期权定价中的蒙特卡洛模拟方法11543.docx

期权定价价中的蒙蒙特卡洛洛模拟方方法期权作为为最基础础的金融融衍生产产品之一一，为其其定价一一直是金金融工程程的重要要研究领领域，主主要使用用的定价价方法有有偏微分分方程法法、鞅方法法和数值方法法。而数数值方法法又包括括了二叉叉树方法法、有限限差分法法和蒙特特卡洛模模拟方法法。蒙特卡洛洛方法的的理论基基础是概概率论与与数理统统计，其其实质是是通过模模拟标的的资产价价格路径径预测期期权的平平均回报报并得到到期权价价格估计计值。蒙蒙特卡洛洛方法的的最大优优势是误误差收敛敛率不依依赖于问问题的维维数，从从而非常常适宜为为高维期期权定价价。§1. 预备知知识两个重重要的定定理：柯柯尔莫哥哥洛夫(Kollmoggoroov)强强大数定定律和莱莱维一林林德贝格格(Leevy-Linndebbergg)中心心极限定定理。大数定律律是概率率论中用用以说明明大量随随机现象象平均结结果稳定定性的一一系列极极限定律律。在蒙蒙特卡洛洛方法中中用到的的是随机机变量序序列同分分布的KKolmmogoorovv强大数数定律：设为独立立同分布布的随机机变量序序列，若若则有显然，若若是由同同一总体体中得到到的抽样样，那么么由此大大数定律律可知样样本均值值当n很大时时以概率率1收敛于于总体均均值。中心极限限定理是是研究随随机变量量之和的的极限分分布在何何种情形形下是正正态的，并并由此应应用正态态分布的的良好性性质解决决实际问问题。设为独立立同分布布的随机机变量序序列，若若则有其等价形形式为。Blaack-Schholees期权权定价模模型模型的假假设条件件：1、标的的证券的的价格遵遵循几何何布朗运运动其中，标标的资产产的价格格是时间的函函数，为标的的资产的的瞬时期望望收益率，为标标的资产产的波动动率，是是维纳过过程。2、证券券允许卖卖空、证证券交易易连续和和证券高高度可分分。3、不考考虑交易易费用或或税收等等交易成成本。4、在衍衍生证券券的存续续期内不不支付红红利。5、市场场上不存存在无风风险的套套利机会会。6、无风风险利率率为一个个固定的的常数。下面，通通过构造造标的资资产与期期权的资资产组合合并根据据无套利利定价原原理建立立期权定定价模型型。首先先，为了了得到期期权的微微分形式式，先介介绍随机机微积分分中的最最重要的的伊藤公公式。伊藤Itto公式式：设，是二元元可微函函数，若若随机过过程满足足如下的的随机微微分方程程则有根据伊藤藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造造无风险险资产组组合，即有，经经整理后后得到这个表达达式就是是表示期期权价格格变化的的Blaack-Schholees偏微分方方程。它它同时适适合欧式式看涨期期权、欧欧式看跌跌期权、美美式看涨涨期权和和美式看看跌期权权，只是是它们的的终值条条件和边边界条件件不同，其其价值也也不相同同。欧式看涨涨期权的的终边值值条件分分别为，通过求解解带有终终边值条条件的偏偏微分方方程，得得出欧式式看涨期期权的的的解析解解：其中，为期权权的执行行日期，为期权的执行价格。欧式看跌跌期权的的终边值值条件分分别为，此外，美美式看涨涨期权的的终值条条件为，美美式看跌跌期权的的终值条条件为。然然而，美美式期权权的价值值没有解解析解，我我们一般般可通过过数值方方法（蒙蒙特卡洛洛模拟、有有限差分分法等）求求得其近近似解。风险中中性期权权定价模模型如果期权权的标的的资产价价格服从从几何布布朗运动动即标的资资产的瞬瞬时期望望收益率取为无无风险利利率。同同理，根根据伊藤藤公式可可以得到到对数正态态分布的的概率密密度函数数：设，则的密密度函数数为根据上述述公式，得得到标的的资产的的密度函函数如下下在风险中中性概率率测度下下，欧式式看涨期期权定价价为：接下来，求求解以上上风险中中性期望望。首先先，对上上式的右右边第一一个广义义积分分分别作变变量替换换和，可以以得到再对等式式的右边边的第二二个无穷穷积分，令令，可求得得将以上的的计算结结果代入入期望等等式中，得得到欧式式看涨期期权的价价格公式式为：其中，。