大学物理力学与热学 (8).pdf
2.3 对定轴转动的角动量守恒定律对定轴转动的角动量守恒定律2.3.1 角动量定理角动量定理tLMddvv=LtMzdd=2211ddtLztLMtL=1221dLLtMttz=tLMzdd=合外力矩对于定轴转动质点系的冲量（冲量矩）等于系统角动量的增量合外力矩对于定轴转动质点系的冲量（冲量矩）等于系统角动量的增量LlAOO v0v例：一块长为例：一块长为L，质量为，质量为M的匀质薄木板，可绕水平轴的匀质薄木板，可绕水平轴OO 无摩擦地转动。当木板静止在平衡位置时，有一个质量为 无摩擦地转动。当木板静止在平衡位置时，有一个质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0垂直击中垂直击中A点，点，A 离转轴的距离为离转轴的距离为l，子弹穿出木板后速度为，子弹穿出木板后速度为v，球木板的角速度，球木板的角速度。解：对于木板，根据角动量定理解：对于木板，根据角动量定理0d=JtFl正向正向231MLJ=对子弹，根据动量定理以速度方向为正对子弹，根据动量定理以速度方向为正0dvvmmtF=lFrO 解得解得0d=JtFl0dvvmmtF=231MLJ=20)(3MLmlvv =LlAOO v0v1 2 例两平行圆柱如图所示转动，求：接触且无相对滑动时两者的角速度值分别为多少？例两平行圆柱如图所示转动，求：接触且无相对滑动时两者的角速度值分别为多少？202,2101,1,;,RmRm.o1m1R1.o2R2m210 20 由角动量定理解：分别以由角动量定理解：分别以m1,m2为研究对象，设：为研究对象，设：f1=f2=f ，以为正向，以为正向m1对对O1 轴：轴：211110111121,dRmJJJtfR=f1f2m2对对O2 轴：轴：222220222221,dRmJJJtfR=接触点：接触点：2211RR =联立各式解得：联立各式解得：()()121202210111RmmRmRm+=+=O21R2R1 2 O1f1f2()()221202210112RmmRmRm+=+=2.3.2 角动量守恒定律角动量守恒定律Conservation of Angular Momentum设质点系沿定轴设质点系沿定轴 z 轴转动轴转动zzttzLLtM1221d=若若 Mz=0,则则zzLL12=若质点系所受的对某一轴的合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。若质点系所受的对某一轴的合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。例如:茹可夫斯基椅例如:茹可夫斯基椅回转仪定向回转仪定向常平架回转仪常平架回转仪O ABAB OSGA Lr例：一匀质细杆可绕例：一匀质细杆可绕 O点在竖直面内转动，其质量为点在竖直面内转动，其质量为 M，长度为，长度为l,起始时静止于垂直位置。现有一质量为起始时静止于垂直位置。现有一质量为 m 的泥团以速度的泥团以速度 v 与竖直方向成与竖直方向成 30角方向击中细杆中央并粘住，求：细杆开始摆动时的角速度。角方向击中细杆中央并粘住，求：细杆开始摆动时的角速度。30mvvrrO解：碰撞前后杆+泥团系统的角动量守恒解：碰撞前后杆+泥团系统的角动量守恒初态初态：细杆角动量为零：细杆角动量为零OLv大小：方向：大小：方向：sinrpLO=o150sin2vml=泥团：末态：泥团：末态：mLv大小：方向：大小：方向：v=vvmrLm 2,2llr=vo90sin22mllLm=ml42=30mvvrrO杆的角动量：杆的角动量：方向：方向：MLv大小：大小：JLM=231Ml=o150sin2vml ml42=231Ml+lMmm)43(3+=+=v 角动量守恒角动量守恒30mvvrrOMmOLLL+=例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2103 kgm2，正以，正以=0.2 rad/s 的角速度绕中心轴旋转，宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是的角速度绕中心轴旋转，宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是 r=1.5m，两喷管的喷气流量恒定，为，两喷管的喷气流量恒定，为=2kg/s,废气相对飞船周边的速率废气相对飞船周边的速率 u=50m/s,问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止转动？