2022年高考复数知识点精华总结说课讲解.docx

精品_精品资料_复 数1. 复数的概念：（1） ）虚数单位 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）复数的代数形式 z=a+bi ,a, b R.（3） ）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.2. 复数集整数有理 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实 数 b0分 数复 数 abi a , bR 无理数无 限不循环 小数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_虚数 b0) 纯 虚数 a0非 纯 虚数 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 复数 a+bia, b R由两部分组成,实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部, 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位,当b=0 时, a+bi就是实数,当 b0 时, a+bi是虚数,其中a=0 且 b 0 时称为纯虚数.应特殊留意, a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件,如 a=b=0 ,就 a+bi=0是实数.4. 复数的四就运算如两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,（1 ）加法： z1+z2=a1+a2+b1+b2i.（2 ）减法： z1 z2=a1 a2+b1 b2i .（3 ）乘法： z1 ·z2=a1a2 b1b2+a1b2+a2b1i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1a1a2b1b2 a2b1a1b2 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） ）除法： z222a2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） ）四就运算的交换率、结合率.安排率都适合于复数的情形.（6） ）特殊复数的运算： i n n 为整数的周期性运算. 1 ± i2 = ±2i .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如=- 2 +2i,就 3=1 ,1+ + 2=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 共轭复数与复数的模（1） ）如 z=a+bi ,就 zabi , zz 为实数, zz 为纯虚数 b 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2z z| z |22+b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）复数 z=a+bi的模|Z|=, 且= a.6. 依据两个复数相等的定义,设a, b, c, d R,两个复数a+bi和 c+di相等规定为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a+bi=c+dia cb d . 由这个定义得到 a+bi=0a 0b 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个复数不能比较大小,只能由定义判定它们相等或不相等.4. 复数 a+bi 的共轭复数是 abi ,如两复数是共轭复数,就它们所表示的点关于实轴对称.如 b=0 ,就实数 a 与实数 a 共轭,表示点落在实轴上.25. 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区分,最主要的是在运算中将i =1 结合到实际运算过程中去.如a+bia bi=a2+b26. 复数的除法是复数乘法的逆运算将满意 c+dix+yi=a+bi c+bi0 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商.由 于 两 个 共轭 复 数的 积是 实 数 , 因 此 复数 的除 法 可 以通 过 将 分 母实 化 得 到, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abicdiabi cdi cdi cdi acbd c2bcad i d 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离.（二）典型例题讲解1. 复数的概念例 1 实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+m 1i 是（ 1）实数？（ 2 ）虚数？（ 3）纯虚数？（ 4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+m 1i 中,由于 mR,所以 m+1 ,m 1 都是实数,它们分别是 z 的实部和虚部, （1 ）m=1 时, z 是实数.（ 2）m 1 时, z 是虚数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（3） ）当mm（4） ）当m1010 时,即 m= 1 时, z 是纯虚数.1010 时,即 m< 1 时, z 对应的点 Z 在第三象限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知 2x 1+i=y 3yi ,其中 x, yR,求 x, y.2x1y5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据复数相等的意义,得方程组13y ,得 x= 2, y=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 当 m 为何实数时,复数 z 数.（ 3）是纯虚数2 m23mm2252+m2+3m10i .（ 1）是实数.（ 2）是虚可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m23m100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） z 为实数,就虚部 m2+3m 10=0 ,即解得 m=2 , m=2 时, z 为实数.m2250,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m23m100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2 ）z 为虚数,就虚部 m2+3m 10 0,即m2250,2m23mm23m20100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m 2 且 m±5. 当 m 2 且 m ±5 时, z 为虚数m2250,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11解得 m= 2 , 当 m= 2 时, z 为纯虚数诠释：此题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必需具备的条件,仍应特殊留意分母不为零这一要求例 5 运算： ii2 i3+ +i2022. 解：此题主要考查 in 的周期性ii2 i3+ +i2022=i+i2+i3+i4+i2022+i2022+ i2022i2022 i2022=i 1 i+1+ i 1 i+1+ +i 1 i+1+i 0 0 0+i i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：此题应抓住 in 的周期及合理分组例 8 使不等式 m2 m2 3mi m2 4m 3i 10 成立的实数 m.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2 m2 3mi m2 4m 3i 10, 且虚数不能比较大小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m210m23m0| m| 10m0或 m3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m24m30 ,解得 m3或 m1 , m=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m 3 时,原不等式成立诠释：此题应抓住复数能比较大小时必需都为实数这一条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 已知 z=x yix ,yR,且2 x yilog 2 x81log 2yi ,求 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x y80xy3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x yilog 2 x81log 2yi ,log 2 x1log 2y ,xy2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解得y2x1 或 y12 , z2 i 或 z1 2i 