可以看出出，对于于欧式看看涨期权权的风险险中性定定价方法法的结果果与基于于资产复复制的偏偏微分方方程定价价方法的的结果是是一致的的。基于于风险中中性的期期权定价价原理在在于：任任何资产产在风险险中性概概率测度度下，对对于持有有者来说说都是风风险偏好好中性的的，便可可用风险险中性概概率求取取期权的的期望回回报再将将其进行行无风险险折现便便是初始始时刻的的期权价价值。蒙蒙特卡洛洛模拟方方法就是是一种基基于风险险中性原原理的期期权数值值定价方方法。§2. 蒙特卡卡洛模拟拟方法及及其效率率假设所求求量是随随机变量量的数学学期望，那那么近似似确定的的蒙特卡卡洛方法法是对进进行n次重复复抽样，产产生独立立同分布布的随机机变量序序列，并并计算样样本均值值。那么根根据Koolmoogorrov强强大数定定律有。因此，当当n充分大大时，可可用作为为所求量量的估计计值。由中心极极限定理理可得到到估计的的误差。设设随机变变量的方方差，对于于标准正正态分布布的上分分位数，有有这表明，置置信水平平对应的的渐近置置信区间间是。实际上上，由此此可确定定蒙特卡卡洛方法法的概率率化误差差边界，其其误差为为，误差差收敛速速度是。不难看出出，蒙特特卡洛方方法的误误差是由由和决定的的。在对对同一个个进行抽抽样的前前提下，若若想将精精度提高高一位数数字，要要么固定定，将n增大1000倍；要么固固定n将减小100倍。若若两个随随机变量量的数学学期望，那么么无论从从或中抽样样均可得得到的蒙蒙特卡洛洛估计值值。比较较其误差差，设获获得的一一个抽样样所需的的机时为为，那么么在时间间T内生成成的抽样样数，若若使，则则需使。因因而，若若要提高高蒙特卡卡罗方法法的效率率，不能能单纯考考虑增加加模拟的的次数nn或是减减小方差差，应当当在减小小方差的的同时兼兼顾抽取取一个样样本所耗耗费的机机时，使使方差与与机时tt的乘积积尽量的的小。§3. 蒙特卡卡洛模拟拟方法为为期权定定价的实实现步骤骤期权定价价的蒙特特卡洛方方法的理理论依据据是风险险中性定定价原理理：在风风险中性性测度下下，期权权价格能能够表示示为其到到期回报报的贴现现的期望望值，即即，其中中的表示示风险中中性期望望，r为无风风险利率率，T为期权权的到期期执行时时刻，是是关于标标的资产产价格路路径的预预期收益益。由此可知知，计算算期权价价格即就就是计算算一个期期望值，蒙蒙特卡洛洛方法便便是用于于估计期期望值，因因此可以以得到期期权定价价的蒙特特卡洛方方法。一一般地，期期权定价价的蒙特特卡洛模模拟方法法包含以以下几步步（以欧欧式看涨涨期权为为例）:(l)在在风险中中性测度度下模拟拟标的资资产的价价格路径径将时间区区间分成成n个子区区间，标标的资产产价格过过程的离离散形式式是，(2)计计算在这这条路径径下期权权的到期期回报，并并根据无无风险利利率求得得回报的的贴现(3)重重复前两两步，得得到大量量期权回回报贴现现值的抽抽样样本本(4)求求样本均均值，得得到期权权价格的的蒙特卡卡洛模拟拟值另外，我我们还可可以得到到蒙特卡卡洛模拟拟值与真真值的概概率化误误差边界界，这也也是蒙特特卡洛方方法为期期权定价价的优势势之一。由于，mm条路径径的收益益均值为为，m条路径径的方差差为，则则可得95%的置信信区间为为。例1：假假设无红红利的股股票A，初始始价格为为￥6，价格格过程服服从几何何布朗运运动，年年预期收收益率为为10%，收益益率的波波动率为为每年225%，时时间步长长为0.01年年（1年为1000时间间步），给给定数据据，以以及1000，用蒙蒙特卡洛洛方法模模拟资产产的价格格路径如如下：（1）（2）图（1）蒙蒙特卡洛洛方法模模拟股票票A价格路路径，图图（2）蒙特特卡洛方方法模拟拟股票BB价格路路径。