线性代数线性代数线性代数 (18).pdf

18 Cramer法则及行列式的几法则及行列式的几何意义何意义 18.1 引言引言 这次课我们考虑行列式的几个应用.我们需要以下定理.定理：行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 18.1 引言引言 理解：18.1 引言引言 综合定理及推论得“代数余子式的重要性质”：例：设 计算 18.1 引言引言 例：设 求 和 分析：注意到第二、第四行元素的特点，利用行列式按某行展开定理的推论，将 与 分别看成整体，列方程组求解.解：18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 设 可逆，构造如下矩阵，称为 的伴随矩阵(adjoint of ).的代数余子式矩阵.18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 例：18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 定理：设 可逆，则 上例：18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 证明：其中，18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 由引言中定理，故 18.2.1 求逆矩阵公式求逆矩阵公式 例：若 是一个 阶阵，求 的秩的可能性.解：故 的列属于 的零空间.而 ，且存在 故 的任意 阶子矩阵不可逆.18.2.2 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 设 为可逆方阵，我们来学习 的解的公式.写成行列式的形式(难于记忆)18.2.2 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 一般地，不使用行列式，公式将非常复杂.定理(Cramers rule)：设 可逆，如上，令 是将 的第 列换成向量 后的矩阵.则 的唯一解为 18.2.2 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 例：解：18.2.2 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 定理的证明：可逆，的唯一解是 18.2.2 线性方程组的公式解线性方程组的公式解 考虑矩阵 则 的行列式可沿着第 列展开，的代数余子式恰好是 即 因此 18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 考虑右图平行四边形 的面积为 方向：或 取决于向量 逆(顺)时针转到 的有向面积 18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 三维情形：一个三阶矩阵 的行列式 围成的平行六面体的有向体积.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 特别地，若 在 平面上，则我们有如下推论.推论：平面 上三点 围成三角形的面积为 18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 证明：令 为 张成平行四边形面积.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 特别地，若 和 所在平面垂直，则可以通过行列式计算 围成平行四边形的面积.设 线性无关.求一个向量 使得 18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 设 则 即 令 则 无关，可逆.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 其中，18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 于是我们有 平行四边形面积 平行六面体的体积(高 )号：的选取有两种可能.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 定义：给定两个向量 是一个 和 均垂直的向量，且 形成一个右手系，等于 围成的平行四边形的面积.称 为 和 的叉积(cross product)或外积(exterior product).18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 定理：记作 是 轴上单位向量.性质：1.2.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 例：验证 例：18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 注：的三个坐标是 和 在三个坐标平面上的投影向量形成的平行四边形的面积.例如 是在 平面上的投影面积.定义：给定三个向量 它们 的混合积或三重积(triple product)定义为 即 和 的点积.18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 定理：实际上，18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 推论一：推论二：形成平行六面体的有向体积.在一个平面上 推论三：1.过两点 的直线方程为 2.过三点 的平面方程为 18.3 计算有向长度、面积和体积计算有向长度、面积和体积 推论三的证明：1.共线 共面.2.在 所在平面 共面.18.4 和和QR分解的联系分解的联系 设 可逆.Gram-Schmidt正交化给出 是 的长度.是平行四边形关于底 上的高.是平行六面体在 形成的底上的高.平行六面体体积绝对值.18.4 和和QR分解的联系分解的联系 给定 前面我们使用外积计算了 形成的平行四边形的面积.这里我们使用 分解.令 设 线性无关(列满秩).高 定理：