问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止转动？2dmu2dmr解：对过中心轴的角动量恒。废气质量解：对过中心轴的角动量恒。废气质量 v(0.3m/s)urmLmdd=方向如图方向如图mLv 2dmu2dmr0Lv设飞船停止转动时共喷出气体的质量为设飞船停止转动时共喷出气体的质量为 m =mmLLdurmurm=d角动量守恒，停转时角动量守恒，停转时urmJ=urJm=所需时间所需时间 t，mt=urJ=67.25.15022.01023=(s)mLv 2dmu2dmr0Lv0LLm=例：转台（例：转台（M，R），人），人(m),轴的阻力不计，若人沿转台跑一圈，问：相对地面来说，人和转台各转了多少度？轴的阻力不计，若人沿转台跑一圈，问：相对地面来说，人和转台各转了多少度？解：人与转台组成的系统角动量守恒解：人与转台组成的系统角动量守恒 =JJ022,21mRJMRJ=JJ=Mm2=Mm2xx t=0t=Mm2=TTtMmt00d2d Mm2=2mMM22+=+=mMm24+=+=2.4 2.4 定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能Work and Energy in Rotational MotionWork and Energy in Rotational Motion2.4.1 力矩的功与功率力矩的功与功率rFWvvdd=rFvdcos=rvd dcosrF=o90=+=+dsinrF=dM=M:力对转轴的力矩力对转轴的力矩 ddMW=d 轴轴 OFvrv 有限角位移的功：有限角位移的功：=21d MW力矩的空间积累有限角位移的功：力矩的空间积累有限角位移的功：=21d MW力矩的功率：力矩的功率：tWPdd=tMdd=MP=2.4.2 定轴转动动能定理定轴转动动能定理1.转动动能转动动能 Kinetic Energy of Rotation JM=tJdd=ddJ=ddMW=dJ=dMW=21dJ21222121JJ=定义：定义：2K21 JE=刚体的转动动能刚体的转动动能tJdddd=1K2KEEW=外外合外力矩合外力矩对刚体的功等于刚体转动动能的增量对刚体的功等于刚体转动动能的增量2.动能定理动能定理 iiim221v=iiiRm2221 2221=iiiRm2K21 JE=(定轴转动刚体的转动动能定轴转动刚体的转动动能)转动动能转动动能?对非定轴转动的刚体不成立（一般质点系）对非定轴转动的刚体不成立（一般质点系）1K2KEEWW=+内外内外?注意它与质点系动能定理的区别注意它与质点系动能定理的区别2.4.3 定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立刚体重力势能：若只有保守内力做功，则机械能为常量定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立刚体重力势能：若只有保守内力做功，则机械能为常量.=iighmEP=mhmmgiiCPmghE=W外外 W内非内非(Ek2+Ep2)(Ek1+Ep1)ChChiEp=0 mim例例:均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为，长为 l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑,且且 AO=l/4。求：杆下摆到。求：杆下摆到 角处时的角速度角处时的角速度 和轴对杆的作用力。解：杆和地球组成的系统只有重力做功，故机械能守恒初态：和轴对杆的作用力。