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统计物理习题解答第一章 习题 1. 一质点按 t xsin w = 的规律作简谐振动。试证明，假如测量质点位置的采样时间匀称分布，测得质点的位置在 x 到 dx x+ 的几率为 211) (xdxdx x-=pr解：只考虑一个周期即可。将 t 看作在 02 p /&omega; 内匀称分布的随机变量，则 ( )pwr2= twp 20 £ £ tX 的分布函数为 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )úûùêëé+ =úûùêëé+ + =+ = =£ = £ =- -+ò ò ò-wprwprr r rwwpw wpx xx x tdt t dt t dt tx t P x X P x Fxa xD D11 12sinsin0sin 2 sin sinsin112 1 于是 ( ) ( )2"11 1xx F x-= =pr 2. 已知几率分布 ( ) xydxdy dxdy y x µ , r其中 y x, 的改变范围是 b y a x £ £ £ £ 0 , 0 。(1) 求几率密度函数 ( ) y x, r(2) 求 y 为随意值， x 在 x 到 dx x+ 的几率。解：(1) 由归一化条件10 0=òòa bx y d x d y A &rarr;2 24b aA =w p /w p / 2x t x则( )ïîïíì£ £ £ £=其它 00 , 04,2 2b y a x xyb ay x r (2) ( ) ( )ò ò= = =+¥¥ -bXaxydyb axdy y x x02 2 22 4, r r a x £ £ 0于是 ( ) dxaxdx xX22= r 3已知几率分布 dx e dx xx) (aa r-= , +¥ < £ x 0其中0 > a， x 的改变范围是 0 至 ¥ 。试求 x 的平均值 x ，方均根值2x ，平均平方偏差2) ( x x- 和相对涨落22) () (xx x -。解：(1)( ) ( )a aa aa ra101 1 100 0 0 0=úúûùêêëé-¥ +- =- = = = = =òò ò ò ò¥ +- -+¥-+¥ +¥- -+¥dt e tetde dt te dx e x dx x X E Xt tt t x (2) ( )20202 22aa ra= = =-+¥ +¥ò òdx e x dx x x Xx 则 a22= x(3)( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 22 1 1 2a a a= - = - = - = X E X E X X X D(4)( )( )11 12 2 2= =a aXX D4. 一光子的能量 e 与动量 p 有如关系 cp = e ，c 为光速。若光子在容器 V 中自由运动，求能量在 e e e d + 之间的量子态数。（对应每一个动量 p 有两个偏振方向，即两个不同的状态）解：在z y xdP dP dxdydzdP 内的量子态数为 z y xdP dP dxdydzdPhdn32=（考虑了光子两个偏振态，故乘 2）在z y xdP dP dP 内的量子态数为 dP d d PhVdP dP dPhVdn nz y xVj q q sin2 223 3= = = Dòòò 在 PP+dP 内的量子态数为（ ò =pq q02 sin d ）dP PhVn238 p= D再作变换 &epsilon; = cP，则在 e e e d + 内的量子态数：e epdc hVn23 38= D 5. 已知二维谐振子的能量为 ) (2 22 22 2y xkmp py x+ += e证明态密度函数 ) ( e g 与 e 成正比。（提示：四维椭球的体积正比于四个半轴长的乘积）证明：将谐振子能量方程写成 1/ 2 22 22 2=+Ky xmP Py xe e 这是四维相空间中的一个椭球。其中四个半轴长分别为e m b a 2 = = ， K d c / 2 e = =在这椭球内的量子态数目为 ( ) ( )222 222 24/ 2 211 1e e eKhmAK m AhhdP dxdydPhNVy x= =´ = =òòòò四维椭球的体积 A 是比例系数。则e e dKhmAdN28=即 ( ) e e e µ =28KhmAg其次章 习题 一维线性谐振子的能谱为 , , 2 , 1 , 0, )21( L = + = n hv nne系统的温度足够低kT hv >>(1) 求振子处于第一激发态与基态的几率之比。