若无红利利的股票票B、C、D，其价价格均为为￥6，股票票B的期望望收益率率为0.1，波波动率为为0.66；股票票C的期望望收益率率为0.5，波波动率为为0.225；股股票D的期望望收益率率为0.5，波波动率为为0.66，分别别用蒙特特卡洛方方法模拟拟该三种种股票在在一年内内的价格格路径如如下：（3）（4）图（3）蒙蒙特卡洛洛方法模模拟股票票C价格路路径，图图（4）蒙特特卡洛方方法模拟拟股票DD价格路路径。从图中可可以看出出，股票票C和股票票D的价格格上升速速度较快快，而股股票B和股票票D的价格格波动比比较大。这这是与股股票C和股票票D价格的的期望收收益率较较高，股股票B和股票票D价格的的波动率率较高相相对应的的。欧式看涨涨期权，通通过Bllackk-Sccholles公公式计算算得的精精确值为为，蒙特特卡洛模模拟的价价格为，其其蒙特卡卡洛模拟拟图如下下：（5）上述同样样的条件件，路径径由1000逐渐渐增加到到100000000条，对对应地分分别得到到的期权权价值的的模拟值值和置信信区间，结结果如下下表所示示：各种路径径下蒙特特卡洛方方法模拟拟的955%置信信区间N模拟值置信区间间1004.311464.001122,4.618805004.222624.009622,4.35663100004.222134.112877,4.31339200004.166334.009844,4.22881500004.166954.112800,4.211111000004.177874.114900,4.208835000004.199604.118266,4.2099410000004.188864.117911,4.198801000000004.199144.118844,4.19444§4. 蒙特卡卡洛模拟拟方法为为我国权权证定价价权证是一一种合同同，权证证投资者者在约定定时间内内有权按按约定价价格向发发行人购购入或者者出售合合同规定定的标的的证券。权权证发行行人可以以是标的的证券的的发行人人或其之之外的第第三方。权权证主要要具有价价格发现现和风险险管理的的功能，它它是一种种有效的的风险管管理和资资源配置置工具。现选取我我国认股股权证中中的五粮粮YGCC1、马马钢CWWB1、伊伊利CWBB1为例例，以220066年的价价格作为为样本区区间模拟拟认股权权证的价价值，并并将这些些权证的的蒙特卡卡洛模拟拟价值和和由wiind数数据库给给出的理理论值进进行比较较。本例例采用一一年期短短期利率率2.552%作作为无风风险利率率，用这这些权证证的正股股股票价价格序列列来计算算波动率率。现实中用用等时间间间隔观观测股票票价格序序列，股股票投资资的连续续复利收收益率，（），则则的样本本标准差差。如果果用日数数据计算算波动率率，则年年度波动动率按下下式计算算：年度波动动率日日波动率率*（每年年的交易易日数）1/2将时间区区间取为为20006年12月1日20006年年12月29日，则则由蒙特特卡洛方方法模拟拟的认股股权证价价格与BBlacck-SSchooless模型的的精确值值和市场场价格比比较的结结果如下下：蒙特卡洛洛方法对对五粮YYGC11认股权权证的模模拟（）日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值12-1110.116410.00669.822112-11812.110013.552413.335112-4410.112010.335710.112112-11912.008013.557413.440112-559.888010.663010.440112-22012.221013.777113.660112-669.399510.338610.115112-22111.990013.337613.220112-779.14479.99989.755112-22211.442012.668712.550112-889.05509.78859.533112-22512.003813.774213.557112-1119.85509.22258.955112-22611.997813.440613.223112-1129