二面角是高中数学(教师版)(共6页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；图1 三垂线法：如图1，C是二面角的面内的一个点，于O，只需作ODAB于D，连接CD，用三垂线定理可证明CDO就是所求二面角的平面角。 垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，则 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。 例1 如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （1）证明AB平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 解：（1）证明： （2）解：取VD的中点E，连结AF，BE，VAD是正三形，四边形ABCD为正方形， 由勾股定理可知， AEVD，BEVD，AEB就是所求二面角的平面角.又在RtABE中，BAE=90°，AE=AD=AB，因此，tanAEB=即得所求二面角的大小为例2 如图3，AB平面BCD，DCCB，AD与平面BCD成30°的角，且AB=BC. （1）求AD与平面ABC所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B的大小； （3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。解：(1) AB平面BCD ， ADB 就是AD与平面BCD所成的角,即ADB=300,且CDAB， 又DCBC，, CD平面ABC， AD与平面ABC所成的角为DAC ， 设AB=BC=a,则AC=， BD=acot300=,AD=2a, , tanDAC=, ,即，AD与平面ABC所成的角为450. (2)作CEBD于E，取AD的中点F，连CF， AB面BCD， 面ABD面BCD， 又 面ABD面BCD=BD，CEBD， CE面ABD，又AC=BC=，AF=FD，ADEF，有三垂线定理的逆定理可知，CFE就是所求二面角的平面角. 计算可知, ， ，CFE=arcsin.故，所求的二面角为arcsin3.略例3如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.（1）证明； （2）求面与面所成二面角的大小。解：（1）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形， P在平面ABC内的射影为O， PO平面ABF， AO为PA在平面ABF内的射影； 又 O为BF中点，为等腰三角形， AOBF， 有三垂线定理可知,PABF.（2）O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ， A、O、D共线，且直线ADBF， PO平面ABF，, 由三垂线定理可知, ADPB,过O在平面PBF内作OHPB于H，连AH、DH， 则 PB平面AHD,所以为所求二面角平面角。又正六边形ABCDEF的边长为1，。， ；故,所求的二面角为二、面积射影法： 如图5，二面角为锐二面角, ABC在半 平面内, ABC在平面内的射影为A1B1C1，那么二面角的大小. 例4 如图6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿对角线BD将折起,使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O,且O在DC上. （1）求证:PDPC； （2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值； （3）求CD与平面PBD所成的角的正弦值.解: （1）证明: PC在面BCD内的射影为OC, 且OCBC，由三垂线定理可知，BCPC，又PB=6，BC=，PC=而PD=，DC= 36=DC， PDPC.（2） . 设OC=x,则OD=6-x , , 设二面角P-DB-C的大小为，则 三、空间向量法： I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。 例5 如图7，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。解：（1） 二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CBAB， CB平面EAB，进而可得，CBAE， 又 BF平面ACE， AEBF， 而AE平面BCE. （2）连结BD交AC于点O，连结OF，由于ABCD为正方形，所以OBAC，又因为BF平面ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OFAC， BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作AxAB,以A为原点，分别以Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立 如图7的空间直角坐标系，易知AEB为等腰直角三角形，所以，A ( 0, 0, 0), O ( 0, 1 , 1), B(0, 2, 0), C(0 , 2, 2 ) , E( 1 ,1 ,0 ),设F（m, n, t ）， C、E、F三点共线， 又 BFAC， 故，所求的二面角为arccos II、直接求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求的夹角，再根据法向量分别相对于二面角的方向确定出二面角的大小。一般地，当法向量都是从二面角的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角的大小就是的夹角的补角；当法向量一个从二面角的内部向外部穿行，另一个从二面角的外部向内部穿行时，二面角的大小就是的夹角。例6 （2006年四川卷）如图8，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。解：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则 分别是的中点（1） 取，显然面 又， 而面 面 （2）显然，是平面ABCD的一个法向量；设是平面PAE的一个法向量，则而 可取 又法向量是从二面角的外部向内部穿行的，法向量是从二面角的内部向外部穿行的. 故，所求二面角为 （3）设为平面的法向量，则 又 即 可取 点到平面的距离为 ， 专心-专注-专业