(2) 假如振子只占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。解：(1) 已知：n b a hle N÷øöçèæ+ - -=21l n bnn bhhheeeN NN NPP-= = =21232121 (2) úûùêëé+ = + = + =- -n n e e e e en bn b ah e hNeNNNNP Phh23212111001 1 0 0 留意： n bn b a n b a n b ahh h he e e e N N N- - - - - -+ = + = + = 12123210 1 则： ïîïíì<<>>=+=-kT hvkT hvhvhveehhh当当2113 121n bn bn e÷øöçèæ=kT1b 2. 由波尔兹曼分布导出麦克斯韦速率分布律。解：若能把粒子数 N 写成 ( ) dv v f Nò+¥=0即可。在 p106 例 2 已求出：( )dv v eh&pi; Vm e dv v e d &theta;d&theta;hVm e dv dv dv ehVm eNvkTm&alpha;&pi;vkTm &pi;&alpha;z y xv v vkTm&alpha;z y xòò ò òòòò¥ +-¥ +-¥+ + -=022330 0222033233222 2 24sin j但 ( )23222 2 2÷øöçèæ=òòò¥+ + -m&pi;kTdv dv dv ez y xv v vkTmz y x 则：2333 2÷øöçèæ=-kTmNhVm epa 所以：( )22223 24vkTme vkT &pi;m&pi;N v f-÷øöçèæ= 3. 由 2 的结果计算速率的平均值 v 。解：把 ( )ò+¥=0dv v f N 写成( )ò+¥=01 dvNv f，可以看出( )Nv f刚好是分子速度取 v的概率，于是由 ( ) 2 题结果知：( )&pi;mkT mkT&pi;kTm&pi;dv e v&pi;kTm&pi;dv e v&pi;kTm&pi; dvNv vfvvkTmvkTm82212424242230232302323022=÷øöçèæ÷øöçèæ=÷øöçèæ=÷øöçèæ= =òò ò¥ +-¥ +-¥ +4. 听从波尔兹曼分布的某志向气体粒子的能量与动量的关系为cP = e，c 为光速，若共有 N 个粒子，试计算此气体的热容量VC 。解：3 3 3 3 3 3023020 023331 8 2 4 4sin 1bpbppj q qwbp pbbbe bec hVc hVdp p ehVdp p e d dhVdp dp dp ehVdp dx ehe Zcp cpVz y xcpzlll= = =× × × × × × = =ò ò ò òòòòò ò å¥ +-¥-+¥¥ -+¥¥ -则：bpln 38ln ln3 3- ÷øöçèæ -=c hVZNkTN ZN U 33 ln= =¶¶- =b b NkTUC v 3 =¶¶= 5. 被吸附在表面的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作是二维的志向气体，试计算其摩尔热容量，设表面大小不变。解 ：设 二 维 分 子 可 活 动 的 范 围 面 积 为 S ， 一 个 分 子 的 能 量 为( )2 22212y xp pm mp+ = = e ，则：( )bppqb b pbbemhSpdp ehSpdp e dhSdp dp ehSdp dxdydp ehZpmpmSy xp pmy xy x2 2 120 022220222 22 22 2= = × × × =ò ò òò ò òò¥ + ¥ +- -+ - 所以 N k TN ZN U = =¶¶- =b bln 则：NkTUC =¶¶=v6. 在体积为 V 的容器中，有 N 个相互独立的能量与动量的关系为 cp = e 的粒子，试证明其压强 P 与体积内能 U 之间存在如下关系 VUP31=证明：利用 4 题结果：NkT U 3 =而： ÷÷øöççèæ+ =3 3 38ln ln lnbpc hV Z则： VUN k TV VNVZ NP3331 1 ln= = =¶¶=b b 证毕。7. 设处在重力场中的 N 个单原子分子志向气体，气柱高度为 H，截面积为S，试求气柱的内能和定热容量。解：由 P105 例 1 已算出配分函数为：( )233211÷÷øöççèæ- =-bpbbMemg nSZmgH ( ) ( ) A e A e ZmgH mgH+ - + - = + - - + - =- - b bb b b 1 ln ln25ln231 ln ln ln其中 A 与 b无关。