.822510.660010.337112-22713.000114.336414.220112-1139.766610.226010.002112-22813.005014.661214.445112-11410.558911.333211.112112-22914.550016.119816.005112-11510.884912.002811.8831蒙特卡洛洛方法对对马钢CCWB11认股权权证的模模拟（）日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值12-111.14431.24440.566912-1181.77751.70091.055212-441.20091.18880.511712-1191.80031.70091.055212-551.24411.22230.544912-2201.73301.75561.100312-661.34491.22230.544912-2211.64411.70091.055212-771.63331.41160.744312-2221.70001.54420.777812-881.75501.61180.955212-2251.70071.45530.844812-1111.91191.41160.744312-2261.83351.52201.055212-1121.87741.61180.955212-2271.77761.70091.055212-1131.79941.74481.099412-2281.64441.81111.166312-1141.79941.63330.966912-2291.70081.74481.099412-1151.83301.63330.9669蒙特卡洛洛方法对对伊利CCWB11认股权权证的模模拟（）日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值日期实际值蒙特卡洛洛模拟值值理论值12-1113.332413.553312.662912-11814.776014.881813.998812-4413.225013.994713.006912-11915.447915.554114.774812-5513.229613.995713.007912-22015.448716.663015.888812-6612.991113.995713.007912-22115.559416.444915.669812-7712.885313.228812.336912-22215.116816.557315.882812-8812.773412.776311.880912-22516.661615.881715.003812-11112.992012.557611.660912-22616.661917.775417.005812-11214.005912.994111.999912-22717.667317.887917.118812-11313.552814.110813.223912-22817.667319.772619.009812-11414.228113.881512.992912-22917.667319.772619.009812-11514.334914.661913.7778从表可看看出，由由蒙特卡卡洛方法法模拟的的认购权权证价格格的模拟拟值比由由Blaack-Schholees公式式计算的的理论值值更接近近实际值值。为了了更直观观的比较较，由蒙蒙特卡洛洛方法模模拟的认认股权证证价格与与Blaack-Schholees模型型的精确确值和市市场价格格比较的的结果如如下图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。