解：杆和地球组成的系统只有重力做功，故机械能守恒初态：Ek1 1=0，令，令 EP1=0末态：末态：ABO轴轴 C由平行轴定理由平行轴定理2CmdJJO+=+=22)41(121lmml+=+=2487ml=lg7sin62=sin42plmgE=0sin4212=lmgJO2k212OEJ=l/4 应用质心运动定理：应用质心运动定理：CamgmNvvv=+=+lv向向llmaNmgCsin=+ttmaNmgCcos=+tv向向2C4 lal=sin76g=CONvNlNtmg alatlg7sin62=4Clat=OJM=cos4mglM=7cos3 g=sin76Cgal=2487mlJO=lg7cos12 =CONvNlNtmg alatlg7sin62=llmaNmgCsin=+ttmaNmgCcos=+4Clat=sin713mgNl=cos74mgNt=lmgNsin713=vtmgcos74 llmaNmgCsin=+ttmaNmgCcos=+)cot134(tantan11=ltNN16sin15372+=+=mgN7cos3C gat=sin76Cgal=质点刚体定轴转动质点刚体定轴转动trddvv=vtdd=taddvvv=22ddtrv=tddvv=22ddddtt=m=VmrJd2对比质点的运动与刚体的定轴转动对比质点的运动与刚体的定轴转动amFvv=vvJM=vvvmp=iiimpvvvprLvvv=vvJL=质点刚体定轴转动质点刚体定轴转动tpFddvv=tmd)(dvv=tLMddvv=tJd)(d v=动量守恒合外力为零，动量守恒角动量守恒合外力矩为零，角动量守恒动量守恒合外力为零，动量守恒角动量守恒合外力矩为零，角动量守恒对比质点的运动与刚体的定轴转动对比质点的运动与刚体的定轴转动sFrFWsddd=vv ddMW=2k21vmE=2k21 JE=K 2K 1WEE=外外质点刚体定轴转动质点刚体定轴转动对比质点的运动与刚体的定轴转动对比质点的运动与刚体的定轴转动1K2KEEWW=+=+内外内外2.5 滚动滚动转动转动滚动滚动CvrCvr=+平动转动轴运动，但是在空间的指向不变。动能平动转动轴运动，但是在空间的指向不变。动能2C2CK2121vMJE+=+=CCC JM=外外M：物体的总质量物体的总质量vC：质心的线速度质心的线速度JC：对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量：对这个轴的角速度对这个轴的角速度无滑动的滚动无滑动的滚动s=R vC=R aC=R v=0v2v例：一个实心球从斜面上高例：一个实心球从斜面上高H 处沿斜面无滑动地滚下，求它到达斜面底部时的速率。已知这个实心球的质量为处沿斜面无滑动地滚下，求它到达斜面底部时的速率。已知这个实心球的质量为M、半径为、半径为R0。解：解：nFMgf实心球与地球组成的系统机械能守恒实心球与地球组成的系统机械能守恒2C2C2121 JMMgH+=+=v球滚动中不打滑，故球滚动中不打滑，故vC=R0 20C52MRJ=gH710C=v解得：解得：2p2C2C1p2121EJME+=+=v2CC/1sinMRJga+=+=RaC=球滚动中不打滑，故球滚动中不打滑，故;0cos=MgFNsinMaCFMgfr=CJRFfr=C2fr/1sinJMRMgF+=+=对于球对于球,522CMRJ=sin75Cga=sin72frMgF=对于球对于球 sin75Cga=ac与球的质量与半径无关与球的质量与半径无关!sin72frMgF=Nsfrsin72FMgF=cossMg=s27tan 因为不打滑因为不打滑若斜面倾角的正切值大于若斜面倾角的正切值大于 7 s/2,球滚动时会打滑球滚动时会打滑WhoWho s faster?s faster?2CC/1sinMRJga+=+=球球,522CMRJ=sin75Cga=圆柱圆柱,212CMRJ=sin32Cga=圆环圆环,2CMRJ=sin21Cga=例：掷保龄球。保龄球在刚与地面接触时例：掷保龄球。保龄球在刚与地面接触时(t=0)以速率以速率v0平动。随后开始滚动。设球的质量为平动。随后开始滚动。设球的质量为M，半径为，半径为R，与地面间的动摩擦系数为，与地面间的动摩擦系数为 k，且沿直线运动。