于是可算出 mgHmgHemgHe Zbbb b-+ - =¶¶1125 ln mgHmgHeeNmgH NkTZN Ubbb- =¶¶- =1 25 ln 利用 11lim0=-®xxxexe知：ïîïíì¥ ®®=时时H NkTH NkTu25023 ïîïíì¥ ®®=÷÷øöççèæ-÷øöçèæ- =-¶¶+ = ÷øöçè涶=当H当HNkNk eekTmgHNk NkeTNmgH NkTUCkTmgHkTmgHkTmgHvv025231251125228. 经典转子的能量为 222sin 2121j qqe pIpIr+ = 其中 +¥ < < ¥ - +¥ < < ¥ - £ £ £ £j qp j p q p p, 2 0 , 0 ，试计算配分函数和 N 个转子系统的热容量。解：ò ò ò ò ò+¥¥ -+¥¥ -= × =jqbb pj qbejqq qpj q dp e d e dhdp dp d d ehZpIpI222sin 2 202 22 1bpq qbp pbq pbpqpp p22022028sin2 2 sin 2 2 2hIdIhI Idh= = =ò ò ÷÷øöççèæ=ò+¥¥ -lpdx edx 2利用了 ，于是 b ln ln - = A Z( ) 无关 与T A则： N k TN ZN U = =¶¶- =b bln NkTUCvv= ÷øöçè涶= 9. 当选择不同的能量零点时，粒子第 l 个能级的能量可以取为le 或*le 。以表两者之差l le e - = D*，试证明相应配分函数存在以下关系 z e zD -= * b，并探讨由配分函数 z 和*z 求得的热力学函数有何差异。证明：当取能级为le 时，å-=llle Zbew ，当取*le 时， ( )Z e e e ZlllllD - D + - - *= = =å å*b e b bew w 证毕 探讨：D - =*b Z Z ln ln则：D + =úûùêëéD -¶¶- =¶¶- =*N UZNZN Ub bln ln PVZ NVZ NP =¶¶=¶¶=*ln lnb b úûùêëé÷÷øöççèæD -¶¶- D - =úûùêë鶶- =* *bb bbbZZ NkZZ Nk SlnlnlnlnSZZ Nk =úûùêë鶶- =bblnln可见子系能级的零点选取不同并不影响状态方程和熵函数，但对内能的数值有影响。10. 晶体中含有 N 个原子，原子在晶体中的位置如图中的 0 所示，当原子离开正常位置而占据图中的´位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体中的这种缺隙称为夫伦克尔(Frenkel)缺陷。(1) 假设正常位置和填隙位置的数目都是 N。试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于 )! ( !ln 2n N nNk S-=(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u 。试由自由能 TS nu F - = 为微小的条件证明，在温度为 T 时，缺位和填隙原子数为 kTuNe n2-»（设 N n << ）(提示：计算在 N 个正常位置和填隙位置中出现 n 个缺位和填隙原子有多少种可能的状况。) 解：(1) 设无缺陷（志向）晶体的熵为零，按玻氏关系，由于形成 n 个缺陷而具有的熵与这种缺陷所发生的可能位置（状态）有关。在 N 个正常原子位置出现 n 个缺位可以有( ) ! !n N nNCnN-= 个可能；而对于这些可能的缺位原子（n 个）又可能在 N 个x位置产生nNC 种放法，故可能的缺陷可产生 ( )2nNC 种微观状态，于是 ( ) ! !ln 2 lnn N nNk W k S-= =(2) 又设：原子在正常位置的能量取为零，则：( ) ( ) ( ) ( ) n N n N n N n n n N N N kT nTS n F- - - - - - - - - =- =ln ln ln 2 mm 平衡态 F 取最小值，则：( ) 0 ln 2 ln ln 2= + =- + - - =¶¶NnkTn N n kTnFmm ( ) ( ) N n N n N ln ln » - >> ，则：kT Nn2lnm- =所以 kTNe n2m-= 11. 假如原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷叫肖脱基(Shottky)缺陷。以 N 表示晶体中正常原子数， n 表示晶体中的缺陷位数。