五粮YGGC1价价格模拟拟比较图图马钢CWWB1价价格模拟拟比较图图伊利CWWB1价价格模拟拟比较图图从图中明明显看出出，五粮粮YGCC1和伊伊利CWWB1的的模拟结结果比较较好，蒙蒙特卡洛洛模拟值值和Bllackk-Sccholles模模型的理理论值均均与实际际值吻合合；而马马钢CWWB1的的实证结结果不理理想，但但是三种种结果的的走势图图有共同同的趋势势。从比比较分析析中发现现蒙特卡卡洛方法法模拟的的价格比比Blaack-Schholees模型型更接近近实际价价格。对对于这些些认股权权证价格格的模拟拟结果的的好坏，受受诸多因因素影响响，主要要与选取取的波动动率和中中国权证证市场的的发展特特点有关关等等。隐含波波动率及及其数值值计算方方法隐含波动动率是一一个在市市场上无无法观察察到的波波动率，是是通过BBlacck-SSchooless期权定定价公式式计算出出来的波波动率。由由于我们们无法给给出它的的解析解解，因此此，只能能借助于于数值计计算给出出近似解解。下面面介绍牛牛顿迭代代法计算算隐含波波动率。牛顿迭代代法是牛牛顿在117世纪纪提出的的一种在在实数域域上近似似求解方方程根的的方法。步骤1. 将函函数在点点附近展展开成泰泰勒级数数步骤2. 取泰泰勒级数数的前两两项作为为假设，求求解方程程，并令令其解为为，得，这这样得到到迭代公公式，经经过n次迭代代后，可可以求出出的近似似解。根据牛顿顿迭代法法，隐含含波动率率的计算算步骤如如下：1. 假假设其他他变量保保持不变变，认为为函数是隐含波波动率的的一元函函数，其其中的是是市场上上观察到到的期权权价格。2. 求求函数的的导数3. 由由迭代公公式计算算波动率率，直至至（是期望望达到的的精度）。此外，为为了计算算隐含波波动率，经经济学家家和理财财专家曾曾做过种种种努力力试图寻寻找一个个计算波波动率的的公式。如如Breenneer和Subbrahhmannyamm于19888年，Chhancce于19993年分分别提出出计算隐隐含波动动率的公公式，虽虽然这些些公式对对于持有有平价期期权的波波动率的的计算还还算准确确，但是是基础资资产的价价格一旦旦偏离期期权的执执行价格格的现值值，其准准确性就就会丧失失。19996年年，Coorraado和和Milllerr在前人人研究的的基础上上建立了了如下公公式，大大大提高高了隐含含波动率率的计算算的准确确性：§5 最最小二乘乘蒙特卡卡洛模拟拟与美式式期权定定价运用最小小二乘蒙蒙特卡洛洛模拟方方法为美美式期权权定价的的基本原原理与蒙蒙特卡洛洛模拟方方法基本本相同，并并且用最最小二乘乘回归同同时还可可解决各各样本时时点上继继续持有有期权价价值的确确定和各各样本路路径的最最优停时时的确定定。其基基本思路路是：在在期权的的有效期期内，将将其标的的资产价价格过程程离散化化，随机机模拟出出标的资资产价格格的多条条样本路路径，从从而得到到每个时时刻资产产价格的的截面数数据。选选取以某某时刻资资产价格格为变量量的一组组基函数数作为解解释变量量，下一一时刻期期权价值值的贴现现值作为为被解释释变量，进进行最小小二乘法法回归求求得该时时刻期权权的持有有价值，并并与该时时刻期权权的内在在价值作作比较，若若后者较较大，则则应该立立即执行行期权，否否则，就就应继续续持有期期权。最小二乘乘蒙特卡卡洛模拟拟方法定定价的基基本实现现步骤：首先，随随机生成成标的资资产价格格的多条条样本路路径；然然后，从从到期时时刻逆向向求解，比比较期权权的内在在价值与与持有价价值，确确定出各各时刻期期权价值值和每条条样本路路径的最最优停时时；最后后，将所所有样本本的的期期权价值值求取按按无风险险利率贴贴现的算算数平均均值便是是模拟的的期权价价值。下面，我我们运用用最小二二乘蒙特特卡洛模模拟方法法对单个个标的资资产的美美式看跌跌期权进进行定价价，其算算法实现现步骤如如下：第一步：随机生生成标的的资产价价格过程程的多条条样本路路径现设一单单个标的的资产美美式看跌跌期权的的持有到到期日为为，期权权的执行行时刻为为，标的的资产价价格为，期期权的执执行价格格为。在在风险中中性条件件下，该该期权的的初始时时刻价值值为：其中，为为标的资资产价格格的路径径，是在在最优执执行时刻刻的期权权价值。