高中数学新课程创新教学设计案例--两角和与差的正弦9369.docx

42 两角和与差的正弦 教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式通过诱导公式sin（） sin，sin（ ）cos（为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（）（）cos（），sin（）（）cos（）.借助于C+和C-即可推导出公式S+和S-C+，C-，S+和S-四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角，的正、余弦形式不同点为公式S+，S-两边的运算符号相同，C+与C-两边的运算符号相反S+与S-中右边是两单角异名三角函数的乘积，而C-与C+的右边是两单角同名三角函数的乘积任务分析这节课计划划采用启启发引导导和讲练练结合的的教学方方式，对对三角函函数中的的每一个个公式要要求学生生会推导导，会使使用，要要求不但但掌握公公式的原原形，还还应掌握握它们的的变形公公式，会会把“aasinnbbcoss”类类型的三三角函数数化成一一个角的的三角函函数在在课堂教教学中，将将采用循循序渐进进的原则则，设计计有一定定梯度的的题目，以以利于培培养学生生通过观观察、类类比的方方法去分分析问题题和解决决问题的的能力，培培养学生生良好的的思维习习惯在在教学中中，及时时提醒学学生分析析、探索索、化归归、换元元、类比比等常用用的基本本方法在在三角变变换中的的作用这节课课的重点点是准确确、熟练练、灵活活地运用用两角和和差的正正、余弦弦公式进进行三角角函数式式的求值值、化简简和证明明，难点点是公式式的变形形使用和和逆向使使用教学目标1. 能用用两角差差的余弦弦公式导导出两角角和的余余弦公式式，两角角和差的的正弦公公式，并并了解各各个公式式之间的的内在联联系2. 能运运用两角角和差的的正、余余弦公式式进行三三角函数数式的化化简、求求值和证证明3. 通过过公式的的推导过过程，培培养学生生的逻辑辑思维能能力，同同时渗透透数学中中常用的的换元、整整体代换换等思想想方法教学过程一、问题情情景如图42-1，为为了保持持在道路路拐弯处处的电线线杆OBB的稳固固性，要要加一根根固定钢钢丝绳，要要求钢丝丝绳与地地面成775°角角已知知电线杆杆的高度度为5mm，问：至少要要准备多多长的钢钢丝绳？设电线杆与与地面接接触点为为B，顶顶端为OO，钢丝丝绳与地地面接触触点为AA在RtAAOB中中，如果能求出出sinn75°°的值，那那么即可可求出钢钢丝绳的的长度75°°角可表表示成两两个特殊殊角455°与330°的的和，那那么siin755°的值值能否用用这两特特殊角的的三角函函数值来来表示呢呢？二、建立模模型1. 探究已知coss（）cosscoossinnsiin，则则sinn（），ssin（）中中的角及及函数名名与coos（）和和coss（）有有何关系系？通过诱导公公式可实实现正、余余弦函数数的转换换，即ssin（）推导以上公公式的方方法并不不是唯一一的，其其他推导导方法由由学生课课后自己己探索3. 分析析公式的的结构特特征S+与与S-中两两边的加加减运算算符号相相同，右右边为与角角的异名名三角函函数的乘乘积应应特别注注意公式式两边符符号的差差异三、解释应应用例题一已知sinn，且为第四四象限角角，求ssin（）cos（）的值分析：本题题主要训训练公式式S-与SS+的使用用由sin及及为第第四象限限角，可可求出ccos，再再代入公公式求值值练习一分析：1. （11）强调调公式的的直接运运用，寻寻找所求求角与已已知角之之间的关关系，（330°）30°°，再利利用已知知条件求求出coos（330°）2. 应注注意三角角形的内内角之间间的关系系，C（AAB），再再由诱导导公式ccos（）coos，要要求coos即即转化为为求ccos（AAB）3. 应注注意分析析角之间间的关系系，2（）（），因因此，求求coss2还还应求出出sinn（）和和coss（）解此题题时，先先把与看看成单角角，然后后把2用这两两个单角角来表示示4. 该题题是在已已有知识识的基础础上进一一步深化化，引导导学生分分三步进进行：（11）求出出角的某某个三角角函数值值（22）确定定角的范范围（33）确定定角的值值其中中，求的的某个三三角函数数值时，应应分清是是求coos（）还还是求ssin（）已知向量（3，44），若若将其绕绕原点旋旋转455°到的位位置，求求点P（x，y）的坐坐标解：设OP，OPP55，cos，siinx55coss（45°°）55（coosccos445°sinnsiin455°），y5ssin（455°）5（ssincoss45°°coosssin445°），P ，已知向量（4，33），若若将其绕绕原点旋旋转600°，1355°到11，2的位置置，求点点P1，P2的坐标标例题三求下列函数数的最大大值和最最小值（1）ycossssinxx（2）y3siinx4coosx（3）yasiinxbcoosx，（）注：（1），（22）为一一般性问问题，是是为（33）作铺铺垫，推推导时，要要关注解解题过程程，以便便让学生生充分理理解辅助助角满满足的条条件（3）解：考查以以（，）为坐坐标的点点P（，），设设以OPP为终边边的一个个角为，则练习三求下列函数数的最大大值和最最小值（1）ycossxssinxx（2）ysinnxssin（xx）（3）已知知两个电电流瞬时时值函数数式分别别是I11122sinn（tt455°），II2100sinn（tt300°），求求合成的的正弦波波III1I2的函数数式四、拓展延延伸出示两道延延伸性问问题，引引导学生生独立思思考，然然后师生生共同解解决1. 已知知三个电电流瞬时时值的函函数式分分别为II15ssint，II26ssin（t660°），II3100sinn（tt600°），求求它们合合成后的的电流瞬瞬时值的的函数式式III1I2I3，并指指出这个个函数的的振幅、初初相和周周期2. 已知知点P（xx，y），与与原点的的距离保保持不变变绕原点点旋转角到点点P（xx，yy）（如如图422-2），求求证：点评这篇案例设设计完整整，思路路清晰案例首首先通过过问题情情景阐述述了两角角和、差差正弦公公式产生生的背景景，然后后引导学学生体会会公式的的形成过过程，进进一步理理解和分分析化归归、换元元、类比比等数学学常用思思想方法法在三角角变换中中的作用用例题题的设计计由浅入入深，完完整，全全面“拓拓展延伸伸”的设设计有新新意，有有一定深深度，为为学生的的数学思思维能力力和创造造力的培培养提供供了平台台整篇案例紧紧紧围绕绕S+的推推导和应应用，内内容充实实，环节节紧凑，关关注及时时的巩固固和深化化，同时时，注意意拓展延延伸的难难度和思思维深度度应该该说，这这是一篇篇比较成成功的教教学设计计案例值得推推敲的是是，“问问题情景景”似乎乎有些牵牵强