假如忽视晶体体积的改变，试由自由能为微小的条件证明，在温度为 T 时 kTWNe n-»（设 N n << ）其中 W 为原子在表面位置与正常位置的能量差。(提示：当晶体中出现 n 个肖脱基缺陷时，共有 N+n 个正常位置出现 n 个缺位有多少种可能状况。) 解：在 n N + 个正常位置中有 n 个缺位，有( )! !N nn N +种。则 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N n n n n N n N n N kN N N n n n n N n N n N kn Nn Nk S+ - + - + - + + =- - - - + - + + =+=ln ln lnln ln ln! !ln 由 TS nW F - = 得 ( ) 0 ln ln ln ln = - - » - + - =¶¶n N Tk W n n N Tk WnF 即：kTWNn- = ln ，则：kTWNe n-= 。12. 若气体以恒速0v 沿 z 方向作整体运动，求分子的平均平动能量。假设KT << D e 。解：按经典近似：ò ò å å× × × × × × = = =- - -zl ll ldp dxdyhee N Nl3be abe aw( ) *可以把zdp dxhe×- -3be a看做是系统中状态在zdp dxdy × 内的粒子的个数，于是：N he3be a - -就可看做是粒子处于 ( )zp y x , , ×× × 状态的概率密度函数。但是， ( ) * 右端积分可以算出来÷÷øöççèæ=ò+¥¥ -lpldu eu 2利用( )23322 2 22ò ò= × × =÷øöçèæ+ +-mkT V dp dx eeNhzzpypxpmpba 于是：( )( ) V mkTep p p z y x pz y x232, , , , ,pbe -= ( ) ÷øöçèæ+ + + =202 221p p p pz y xpe 其中 于是 ( )ò ò× + + × =z z y x z y xdp dx p p pmp p p z y x p T2 2 221) , , , , , ( ) ( ) ò ò× + + × =+ + + -zp p p pmz y xdp dx e p p pV mkT mz y x202 222 2 2232 21bp ( ) ( )òòò+ + -= + - + + =Vy xp p pmy xp p pdp dp dp e p p p p p pmkTy xznbn nnnp p2 2 20220 02 2 22322 21令 留意奇函数对称区间积分为零，所以：上式( )( )( )îíì+ + =òòò¥+ + -nbnp pdp dp dp e p p pmkTy xp p pmz y xy x2 2 222 2 2232 21 ( )þýü+òòò¥+ + -nbndp dp dp e py xp p pmy x2 2 2220 留意： 中第一项为 3 个相同的积分，÷÷øöççèæ=ò+¥¥ -32212lpldu e uu利用 ，故为：( )( ) ( ) mkT mkT dp dp e dp e pyp pmxpmxy x2 2233232 222 2 2pnb bn=òò ò¥+ -+¥¥ -而 中其次项为 ( )23202 mkT p p于是： 202021232 23mv kTmpkT T + = + = 13. 系统由 N 个线性谐振子组成。试证明，在温度为 T 时，能量等于或大于给定能量 hv nn)21(00+ = e 的振子数为kThv nNe0-。证明：n bn bn bhhlh leee Z-¥=÷øöçèæ+ -= = å121021 kTh nh nhh nhn lh ln lh lNe Neee eZNeZNe Nnnn bn bn bn bn b n b ae e0000 001212121-¥ +=÷øöçèæ+ -¥ +=÷øöçèæ+ - -³= =-= = =å å 证毕。14. 线性谐振子的经典表达式为2222 21q pmwme + = ，试计算经典近似的配分函数、内能和熵。解：b wpb mwpbmpb mwmbmwmb1 2 2 2 1 1 12222 21222222h hdq e dp ehdqdp ehZqpq p= = = =ò ò òò¥ +¥ -¥ +¥ -¥úúûùêêëé+ - NkT NZN u =úûùêëé - =¶¶- =b b1 ln úûùêëé+÷÷øöççèæ=÷÷øöççè涶- = 12lnlnlnwbpbbhNkZZ Nk S 15. 假设双原子分子在平衡距离旁边做简谐振动，试证明分子的平均线度等于两原子的平衡距离。