上上式定义义的便是是将要运运用最小小二乘蒙蒙特卡洛洛方法进进行模拟拟的期权权价值。将期权的的存续区区间均分分为个子子区间，则则每个子子区间的的长度为为，标的的资产价价格过程程的离散散形式：其中，随随机变量量服从标标准正态态分布。因因此，利利用生成成随机数数模拟得得到标的的资产价价格的一一条样本本路径，重重复执行行次模拟拟，我们们可得到到资产价价格的总总样本。第二步：计算各各个样本本的最优优停时及及各时刻刻的期权权价值对于美式式看跌期期权，在在期权的的有效时时刻，样样本路径径上的内内在价值值为，持持有价值值为。由由于美式式期权在在有效期期的任何何时候都都可行权权，所以以必须比比较该时时刻期权权的内在在价值与与持有价价值的大大小，以以确定该该时刻的的期权价价值以及及是否执执行期权权，即由期权的的持有价价值表达达式可知知它依赖赖于下一一步期权权决策的的价值，需需通过逆逆向求解解这个期期望价值值，这正正是普通通的蒙特特卡洛模模拟法为为美式期期权定价价的难点点所在。最小二乘乘蒙特卡卡洛模拟拟方法通通过建立立一个当当前时刻刻标的资资产价格格与下一一时刻期期权价值值贴现值值的线性性回归计计量模型型：上述模型型以所有有样本路路径在时时刻的价价格和作为解解释变量量，对应应的下一一时刻期期权价值值的现值值作为被被解释变变量。采采用普通通最小二二乘法进进行回归归，求得得回归系系数的估估计值和和样本回回归方程程；再将将各个资资产价格格样本代代入到回回归方程程分别可可以得到到其期权权的持有有价值估估计值，根据计量量经济学学的理论论，这个个估计值值就是在在标的资资产价格格下的期期权持有有价值的的无偏估估计值。另另外，本本例中选选取基函函数作为为解释变变量，根根据实际际情况中中也可以以选取其其他形式式的基函函数：。作为解释释变量。现在，我我们从到到期日开开始倒推推计算求求解每条条样本路路径上的的最优停停时和每每个样本本点的期期权价值值。在到到期日，执执行看跌跌期权的的价值为为。接着着，判断断在时刻刻是否行行权。若若期权处处于实值值状态，即即，则与与继续持持有期权权的价值值相比较较，若内内在价值值大于持持有价值值，则应应立即执执行期权权；否则则，继续续持有期期权。考考虑在该该时刻期期权处于于实值的的样本子子集，近近似期权权持有价价值的回回归方程程为：其中，是时刻所所有期权权处于实实值状态态的标的的资产价价格样本本集。在在时刻的的资产价价格信息息下，比比较内在在价值与与继续持持有期权权的价值值就可做做出是否否执行期期权的决决策。同同理，我我们可倒倒推继续续求得时时刻的期期权持有有价值。对对于每条条样本路路径，期期权或是是在最优优停时执执行，或或是永不不执行。具具体设计计程序时时，令初初值，在在时刻，如如果继续续持有期期权，则则不变；如果执执行期权权，则，依依此类推推。每个个样本上上就只有有一个最最优停时时，每次次更新，最最后便求求得每条条样本路路径上的的最优停停时。第三步：对各条条样本路路径上的的期权价价值按无无风险利利率贴现现并求其其均值经过次模模拟后，得得到条标标的资产产价格的的样本路路径，以以及每条条样本路路径上的的最优停停时和在在该时刻刻的期权权价值：由于每条条样本路路径上的的最优执执行时间间不同，期期权价值值的贴现现因子也也不同，所所以应分分别进行行贴现求求均值，最最终得到到初始时时刻期权权价值的的最小二二乘蒙特特卡洛模模拟值：例3：已已知股票票价格为为50，美美式看跌跌期权执执行价为为50到期期日为55个月，股股票年收收益率的的标准差差为0.4，无无风险利利率为110%，用用最小二二乘蒙特特卡洛模模拟其价价格。