2022年高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题 .docx

精品_精品资料_一、挑选题高中数学专题训练 导数的应用极值与最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31. 函数 yax3bx2 取得极大值和微小值时的 x 的值分别为 0 和1,就Aa2b 0B 2ab0C2a b 0D a 2b0答案 D解析 y 3ax2 2bx,据题意,012、3是方程 3ax 2bx 0 的两根2b13a 3, a2b 0.2. 当函数 yx·2x 取微小值时, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1ln21Bln2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C ln2Dln2答案 B解析 由 yx·2x 得 y 2xx·2x·ln2令 y 0 得 2x1 x·ln20ln22x0,x 13函数 fxx33bx3b 在0,1内有微小值,就 A0b1Bb12Cb0Db1答案 A解析 fx在0,1内有微小值,就 fx 3x2 3b 在0,1上先负后正,f0 3b 0,b 0, f133b0,b 1综上, b 的范畴为 0b14. 连续函数 fx的导函数为 fx,假设 x1 ·fx>0,就以下结论中正确的选项是 A. x 1 肯定是函数 fx的极大值点B. x 1 肯定是函数 fx的微小值点C. x 1 不是函数 fx的极值点D. x 1 不肯定是函数 fx的极值点答案 B解析 x> 1 时, fx>0 x< 1 时, fx<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续函数 fx在, 1单减,在 1, 单增,x 1 为微小值点x335函数 y 3 x23x4 在0,2 上的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3A 173C 4D 64B 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 A解析 y x2 2x3.令 y x22x 3 0, x 3 或 x1 为极值点当 x0,1 时,y<0.当 x 1,2 时, y >0,所以当 x1 时,函数取得微小值,也为最小值17当x1 时, ymin 3 .6. 函数 fx的导函数 fx的图象,如右图所示,就 A. x1 是最小值点B. x0 是微小值点C. x2 是微小值点D. 函数 fx在1,2上单增答案 C解析 由导数图象可知, x0,x2 为两极值点, x0 为极大值点, x2为微小值点,选 C.1 3277. 已知函数 fx x ,就 fa2与 f1的大小关系为 2x2xAfa2f1 Bfa2<f 1 Cfa2f1Dfa2与 f 1的大小关系不确定答案 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由题意可得 fx3272x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2.17由 fx23x 7x10,得 x 1 或 x 3.7当 x<1 时,fx为增函数.当 1<x<3时,fx为减函数所以 f 1是函数fx在, 0上的最大值,又由于 a20,故 fa2f1 8函数 fxex· x,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A. 仅有微小值 2eB. 仅有极大值 12eC. 有微小值 0,极大值 12e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. 以上皆不正确答案 B解析 fx ex· x 1·exex x 1ex12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1令 fx0,得 x 2.1当 x>2时, fx<0.1当 x<2时, fx>0.·.2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x11 1 · 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2时取极大值, f2二、填空题e2 2e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 假设 y alnxbx2x 在 x 1 和 x 2 处有极值,就 a, b .36答案 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解析 y a2bx1.a 2b102a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知a 2 4b10,解得1b 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_110. 已知函数 fx3bx2cb,c 为常数当 x2 时,函数 fx取得极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x3值,假设函数 fx只有三个零点,就实数 c 的取值范畴为 答案 0<c<4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解析 fx3bx2c,fx x22bx,x2 时, fx取得极值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x22 2b×20,解得 b1.当x0,2时, fx单调递减,当 x ,0 或 x2, 时, fx单调递增假设 fx0 有 3 个实根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0 c>0就1324,解得 0<c<3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 3×2 2 c<0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设 mR,假设函数 yex2mxx R有大于零的极值点,就 m 的取值范畴是2答案 m<1解析 由于函数 yex 2mxxR有大于零的极值点, 所以 y ex2m0x有大于 0 的实根令 y1e ,y2 2m,就两曲线的交点必在第一象限由图象1可得 2m>1,即 m<2.12. 已知函数 fx x3 px2qx 的图象与 x 轴相切于 1,0,就微小值为 答案 0解析 fx3x22px q, 由题知 f1 3 2pq0. 又 f1 1 p q 0,联立方程组,解得 p 2, q 1.fxx32x2x,fx 3x2 4x1. 由 fx3x24x 10,1解得 x 1 或 x3,经检验知 x1 是函数的微小值点,fx微小值 f1 0.三、解答题13. 