvxhu xv xhu xvxhuxvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limu xhu x v xhu x v xhvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limuxhuxlim vxhuxlimvxhvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0hh0h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 limu xvx uxv xvx h vx 是由于 v x存在 故 v x在点 x 连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0法就 2 可简洁的表示为uvu v uv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3u xlimuxhvxhuxvxlimuxhvxuxv xh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vxh0hh0v xhvxh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim uxhuxvxuxvxhvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0uxv xhux vxhvxhu x v xhv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limhhh0v xhvxu xvxu xv xv2x法就 3 可简洁的表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ u u vuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vv2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u vuvuvu v uv uu vuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vv2定理 1 中的法就 1、 2可推广到任意有限个可导函数的情形例如 设 u ux、v vx、w wx均可导 就有u v wuvwuvw uvwuv w uv wu v uv w uvwu vw uv w uvw即uvwu vw uv w uvw在法就 2 中 假如 v CC 为常数 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CuCu例 1 y 2x 35x 2 3x 7求 y解 y2x 3 5x 2 3x 72x 35x 23x72 x 35 x 23x2 3x 2 5 2x 3 6x 210x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2f xx34cosxsin2求 f x及f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解f xx34 cos xsin 2 3x24sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 3244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 3 y e sin x cos x 求 y解 y ex sin x cos x e x sin x cos x e x sin x cos x e x cos x sin x 2e x cos x例 4 y tan x 求 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解ytan x sin x sin xcosxsin xcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxcos2 xsin 2 x1cos2 xsec2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 x即tan xsec2x例 5 y sec x求 ycos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解ysec x11cosx1 cos xsin xsec x tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxcos2 xcos2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即sec xsec x tan x用类似方法仍可求得余切函数及余割函数的导数公式cot xcsc2xcsc xcsc x cot x二、反函数的求导法就定理 2 假如函数 x fy在某区间 I y 内单调、可导且 f y 0那么它的反函数y f 1 x在对应区间 I x x|x fy yIy 内也可导并且 f1 x1f y或dydx1dxdy且 f简要证明1 x在 I x由于 x fy在内也单调、连续I y 内单调、可导 从而连续 所以 x fy的反函数 y f 1x存在任取 xI x给 x 以增量x x 0 xxI x由 y f 1x 的单调性可知yf 1xx f 1x0可编辑资料 - 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