信号与系统-第2章例题.ppt
例：例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?解解：设信号：设信号 e(t)作用于系统，响应为作用于系统，响应为 r(t)原方程两端乘原方程两端乘A：(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足两式矛盾。故此系统不满足均匀性均匀性当当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则作用于系统时，若此系统具有线性，则线性时不变系统线性时不变系统例：例：判断下列两个系统是否为非时变系统。判断下列两个系统是否为非时变系统。系统系统1的作用是对输入信号作余弦运算。的作用是对输入信号作余弦运算。所以所以此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。系统系统1：系统系统2：解：解：时移时移 t0 经过系统经过系统经过系统经过系统 时移时移 t0现在的响应现在的响应=现在的激励现在的激励+以前的激励以前的激励 所以所以该系统该系统为因果系统。为因果系统。所以该系统为所以该系统为非因果系统。非因果系统。未来的激励未来的激励解：解：解：解：微分方程微分方程 所代表的系统是否是因果系统所代表的系统是否是因果系统例：例：微分方程微分方程 所代表的系统是否是因果系统所代表的系统是否是因果系统例：例：电感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 例：例：求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。解：解：用消元法求得。用消元法求得。解：解：例：例：列写列写 与与 的微分方程。的微分方程。解解:齐次方程为齐次方程为 特征方程：特征方程：特征根：特征根：该方程的齐次解为：该方程的齐次解为：激励函数中激励函数中a=-1=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解例例1 1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解 (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得 A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解讨论1)若初始条件不变，输入信号 f(t)=sin t u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？配平的原理：配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应及各阶导数应该平衡该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）例：例：该过程可借助该过程可借助数学描述数学描述冲激函数匹配法确定初始条件冲激函数匹配法确定初始条件解：解：将将 e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0 得得冲激函数匹配法冲激函数匹配法例：例：描述描述LTIS的微分方程为的微分方程为输入输入 如图，已知如图，已知用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求例：例：求系统的零输入响应求系统的零输入响应解：解：特征方程特征方程特征根特征根零输入响应零输入响应由起始条件由起始条件得零输入响应为得零输入响应为对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识解得解得冲激平衡法冲激平衡法冲激平衡法冲激平衡法 冲冲冲冲激激激激平平平平衡衡衡衡法法法法是是是是指指指指为为为为保保保保持持持持系系系系统统统统对对对对应应应应的的的的动动动动态态态态方方方方程程程程式式式式的的的的恒恒恒恒等等等等，方方方方程程程程式式式式两两两两边边边边所所所所具具具具有有有有的的的的冲冲冲冲激激激激信信信信号号号号函函函函数数数数及及及及其其其其各各各各阶阶阶阶导导导导数数数数必必必必须须须须相相相相等等等等。根根根根据据据据此此此此规规规规则则则则即即即即可可可可求求求求得得得得系系系系统统统统的的的的冲冲冲冲激激激激响响响响应应应应h(t)h(t)。例：例：已知某线性非时变系统的动态方程式为已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)。解解 根根据据系系统统冲冲激激响响应应h(t)的的定定义义，当当f(t)=(t)时时，即即为为h(t)，即即原原动动态方程式为态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左，为了保持动态方程式的左右右平平衡衡，等等式式左左侧侧也也必必须须含含有有(t)。这这样样冲冲激激响响应应h(t)必必为为Aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为的形式。考虑到该动态方程的特征方程为特特征征根根1=-3，因因此此可可设设h(t)=Ae-3tu(t)，式式中中A为为待待定定系系数数，将将h(t)代入原方程式有代入原方程式有即即 解得解得A=2，因此，系统的冲激响应为，因此，系统的冲激响应为求导后，对含有求导后，对含有(t)的项利用冲激信号的项利用冲激信号(t)的取样特性进行化简，即的取样特性进行化简，即例：求系统的零输入响应解：特征方程特征根零输入响应由起始条件得零输入响应为零输入响应解 系统的特征方程为例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的特征根为 y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y(0-)=yx(0-)=-2K1-3K2=3解得 K1=6，K2=-5例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3 解得 K1=1,K2=5例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1=1 y(0-)=yx(0-)=-K1+2K2=3解得 K1=1，K2=2例5 已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-3t u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。解例例1 1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。解解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-3,且nm,故h(t)的形式为解得A=2例例2 2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。解解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为解得A=-16,B=3例1例2：计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-t -1b)-1 t 0y(t)=0c)0 t 1d)1 t y(t)=0练习1：u(t)*u(t)练习2：计算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t-2)=u(t)*u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t)*u(t-2)-u(t-1)*u(t-2)=r(t)-r(t-2)r(t-1)+r(t-3)例1：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(t)。解：y(t)=y(t)*d(t)=f1(t)*f2(t)*d(t)例2：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=f1(t)*f2(t)*u(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)=f1(-1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(-1)(t)例3：利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。f(t)=d(t)-d(t-1)f(t)*h(t)=h(t)-h(t-1)例1 求图示系统的冲激响应。其中h1(t)=e-3t u(t)，h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。解解：子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。