求：与地面接触多长时间后，保龄球可以无滑动地滚动？解：，且沿直线运动。求：与地面接触多长时间后，保龄球可以无滑动地滚动？解：MgMaxk=gaxk =tax+=+=0Cvvgtk0 =v对于平动，由牛顿第二定律对于转动对于平动，由牛顿第二定律对于转动CCk JMgR=C252 MR=vCRg25kC =tC0C +=Rgt25k=不打滑条件不打滑条件vC=R Cgtk0 vRgtR25k=gtk072 v=vC滚动的球是如何减速的？滚动的球是如何减速的？考虑平动考虑平动Fr减速考虑转动加速放弃刚体模型减速考虑转动加速放弃刚体模型mgFNf arC若卡车和箱子静止于水平地面上，摩擦力为零，重力和支持力的作用线过质心若卡车向右加速运动，箱子相对卡车静止支持力的作用线不通过质心，箱子受到的对质心的合力矩为零。若卡车和箱子静止于水平地面上，摩擦力为零，重力和支持力的作用线过质心若卡车向右加速运动，箱子相对卡车静止支持力的作用线不通过质心，箱子受到的对质心的合力矩为零。2.6 2.6 进动进动进动进动（Precession)Precession)一、进动现象高速自旋物体的轴在空间转动的现象。一、进动现象高速自旋物体的轴在空间转动的现象。抽陀螺抽陀螺LrmgtMLddrr=二、进动现象的解释二、进动现象的解释LrLrdLLrrd+OMOLr俯视图俯视图 LrmgtMLddrr=LrLrdLLrrd+OMd LLdd=LtMd=进动角速度进动角速度 LMt=dd进动角速度进动角速度LMt=ddLrLrdLLrrd+d 不不“屈服屈服”于外力矩作用，稳定对称轴的方向。于外力矩作用，稳定对称轴的方向。(),zJL高速(高速()情况取近似:)情况取近似:LJLzOrrr=LrmgOMz炮 弹炮 弹fr 炮筒内壁上的来复线炮筒内壁上的来复线陀 螺陀 螺 O vvJL=Lv自旋角动量自旋角动量 v进动角速度进动角速度tdd 变化：章动（忽略）变化：章动（忽略）mg地 球 的 进 动岁 差地 球 的 进 动岁 差赤道平面赤道平面太阳太阳黄道平面黄道平面7223o 地球地球北天极地轴北天极地轴地球自转角动量地球自转角动量Lr F1F2(F1F2)Mr地球自转轴旋进地球自转轴旋进随着地球自转轴的旋进，北天极不断改变。随着地球自转轴的旋进，北天极不断改变。北极星北极星3000年前年前小熊座小熊座 现在现在小熊座小熊座 12000年后年后天琴座天琴座（织女）（织女）T=25800年年黄道面赤道面北半球黄道面赤道面北半球南半球南半球地轴地轴旋进旋进旋进周期旋进周期25800年年秋分点春分点秋分点春分点 太阳太阳东东西分点每年在黄道上西分点每年在黄道上西行西行50.2 太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差=恒星年-太阳年=太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差=恒星年-太阳年=20分分23秒钟秒钟岁差岁差（precession）我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年）前汉（公元前206 每50年差1度（约72/年）前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。晋朝（公元265 23）刘歆发现岁差。晋朝（公元265 316）虞喜最先确定了岁差：391年有144个闰月祖冲之（公元429 316）虞喜最先确定了岁差：391年有144个闰月祖冲之（公元429 500）编大明历最先将岁差引入历法500）编大明历最先将岁差引入历法（精确值为精确值为 50.2/年）年）第二章第二章第二章第二章刚体力学刚体力学刚体力学刚体力学2.1 刚体的运动刚体的运动2.2 刚体定轴转动定律及其应用刚体定轴转动定律及其应用2.3 对于定轴转动的角动量守恒对于定轴转动的角动量守恒2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能2.5 滚动滚动2.6 进动进动力 学 部 分 结 束！力 学 部 分 结 束！