设函数 fxsinxcosx x1,0x2,求函数 fx的单调区间与极值解析 由 fxsinxcosx x 1,0x2,知 fxcosx sinx1, 于是 fx1 2sinx 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 令 fx0,从而 sinx 4232 ,得 x,或 x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时, fx,fx的变化情形如下表：x0,3,fx02 332 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fx单调递增2单调递减 3单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,由上表知 fx的单调递增区间是 0,与32,单调递减区间是 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 ,微小值为 f3 2 2 ,32 ,极大值为 f2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14设函数 fx6x33a2x22ax.(1) 假设 fx的两个极值点为 x1 ,x2,且 x1x21,求实数 a 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 是否存在实数 a,使得 fx是, 上的单调函数？假设存在, 求出 a 的值.假设不存在,说明理由解析 fx18x26a2x2a.2a1由已知有 fx1fx2 0,从而 x1x218 1,所以 a 9.2由于 36a224×18× 2a36a24>0,所以不存在实数 a,使得 fx是, 上的单调函数 15已知定义在 R 上的函数 fxx2ax3,其中 a 为常数 1假设 x1 是函数 fx的一个极值点,求 a 的值.2假设函数 fx在区间 1,0上是增函数,求 a 的取值范畴解析 1fxax3 3x2, fx3ax2 6x3xax2x 1 是 fx的一个极值点, f1 0,a 2.2解法一当 a 0 时, fx 3x2 在区间1,0上是增函数, a0 符合题意.22当 a0 时, fx 3axx a,令 fx 0 得： x1 0, x2a.当 a>0 时,对任意 x 1,0,f x>0,a>0 符合题意.22当 a<0 时,当 xa,0时, fx>0,a1,2a<0 符合题意.综上所述, a 2.x解法二fx 3ax2 6x0 在区间1,0上恒成立, 3ax60,a2x<在区间1,0上恒成立,又 22 2,a 2. 116已知函数 fx x2ax1lnx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21假设 fx在0,1上是减函数,求 a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数 fx是否既有极大值又有微小值？假设存在,求出a 的取值范畴.假设不存在,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1fx 2xa1fx在011上为减函数,x0,时 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x,11,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a x<0 恒成立,即 a<2x x恒成立1111设 gx2x x,就 gx 2 x2.x 0,2时x2>4,g x<0,gx在0,112上单调递减, gx>g2 3,a3.2假设 fx既有极大值又有微小值,就fx 0 必需有两个不等的正实数根 x1,x2,即 2x2ax 1 0 有两个不等的正实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a 应满意>0a 2>0a28>0.a>0. a>22,当a>22时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx0 有两个不等的实数根,不妨设 x1<x2,122由fx x2x ax 1 xx x1 xx2知,0<x<x1 时 fx<0,x1<x<x2时 fx>0, x>x2 时 fx<0,当a>22时 fx既有极大值 fx2又有微小值 fx111. 已知 y fx是奇函数,当 x 0,2时, fxlnx axa>2,当 x 2,0时, fx的最小值为 1,就 a 的值等于 答案 1解析 fx是奇函数, fx在0,2上的最大值为 1,1111当 x0,2时, f x xa,令 fx0 得 x a,又 a>2,0<a<2.11令 fx>0,就 x<a,fx在0, a上递增.11令 fx<0,就 x>a,fx在a, 2上递减,1111fxmaxfa lna a·a 1,lna0,得 a1.2设函数 fx2x33ax23bx8c 在 x1 及 x 2 时取得极值(1) 求 a、b 的值.(2) 假设对任意的 x 0,3,都有 fx<c2 成立,求 c 的取值范畴解 1f x6x2 6ax 3b,由于函数 fx在 x 1 及 x2 时取得极值, 就有 f 10,f20,6 6a3b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即2412a 3b0.解得 a 3, b 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1可知, fx2x39x212x 8c, fx6x218x 12 6x1x 2当 x0,1时, f x>0.当 x1,2时, fx<0. 当 x2,3时, f x>0.所以,当 x1 时, fx 取得极大值 f158c.又 f0 8c,f3 98c,就当 x 0,3 时, fx的最大值为 f3 9 8c. 由于对于任意的 x0,3 ,有 fx<c2 恒成立, 所以 98c<c2,解得 c< 1 或 c>9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 c 的取值范畴为 , 1 9, 3已知函数 fx x33ax2 3x1.(1) 设 a2,求 fx的单调区间.(2) 设 fx在区间 2,3中至少有一个极值点,求 a 的取值范畴解析 1当 a2 时,fxx36x23x 1,fx 3x 2 3x2 3当 x ,2 3时 fx0,fx在 ,2 3上单调增加.当 x2 3, 2 3时 fx 0, fx在2 3,2 3上单调削减. 当 x2 3, 时 fx0,fx在2 3, 上单调增加综上, fx 的单调增区间是 ,2 3和2 3,fx的单调减区间是2 3,2 3 2fx3xa21a2当 1 a20 时, fx0,fx为增函数,故 fx无极值点.当 1 a20 时, fx0 有两个根, x1 a a21,x2a a21.