编制最小小二乘蒙蒙特卡洛洛模拟的的MATTLABB程序如如下：funcctioon ppricce=AAmerricaanOpptLSSM(SS0,KK,r,T,ssigmma,NN,M)dt=TT/N;R=exxp(r-ssigmma22/2)*dtt+siigmaa*sqqrt(dt)*raandnn(N,M);S=cuumprrod(S00*onnes(1,MM);RR);ExTiime=N*ooness(M,1);CF=zzeroos(ssizee(S);CF(eend,:)=maxx(K-S(eend,:),0);for ii=N:-1:22 Idxx=fiind(S(iii,:)<KK); X=SS(iii,Iddx)''X11=X/S0; Y=CCF(iii+11,Iddx)''*exxp(-r*ddt); R=onees(ssizee(X11) (1-X1) 1/2*(2-44*X11+X11.22); a=RRY; C=RR*a; Jdxx=maax(KK-X,0)>>C; nIddx=ssetddifff(11:M),Iddx(JJdx); CFF(iii,Iddx(JJdx)=mmax(K-XX(Jddx)'',0); ExTTimee(Iddx(JJdx)=iii; CF(ii,nIddx)=expp(-rr*dtt)*CCF(iii+11,nIIdx);endPricce=mmeann(CFF(2,:)*exxp(-r*ddt)% 绘绘制标的的股票价价格模拟拟图 %x1=0:NN;yy1=SS'yy2=mmeann(S'');subpplott(2,1,11)plott(x11,y11)subpplott(2,1,22)plott(x11,y22)xlabbel('期权权存续期期间')ylabbel('股价价的模拟拟路径'')% 绘绘制期权权价值模模拟图 %figuure;x2=1:NN;yy3=CCF(22:ennd,:)'for i=11:M y4(i)=y3(i,EExTiime(i);endplott(x22,y33,ExxTimme,yy4,''*')xlabbel('期权权的最优优停止时时间')ylabbel('期权权价值的的模拟路路径')模拟的美美式看跌跌期权的的价格路路径如下下图所示示：模拟的期期权价值值路径及及其最优优停时如如下图：本例中的的美式看看跌期权权价格为为：pricce=AAmerricaanOpptLSSM(550,550,00.1,5/112,00.4,50,10000000)Pricce=44.26654§6 改改进蒙特特卡洛方方法计算算效率的的常用几几种方差差减少技技术方差减少少技术的的共性是是利用模模型特点点，调整整或修正正模拟的的输出变变量，从从而降低低估计值值的方差差。在采采用方差差减少技技术时，要要具体问问题具体体分析，针针对不同同期权类类型的特特点应用用相关的的方差减减少技术术，从而而取得效效率的最最大改进进。对偶变变量(AAntiitheeticc vaariaatess)技术术对偶变量量技术是是最简单单和最常常用的方方差减少少技术。以以标准欧欧式看涨涨期权为为例，其其标准蒙蒙特卡洛洛估计值值为标的股票票的股价价终值抽抽样为由概率论论的知识识可知也也是标准准正态分分布中相相互独立立的抽样样值，那那么用代代替得到到的也是是股票价价格终值值的抽样样，从而而由的平平均值也也能得到到期权价价格的无无偏估计计量。因因此，由由对偶变变量技术术得到的的期权价价格蒙特特卡洛估估计值为为。对偶变量量技术的的有效性性：由于于，所以以；并且，令令，对于于标准欧欧式看涨涨期权，是单调递增函数。由不等式，可知，从而，对偶变量技术有效。显然，标标准欧式式看跌期期权和亚亚式期权权对应的的必也是是单调函函数，所所以对偶偶变量技技术对这这两种期期权也适适用，而而障碍期期权和回望期期权则反反之。对偶变量量技术置置信区间间的估计计：由于于并不独独立，而而才是独独立同分分布的抽抽样，故故采用nn个而非2nn个来计算算样本标标准差。以上对偶偶变量技技术采用用的输入入变量ZZ服从标标准正态态分布，实实际上使使用更广广泛的输输入变量量是随机机数。显显然，与与具有相相同分布布且两者者负相关关，从而而只要输输入变量量与输出出变量存存在单调调关系，对应的输出变量与对应的输出变量也存在负相关关系，对偶变量技术有效。