这说明，做简谐振动不会发生热膨胀，这结论也适用于晶体。解：如图：以一原子为原点， q 指向另一原子。设振子频率为 w ，平衡间距为 l ，振幅为 a ，则振子能量为：( ) 222212l q mmp- + = w e则平均线度为：( )( )òò ò ò òò+¥¥ -+- -= = = dp e dq qeZhdqdp qeZhdqdp p q q qpma la ll q m2 2 22 21 1,bwbber但是： ( )ò ò òò+¥¥ -+- -= = dp e dq ehdqdp ehZpma la ll q m2 2 22 21 1bwbbe 则： ( )( )( )òòòò-+- =+- -+- -+= =aaq maaq ml q qa la ll q ma la ll q mdq edq e l qdq edq qeq"" ""2"22222 2"2 22 2wbwbwbwb 留意，奇函数在对称区间积分为零，则：l l q = + = 0这表明只做简谐振动说明不了热膨胀。16. 在一体系中已知粒子能量为 Bx Ax p p pmz y x+ + + + =2 2 2 2) (21e ，其中 A，B 为常数，且 0 ¹ A ,求粒子的平均能量。解：子系能量不光有平方项，将其改写为：( )ABABx A p p pmz y x4 2 21222 2 2- ÷øöçèæ+ + + + = e再用能量均分定理（对四个平方项）：ABkTABkT424 2142 2- =÷÷øöççèæ- + ´ = e17. 由单原子分子组成的顺磁气体，每单位体积中有0N 个原子，当温度 T不太高时可看成每个原子都处于基态，其固有磁矩 m 在外磁场 H 中只能取平行于 H 或反平行于 H 两种取向，气体听从波尔兹曼分布。试计算 (1) 一个原子处于 m 与 H 平行状态的几率。(2) 一个原子处于 m 与 H 反平行状态的几率。o q l(3) 一个原子的平均磁矩。解：基态本是一个状态（不简并），所以 12 1= = w w ，因磁场存在，能级发生劈裂。H m e e - =0 1 （顺）平行 H m e e + =0 2 （逆）反平行 按 Boltzmann 分布， 11be a - -= e N22be a - -= e N(1) ïîïíì¥ ®®=+=+=+= =- - -TTe e eeN NNNNPH210 11122 11 112 11bm be bebe ïîïíì¥ ®®=+=+=+= =- -TTe e eeN NNNNPH02101122 12 222 12bm be bebe (2) ( )HHeee ee ep pbmbmbe bebe bem m m m m222 1112 12 1- - -+-=+-= - + =(3) 总磁矩：( )( )îíì>><<=+-= =-全取正向即正反向各有kT HN kT HNeeN N MkTHkTHmmmm mmm2 / 0112218. 由 N 个粒子组成的志向气体，每个粒子只能处于能量为1e ，2e 的两个状态之一，且2 1e e < 。(1) 不必详述计算，定出在低温柔高温两种极限状况下系统的平均能量E ；通过定性分析画出 T E - 曲线的大致形态。(2) 依据 T E - 曲线画出 T C V - 曲线的大致形态。(3) 计算平均能量 E 及热容量VC ，证明它们具有(1)，(2)中呈现的特点。解：2 1be be - -+ = e e Z 再利用le N lbe a - -= 及ZNe =- a，可得 D - - -+=+=b be bebeeNe eeN N12 111( )1 2e e - = DD - -+=+=b be bebeeNe eeN N12 122 (1) 明显：¥ ®®®TTNNN021，¥ ®®®TTNN0202 所以： (2) TEC V¶¶= ，所以 (3) NN 11= r ，NN 22= r úûùêëé+=úûùêëé+= + = =D DDD D - b bbb be e e er e r e ee eeNe eN N N E1 1 1 12 1 2 12 2 1 1( )ïîïíì¥ ®®+®+=DDTTNNeeN0212 111 2e eee ebb( ) ÷øöçèæ D-÷÷øöççèæ+ -÷÷øöççèæ+ +úûùêëé+úûùêëéD -=¶¶=D-D D D D221 2211 1 1kTe e e ekTe NTECKT kT kT kT kTVe e e îíì¥ ®®®÷÷øöççèæ+÷øöçèæ D= -÷÷øöççèæ+D=DDDDTTeekTNk eeT kNkkTkTkTkT0001 1221 222 2e eN e 1N( e 1 + e 2 )/2 ET T C V第三章 习题 1. 