由题意知, 2a a213,或 2 a a213.55式无解式的解为 4a3.55因此 a 的取值范畴是 4,31“我们称使 fx0 的 x 为函数 yfx的零点假设函数 yfx在区间a, b上是连续的,单调的函数,且满意fa ·fb<0,就函数 yfx在区间 a,b上有唯独的零点”对于函数 fx6ln x1x22x 1,(1) 争论函数 fx在其定义域内的单调性,并求出函数极值 2证明连续函数 fx在2, 内只有一个零点解析 1解： fx6ln x1x22x1 定义域为 1, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 fx62x282x2,fx 0. x 22 舍去 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x 1x 1,222, fxfx0取得极大值由表可知, fx值在区间 1,2上单调递增,在 2,上单调递减当x2 时, fx的极大值为 f26ln3 1.2证明：由 1知 f26ln3 1>0,fx在2,7 上单调递减, 又 f7 6ln83618ln2 2<0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2 f·7<0.fx在2,7 上有唯独零点当 x7 ,时, fxf7<0, 故 x7 ,时, fx不为零y fx在7, 上无零点函数fx6ln x1x2 2x1 在定义域内只有一个零点22022 ·江西高考 设函数 fxln x ln 2x axa>0 1当 a1 时,求 fx的单调区间.1(2) 假设 fx在0,1上的最大值为 2,求 a 的值解析 函数 fx的定义域为 0,2,fx 11a.x2x x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a1 时, fx递减区间为 2,2.x 2x,所以 fx的单调递增区间为 0, 2,单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 x0,1时, fx22x x 2xa>0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 fx在0,1上单调递增,故 fx在0,1上的最大值为 f1 a,因此 a 2.3已知函数 fx x33x29x a. 1求 fx的单调递减区间.2假设 fx在区间2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值 分析此题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值,题目中需留意应先比较f2和 f 2的大小,然后判定哪个是最大值从而求出 a.解 1f x 3x26x9.令 fx<0,解得 x<1,或 x>3,函数fx的单调递减区间为 , 1,3, 2f281218a2a, f2 81218 a 22a,f2>f 2在1,3上 fx>0,fx在 1,2上单调递增又由于 fx在2, 1上单调递减,f1是 fx的微小值,且 f 1a5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2和 f 1分别是 fx在区间 2,2上的最大值和最小值,于是有22a 20,解得 a 2.fx x3 3x2 9x2.f1a5 7,即函数 fx在区间 2,2上的最小值为 7. 4已知函数 fxxexxR(1) 求函数 fx的单调区间和极值.(2) 已知函数 ygx的图象与函数 yfx的图象关于直线 x1 对称证明当 x1 时, fxgx.3假如 x1 x2,且 fx1 fx2,证明 x1x22.解析 1fx 1xex.令 fx0,解得 x 1.当 x 变化时, fx,fx的变化情形如下表：x, 111, fx0fx极大值所以 fx在 ,1内是增函数,在 1, 内是减函数1函数 fx在 x1 处取得极大值 f1,且 f1 e.2由题意可知 gxf2 x,得 gx2xex2.令 Fxfxgx,即 Fxxexx2ex2, 于是 Fxx1e2x2 1ex.当 x1 时, 2x20,从而 e2x210,又 ex0.所以 Fx 0.从而函数 Fx在1 ,上是增函数又 F1e1e1 0,所以 x1 时,有 FxF10,即 fx gx3假设 x11x2 10,由1及 fx1 fx2,得 x1x21,与 x1 x2 矛盾假设x1 1x21 0,由1及 fx1fx2,得 x1x2,与 x1 x2 冲突 依据得 x1 1x210,不妨设 x11,x21.由2可知,fx2gx2,gx2 f 2x2,所以 fx2f2x2,从而 fx1f2 x2 ,由于 x2 1,所以 2x21,又由 1可知函数 fx在区间, 1内是增函数,所以 x1 2x2,即 x1 x22.5已知函数 fx ax3 32,函数 gx 3x 12.2ax1当 a>0 时,求 fx和 gx的公共单调区间. 2当 a>2 时,求函数 hxfxgx的微小值. 3争论方程 fxgx的解的个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1f x3ax23ax3axx 1,又 a>0,由 fx>0 得 x<0 或 x>1, 由 fx<0 得 0<x<1,即函数 fx的单调递增区间是 ,0与1, ,单调递减区间是 0,1,而函数 gx的单调递减区间是 ,1,单调递增区间是 1,故两个函数的公共单调递减区间是 0,1,公共单调递增区间是 1, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2hxax332222 3x 1 ,hx3ax 3a 2x 6 3ax 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2axax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 hx 0,得 x2x 1,由于 2,易知 x1 为函数 hx的微小值点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a或2.hx的微小值为 h1 a3令 x fx gxax33a<12x2 6x3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2aax 3ax23a2x63ax 2x1,假设 a0,就 x 3x12,x的图象与 x 轴只有一个交点,即方程 fxgx只有一个解.a24假设 a<0,就 x的极大值为 1 2>0,x的微小值为 a a26a3<0,x的图象与 x 轴有三个交点,即方程 fxgx有三个解.a假设 0<a<2,就 x 的极大值为 1 2<0,x的图象与 x 轴只有一个交点,即方程 fxgx只有一个解.假设 a2,就 x6x120,x单调递增, x的图象与 x 轴只有一个交点,即方程 fx gx只有一个解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a>2,由2知 x21 43 23,x的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的极大值为 a与 x 轴只有一个交点,即方程 fx gx只有一个解a44<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上知,假设 a0,方程 f x g x 只有一个解.假设 a<0,方程 f x g x 有三个解可编辑资料 - - - 欢迎下载