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_诠释：此题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、娴熟的解方程（指数,对数方程） 例 10 已知 x 为纯虚数, y 是实数,且 2x 1 iy3 yi,求 x、y 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题主要考查复数的有关概念,实数与i 的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法 设 xti t R,且 t0）,就 2x 1iy3 yi 可化为2ti 1iy3 yi,即2t 1i 1=y 3yi ,2t13y55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y, y= 1, t= 2, x= 2 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 复数的四就运算例 1 运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（1 ） 1i 2ni 2 n 1,nN+ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_133i 63i 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2 ）如 = 2 +2 i, 3=1 ,运算22.32i 52i53i 223i 25i （3 ）.（4 ）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.1i 2n1i 22i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1i 2n 2i 1n 1 2i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） 1i 2 n 1 =1i 22i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2in2k1,kN=2in2k, kN.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3i 63i 6i13i 6i13i 6i 6 62 6 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2 ）22=22= 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3 ）由于32ii23i,52ii25i,32i 52i 53i 23i 25i 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= | i i53i 2| | 53i 2 |53 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=8.（4 ）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=1+2i+3i2+4i3+5i4+6i5+7i6+8i7+97i96+98i97+99i98+100i99=1+2i 3 4i+5+6i7 8i+ +97+98i 99 100i=25 2 2i= 50 50i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知复数 z 满意|z2|=2 ,z+ 解：设 z=x+yi, x, yR,就4z R,求 z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44 z,xyi4 xyi x4x y4 yi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+ z =z+zzx2y2x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z+4yz R,4 yx2y2=0 , 又|z 2|=2, x 22+y2=4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立解得,当 y=0 时, x=4 或 x=0 舍去 x=0,因此时 z=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y0 时,x1y3 , z=1 ± 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 综上所得 z1=4 ,z2=1+3 i, z3=1 3 i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设 z 为虚数,求证： z+1z 为实数的充要条件是 |z|=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设 z=a+bi a, bR,b0 ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11abiabiaa bb i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+ z =a+bi+abia 2b 2a 2b2a 2b 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b 0, z+1z Rbba 2b2=0a2+b2=1|z|=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z例 4 复数 z 满意z+1 z +1=|z |2 ,且 z解：设 z=x+yi x, yR,就11 为纯虚数,求 z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z+1 z +1=|z |2+z+z +1=|z |2, z+1z +1=0 , z+ z = 1, x= 2 .222z 1 z 1z 1 | z | z z 1 x y2z1 = z1z1| z1|=31 x2+y2 1=0, y= ± 2 , z= 2 +例 5 复数 z 满意1+2iz+3 10i z =4 解：设 z=x+yi x, y R,就1+2ix+yi+3 整理得 4x 12y 8x+2yi=4 34i.4x 12y 4x 48x2 y34 , 解得 y1, z=4+i.xyixyi1| z1| 2为纯虚数,3132 i 或 z= 2 2 i.34i ,求 z.10ix yi =4 34i ,1例 6 设 z 是虚数, =z+z 是实数,且 1< <2 ,1z（1 ）求|z| 的值及 z 的实部的取值范畴.（ 2）设 u= 1z ,求证 u 为 纯虚数（3 ）求 u2 的最小值.解：（ 1）设 z=a+bi a, bR, b 0,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab a22 b22 i=abab,由于 是实数且 b 0 , a2+b2=1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即|z|=1 ,由 =2a, 1< <2, z 的实部 a 的的取值范畴是 2, 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1z1abi1a2b 22bi2bi1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2 ）u= 1z = 1abi1a2b2a1 ,由于 a 2 , 1, b 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ u 是纯虚数.b 21a 2a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a22a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3 ） u2=2a+1a1aa1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a1=113a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a 21, 1 , a+1>0 ,就 u2 2×23=1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a+1=a1 , 即 a=0 时,上式取等号,所以 u2 的最小值为 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 证明：iziz 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等 设 zabi ,a, b R,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iziabia1bia 21b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iz =iabia1bia 221b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iziziz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2 ： iziziz ,iz =iziz.可编辑资料 - - - 欢迎下载