有 N 个相互独立的粒子组成的体系，每个粒子可处于能量分别为 0 , ， ee 3 中的任一状态中，系统有确定的温度。(1) 如粒子可辨别，写出体系的配分函数。(2) 若粒子不行辨别，不受泡利原理限制，写出其配分函数。(3) 若粒子不行辨别，受泡利原理限制，写出其配分函数。解：(1) 这种状况下，系统听从 Boltzmann 分布，配分函数为 be be bew31- - -+ + = = å e e e Zlll (2) 这种状况下，系统听从 Bose 分布，配分函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) be a be a a be aw31 ln 1 ln 1 ln 1 lnln- - - - - - - + - + - - = - - =åe e e e Zlll (3) 这种状况下，系统听从 Fermi 分布，配分函数为 ( ) ( ) ( ) ( )be a be a a be aw31 ln 1 ln 1 ln 1 lnln- - - - - - -+ + + + + = + = å e e e e Zlll2. 试证明，对于费密系统，熵可表为 å- - + - =ii i i if f f f k S ) 1 ln( ) 1 ( ln 其中if 为量子态 i 上的平均粒子数， åi对粒子的全部量子态求和。证明： iiieeeNfllibe abe abe aw- - -+=+= =1 11( ) o可解出：iiffei-=- -1be a 或者：ifei-= +- -111be a 于是：( ) ( ) ( )å å å å- - =-= + = + =- - - -i iiil ilffe e Zi i1 ln11ln 1 ln 1 lnlnbe a be aw ( ) *å å- =+-=¶¶- - -i iifee Ziibe abe aa 1lnå å- =+-=¶¶- - -i ii iifee Ziieebbe abe a1ln 则： ( )úûùêëé+ + - - =úûùêë鶶-¶¶- =å å åi i ii i i if f f kZ ZZ k S e b abbaa 1 lnlnln ln( ) ( ) å- - + =ii i if f k 1 ln be a由：11+=+ief ibe a ®iiffei-=+1be a® ( )i i if f ln 1 ln - - = + be a所以 ( ) ( ) å- - - - =ii i i i if f f f f k S 1 ln ln 1 ln( ) ( ) å- - + - =ii i i if f f f k 1 ln 1 ln 3. 试证明，对于玻色系统，熵可表为 ) 1 ln( ) 1 ( ln å+ + - - =ii i i if f f f k S其中if 的意义同题 2。证明：证法同 2。4. 试证明志向玻色气体和志向费密气体满意如下关系 U PV32=证明：(以波色子为例) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )òò òòòå ò ò¥ +- -¥ +- -¥- - - - - - =-= - - =× × × - × × × - = - - =021233023 331 ln 22 1 ln41 ln1 ln11 lnlne eppwbe abe a be abe a be ad e mhVdp p ehVdp dp dp ehVdp dxdy ehe Zz y xlz li(*) 再利用：( ) ( )( ) ( )ïþïýüïîïíì- - - = -ò ò+¥- - -¥ + - -+¥- -023023021111 ln321 ln e ebe e ebe abe abe a be adeee d e留意： ( ) 0 1 ln023= -¥ + - - be ae e因为：令 ( )( )gf ee I =-= - =- - -23231 ln1 lneebe abe a 而：( )( ) ( )1 11"-=- -=+ - - -be a be abe ab bee eef ( )2523"- = e e g所以： ( )0123lim231lim lim2525=- ÷øöçèæ -=÷øöçèæ -=+¥ ®-+¥ ® ¥ ®be aebe ae ebeebeeI从而： ( )ò+¥+-=0232331 3222 ln eebpbe ademhVZ( ) * *由 ( ) * * ( )ò¥ +-=¶¶=0232331 3222ln 1ee pbbe ademhVVZV PV ( ) 1由 ( ) * ( )( ) ( )ò+¥- - - -=¶¶- =0212331122lne ee pbbe abe adeemhV Zu( )ò+¥+-=023233122ee pbe ademhV ( ) 2(1)，(2)比较即知：U PV32= 证毕。