2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准.doc

2018年“大梦杯省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9001100 总分值150分一、选择题共5小题，每题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分1假设关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为 A B C D12如图，、都是正方形，边长分别为、。坐标原点为的中点，、在轴上。假设二次函数的图像过、两点，那么 A B C D第4题图第3题图第2题图3如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，那么 A B C D4如图，、分别为的垂心、外心，假设外接圆的半径为，那么 A B C D5满足方程的整数对有 A0对 B2对 C4对 D6对二、填空题共5小题，每题7分，共35分6，为正整数，且。假设，是三个连续正整数的平方，那么的最小值为。7如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。假设函数的图像过、两点，那么矩形的面积为。第8题图第7题图8如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的切圆，为的边上的旁切圆。假设、的半径都是，那么。9假设实数满足，那么。其中表示不超过的最大整数。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答以下问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域这些凸多边形区域除公共边外，没有公共局部。构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形，12个顶点在矩形的边界上含矩形的顶点；同时，任何三个顶点不共线除矩形边界上的顶点共线外。假设围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域，那么这个凸多边形中四边形个数的最大值为。三、解答题共4题，每题20分，共80分11二次函数的图像交轴于、两点，且。假设函数在上的最小值为，求，的值。12如图，在圆接四边形中，是边的中点，点在对角线上，且满足。求证：。第12题图13关于的方程的两根都是素数，求的值。14一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。2018年“大梦杯省初中数学竞赛试题参考答案与评分标准考试时间 2018年3月18日 9001100 总分值150分一、选择题共5小题，每题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分1假设关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为 A B C D1【答案】 A 【解答】依题意，。因此，。，。2如图，、都是正方形，边长分别为、。坐标原点为的中点，、在轴上。假设二次函数的图像过、两点，那么 A B C D【答案】 B【解答】依题意，点坐标为，点的坐标为。第2题图由二次函数的图像过、两点，得，消去，得。，解得舍负根。3如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，那么 A B C D【答案】 D 【解答】如图，连，并延长交于点。第3题图为的重心，且，为中点，且，。过点作，交于点。那么，。设，那么，。，。第3题答题图另解：如图，连，并延长交于点。为的重心，且，为中点，且，。，。第3题答题图在中，利用梅涅劳斯定理，得。，。4如图，、分别为的垂心、外心，假设外接圆的半径为，那么 A B C D【答案】 B【解答】如图，连结并延长交于点，连、。为的外心，第4题图为直径，。又为的垂心，。，。 四边形为平行四边形，。，外接圆的半径为，。第4题答题图。5满足方程的整数对有 A0对 B2对 C4对 D6对【答案】 C 【解答】方程化为。依题意，为完全平方数。由，得。结合为整数，得。故，4，。当时，不是完全平方数。当时，不是完全平方数。当时，不是完全平方数。当时，。 方程化为，即，或，或，或，或。，或，或，或。 满足方程的整数对有、，共4对。二、填空题共5小题，每题7分，共35分6，为正整数，且。假设，是三个连续正整数的平方，那么的最小值为。【答案】【解答】依题意，设，那么，为正整数，且。，可见为偶数，且。，。可见，且当增大时，的值也随之增大。又时，符合要求。的最小值为。7如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。假设函数的图像过、两点，那么矩形的面积为。【答案】【解答】设，那么。作于，由为中点，得为中点，且。结合第7题图，得。，。 矩形的面积。第7题答题图8如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的切圆，为的边上的旁切圆。假设、的半径都是，那么。【答案】【解答】如图，设切的三边、依次于点、，边切于点，、的延长线切于点、。那么由、的半径都是，为正三角形，以与切线长性质定理，得第8题图，。第8题答题图，。9假设实数满足，那么。其中表示不超过的最大整数。【答案】 【解答】设，其中为整数，。那么。 当时，；当时，；当时，；当时，。 对任意实数，的值具有形式：，为整数。，。，其中。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答以下问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域这些凸多边形区域除公共边外，没有公共局部。构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形，12个顶点在矩形的边界上含矩形的顶点；同时，任何三个顶点不共线除矩形边界上的顶点共线外。假设围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域，那么这个凸多边形中四边形个数的最大值为。【答案】【解答】设这个凸多边形中，有个三角形，个四边形，个五边形，个边形。那么这个凸多边形的角和为。另一方面，矩形部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的角和为。矩形边界限段不含矩形顶点有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此集合成一个平角，其和为。在矩形的每个顶点处，各多边形在此集合成一个直角，其和为。因此，这个凸多边形的角和为。 再考虑这个凸多边形的边数。由于每个凸边形有条边，因此，这个凸多边形的边数和为。另一方面，由条件知，在矩形部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这个凸多边形的边数和为。 由、，消去，得。第10题答题图又如下图的划分符合要求，此时，。的最大值为，即这个凸多边形中，最多有9个四边形。三、解答题共4题，每题20分，共80分11二次函数的图像交轴于、两点，且。假设函数在上的最小值为，求，的值。【解答】 函数的图像交轴于、两点，是方程的两个实根。，。 5分又，。 10分，在上的最小值为。时，。 15分由、，解得，。，。 20分12如图，在圆接四边形中，是边的中点，点在对角线上，且满足。求证：。【解答】，。又，。第12题图。 5分设、相交于点，。 10分又为边中点，第12题答题图，结合 ，得。结合 ，得，。 15分，即。 20分13关于的方程的两根都是素数，求的值。【解答】设方程的两根分别为、，那么由韦达定理，知，。 5分显然，都不等于2，因此，都是奇数。 10分假设，中有一个数为奇数，不妨设为奇数，那么，其中，2，3，4。当时，不是素数，舍去；当时，不是素数，舍去；当时，不是素数，舍去。当时，是素数。此时，也是素数。，符合要求。 15分假设，都是偶数，那么，不妨设，那么当，时，不是素数，舍去；当，时，都是素数；当，时，都不是素数，舍去；，符合要求。综上所述，或。 20分14一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。【解答】的最大值为。先考虑一个的方格表，其中有个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，的最大值为2。 10分并且只有如以下图所示的两种情况包括对称的情形。将一个的方格表分成4个的方格表，由于每个的方格表中至多有2个红色小方格，于是。 15分另一方面，如以下图所示的染色恰有8个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。综上所述，的最大值为。 20分14 / 14