控制变变量(CConttroll vaariaatess)技术术一元控制制变量：若是期权权到期回回报贴现现的n次独立立模拟值值，那么么期权价价格的蒙蒙特卡罗罗估计值值是。假假设得到到的同时时能得到到另一个个输出变变量且己知，独独立同分分布，则则对于确确定的数数b有期权价格格的控制制变量估估计值即即为所谓的“控控制”是是指。由由下式可可知控制制变量估估计值是是无偏估估计量。若令，则则有对上式关关于b求导数数，解得得能够使使最小化化的b值应为为。因此此，。由此可见见，只要要X与Y的相关关性越强强，那么么控制变变量估计计的方差差减少越越显著，所所以控制制变量技技术的关关键是选选择与YY关系密密切且期期望值已已知的控控制变量量。另外外，由于于计算的的两个量量和未知，故故实践中中采用的的是的估估计值。多元控制制变量：控制变变量技术术也可以以推广到到多元情情形，假假设得到到的同时时能得到到d维向量量并且已知知，独立立同分布布，的协协方差矩矩阵为是矩阵，是是矩阵，且且是非奇奇异矩阵阵。则对对于确定定的向量量b有。多元元控制变变量估计计值为。由于经过过推导可可知最优优控制系系数向量量，相应应的最小小化方差差为，其其中。下面介绍绍在一种种特殊情情形下的的推导过过程：若多元控控制变量量之间彼彼此独立立，即，则则有由多元函函数的极极值理论论，可解解得使最最小化的的向量的的第i个分量量应为将将代入可可得。关于偏差差的讨论论：由于于未知，实实践中采采用的是是其估计计值，由由与的相关关性，可可知控制制变量估估计值将将是有偏偏的，并并且也将将是有偏偏的。解决如上上问题的的方法有有两个：一是增增加模拟拟的次数数，当nn增大时时，偏差差的响将将会变小小；另一一个方法法是将模模拟分为为两个部部分，先先用次模模拟得到到结果生生成，再再用次模模拟的结结果计算算，这样样得到的的估计值值将是无无偏。不不过，现现实情形形下，的的偏差并并不大，从从而采用用复杂的的分步运运算获取取无偏估估的作法法并不吸吸引人。控制变量量的类型型：期权权定价中中常采用用的三种种控制变变量有标标的资产产价格、定定价已解解决的期期权以及及为模拟拟标的资资产价格格所需的的正态随随机变量量。（1）标标的资产产价格在期权定定价的蒙蒙特卡罗罗模拟中中，标的的资产价价格是来来源最广广的一类类控制变变量。在在风险中中性测度度下，假假设无风风险利率率为常数数r，资产产价格的的贴现为为鞅，即即。而待待定价的的期权价价格是标标的资产产价格的的函数，两两者具有有相关性性，因此此可以采采用标的的资产价价格(或其贴贴现)作为控控制变量量。若待定价价的是标标准欧式式看涨期期权，那那么将作作为控制制变量，相相应的控控制变量量估计值值为实验证明明，当KK=0时时，控制制变量与与Y的相关关性最强强，从而而方差减减少效果果显著，而而当K很大时时情况相相反。若待定价价的是亚亚式期权权，N为一年年中交易易的总天天数，那那么可将将作为控控制变量量，由于于相应的控控制变量量估计值值为（2）定定价己解解决的期期权如果两种种期权的的回报函函数具有有相似性性，并且且其中一一种期权权的定价价公式已已知，那那么可将将此期权权作为控控制变量量为另一一种期权权定价。最最著名的的例子是是Kemmna和和Vorrst使使用几何何平均亚亚式期权权作为控控制变量量为算术术平均亚亚式期权权定价，显显然这两两种期权权的回报报具有很很强的相相关性，从从而方差差减少效效果显著著。再比如仍仍是对算算术平均均资产价价亚式期期权定价价，由于于与其具具有相同同到期日日与敲定定价格的的标准欧欧式看涨涨期权的的价格可可以由BB-S公公式得到到，故可可将作为为控制变变量。（3）正正态随机机变量模拟标的的资产价价格路径径要用到到正态随随机变量量，因此此可考虑虑将正态态随机变变量(或其线线性组合合)作为控控制变量量。比如为算算术平均均执行价价亚式期期权定价价，模拟的的过程需需要独立立的、均均值为、方方差为的的正态随随机变量量，从而而将作为为多元控控制变