5. 对于光子气体试证明存在关系式 U PV31=并分析与上题中的关系式的差异的根源。证明：由讲义 P137 公式（4.12）知：3 3 3 35458 lnb bp VAc hVZ = = ，其中：3 35458c hAp=则：4 4433lnT AVk AVZU = =¶¶- =b b 4 44ln 1T AkAVZP = =¶¶=b b所以：U T AVk PV314 4= = 。 差异的根源是：0 = m cp = e 证毕。6. 假设极端相对论电子的能量 &epsilon; 与动量 p 有如下关系 cp = e其中 c 为光速，试计算肯定零度时，电子气体的费密能级、内能。解：(1) 先由å=llN N 确定0mò òòò å å+¥- - -+=+=+= =023 314121kT kTz y xlkTllledp phVedp dp dphVeN Nm e m e m ep w 利用： 222cpe= ， cddpe= ， îíì><=-00011m em em ekTe 3434 4303 3033 3023 300m p e pe epmmh cVc hVdc hVN = = =ò 则： 31043÷øöçèæ=VNhcpm（2） ò ò=+=+¥-0033 3033 3414mm ee ep e e pdc hVedc hVukT 0403 343m mpNc hV= = 7. 处于 0K 的费密气体，当体积 V 肯定时，0E 与 N 是否成正比？试说明缘由。解：不成正比。由于 Paoli 不相容原理，粒子不能处于同一状态，各粒子能量不一样，因此，0E 与 N 不成正比。9由热力学公式 dTTCSVò= 求光子气体的熵。解：在讲义 P137 已求出光子气体的内能为43 34 5158lnTc hk V ZUpb=¶¶- =则 33 34 51532Tc hk VTUCVVp= ÷øöçè涶= ，于是 33 34 54532Tc hk VdTTCSVp= = ò10一志向费密气体处于 0K 的状态，费密能级为0m ，粒子的质量为 m ，假如以 v v 表示分子的速度，试计算xv ,2xv 。解：(1) 先求粒子的速度分布率。由 òòòòòòòòò-=-=+z y xz y xdv dv dve hVm dp dp dxdydzdpe hN1111 1333be abe a 可以看出，处在在(v x , v y , v z )旁边，dv x dv y dv z 内的分子数目为 z y x z y xdv dv dv nhVmv v v N ) ( ) , , (33e =其中：n( e )是 e能级旁边一个状态的平均粒子数，在 T = 0K 有 îíì><=0001) (m em ee n或 ïîïíì><=m vm vn/ 2 0/ 2 1) (00mme因为 N 很大，N(v x , v y , v z )/N 就代表一个粒子落在 dv x dv y dv z 内的概律，于是 z y xz y xx xdv dv dvNv v v Nv vòòò=) , , ( 作球坐标变换 qj qj qcossin sincos sinv vv vv vxyx= v v xv yv zqj有 ò ò òòòò=p pq j q q j20 0 020 sin) , , (cos sin) , , (vz y xz y xz y xx xdv v v v v f v d ddv dv dvNv v v Nv v 留意到 0 cos20=òj jpd ，所以 0 =xv 。(2)ò ò òò ò òòòò=p pp pq q j jq j q q j20 0 04 3 220 0 02 22 200 ) , , (sincos sin) , , () cos sin () , , (vz y xvz y xz y x z y x x xdv v v vf v d ddv v v v v f v d ddv dv dv v v v f v v 留意到 p j jp=òd202 cos及 3 / 4sin03=òq qpd ，有 2 / 5033503304 22154154 ) , , (340÷øöçèæ= = =òm nhmvnhmdvNv v v N v vvz y xxm p pp因为 3 / 220832÷øöçèæ=VNmhpm ，所以