信号与系统(第3章)-例题.ppt

一一.三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数:直流分量直流分量余弦分量幅度余弦分量幅度正弦分量幅度正弦分量幅度其中：其中：其中：其中：周期信号周期信号傅立叶级数展开傅立叶级数展开周期信号周期信号x(t)=X(t+nT)，满足狄氏条件时，可展成：，满足狄氏条件时，可展成：余弦形式余弦形式两种形式系数间的关系：两种形式系数间的关系：两种形式系数间的关系：两种形式系数间的关系：周期信号可分解为直流，基波和各次谐波周期信号可分解为直流，基波和各次谐波（基波角频率的整数倍）的线性组合。（基波角频率的整数倍）的线性组合。三角函数形式三角函数形式例题：例题：例题：例题：求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。解：解：傅里叶级数展开式为：傅里叶级数展开式为：-基波基波直流直流谐波谐波二二二二.指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数 周期信号周期信号x(t)=x(t+nT)，满足狄氏条件时，可展成：，满足狄氏条件时，可展成：其中：其中：其中：其中：(n0)(n0)系数与三角形式傅立叶级数的关系：系数与三角形式傅立叶级数的关系：系数与三角形式傅立叶级数的关系：系数与三角形式傅立叶级数的关系：三周期信号对称性与傅里叶级数的关系三周期信号对称性与傅里叶级数的关系三周期信号对称性与傅里叶级数的关系三周期信号对称性与傅里叶级数的关系（1）x(t)为奇函数为奇函数对称于坐标原点对称于坐标原点 奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。弦项为零，正弦项不为零。弦项为零，正弦项不为零。弦项为零，正弦项不为零。（2）x(t)为偶函数为偶函数对称于坐标纵轴对称于坐标纵轴 偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，直流分量和余弦项不为零。直流分量和余弦项不为零。直流分量和余弦项不为零。直流分量和余弦项不为零。周期信号的频谱图周期信号的频谱图周期信号的频谱图周期信号的频谱图 周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、周期信号展开为傅氏级数时在不同频率点的振幅、相位随频率变化相位随频率变化相位随频率变化相位随频率变化的图形。的图形。的图形。的图形。振幅频谱：振幅频谱：振幅频谱：振幅频谱：描述傅氏级数振幅随频率变化描述傅氏级数振幅随频率变化描述傅氏级数振幅随频率变化描述傅氏级数振幅随频率变化的图形。的图形。的图形。的图形。相位频谱：相位频谱：相位频谱：相位频谱：描述傅氏级数相位随频率变化描述傅氏级数相位随频率变化描述傅氏级数相位随频率变化描述傅氏级数相位随频率变化的图形。的图形。的图形。的图形。余弦形式：余弦形式：余弦形式：余弦形式：指数形式：指数形式：指数形式：指数形式：单边频谱单边频谱单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱双边频谱双边频谱1 1）2 2）例：例：请画出信号请画出信号x（t）的幅度谱和相位谱。）的幅度谱和相位谱。【解】【解】化成余弦形式：化成余弦形式：（单边频谱）（单边频谱）化成指数形式：化成指数形式：（双边频谱）（双边频谱）例例3：求图示冲激序列的付里叶级数展开式。求图示冲激序列的付里叶级数展开式。【解】【解】周期信号频谱特点：周期信号频谱特点：1）离散性）离散性:频谱由频率离散而不连续的谱线组成；频谱由频率离散而不连续的谱线组成；2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍；）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍；3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。周期周期矩形脉冲的频谱矩形脉冲的频谱1 1）频谱的结构）频谱的结构(2)(2)频谱具有离散性、谐波性和衰减性频谱具有离散性、谐波性和衰减性(3)(3)其最大值在其最大值在 n=0 n=0 处处 2.2.频谱特点频谱特点例：例：语音信号频率约为语音信号频率约为 300 3400Hz 音乐信号频率约为音乐信号频率约为 50 15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,000Hz（5 5）有效频谱宽度：第一个零分量频率。有效频谱宽度：第一个零分量频率。（4 4）存在使得存在使得F Fn n=0=0的频率的频率占有频带占有频带3.3.频谱随参数的变化频谱随参数的变化结论：结论：当周期当周期 变大时变大时 零分量频率不变：零分量频率不变：B不变；不变；减小，谱线间距减小，谱线变密；减小，谱线间距减小，谱线变密；有效谱带内谐波分量增多；有效谱带内谐波分量增多；谱线振幅减小，变化缓慢。谱线振幅减小，变化缓慢。（1 1）设）设f(t)中的中的 E E不变，不变，不变，当周期不变，当周期 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？（2 2）设设f(t)中的中的 E E不变，周期不变，周期 不变，当不变，当 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？结论：结论：增大时：增大时：不变，谱线间距相等；不变，谱线间距相等；零分量频率减小：零分量频率减小：B 变小；变小；有效谱带内谐波分量减少；有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅较大，减小变化急速。谱线振幅较大，减小变化急速。周期函数周期函数 非周期函数非周期函数（2）矩形脉冲矩形脉冲信号的频带宽度：信号的频带宽度：离散离散频谱频谱 连续频谱连续频谱（3 3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性占有带宽与脉宽成反比占有带宽与脉宽成反比 对于一般信号，对于一般信号，频带宽度频带宽度定义为幅值下降为定义为幅值下降为讨论：讨论：定义：定义：4 4、周期信号的功率、周期信号的功率计算：计算：例：例：求图示信号求图示信号f(t)f(t)的功率的功率。【解】【解】非周期信号频域分析非周期信号频域分析一一一一.频谱密度函数频谱密度函数频谱密度函数频谱密度函数单位频带上的频谱值单位频带上的频谱值周期信号的傅氏级数：周期信号的傅氏级数：周期信号的傅氏级数：周期信号的傅氏级数：周期信号的频谱：周期信号的频谱：周期信号的频谱：周期信号的频谱：（2 2）可写为：）可写为：）可写为：）可写为：令令令令则：则：则：则：f(j f(j)称为频谱密度函数，简称频谱函数。称为频谱密度函数，简称频谱函数。称为频谱密度函数，简称频谱函数。称为频谱密度函数，简称频谱函数。周期信号周期信号 非周期信号非周期信号离散谱离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小（1 1）可写为：）可写为：）可写为：）可写为：令令令令则：则：则：则：二二二二.傅立叶变换对傅立叶变换对傅立叶变换对傅立叶变换对象函数象函数原函数原函数正正正正变换：变换：变换：变换：反反反反变换：变换：变换：变换：1、F(j)反映单位频率上幅值与相位分布情况，反映单位频率上幅值与相位分布情况，故称故称频谱密度函数。频谱密度函数。讨论：讨论：2、F(j)为复变函数为复变函数3 3、付氏变换存在的、付氏变换存在的、付氏变换存在的、付氏变换存在的充分充分充分充分条件：条件：条件：条件：4 4、f(t)f(t)的分解的分解的分解的分解l任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的可分解为无穷多个幅度为无穷小的 连续指数信号之和。连续指数信号之和。l任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小可分解为无穷多个幅度为无穷小的的 连续余弦信号之和。连续余弦信号之和。l任意信号任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。可分解为实函数和虚函数之和。1 1、单边指数信号、单边指数信号、单边指数信号、单边指数信号三三三三.典型非周期信号典型非周期信号典型非周期信号典型非周期信号频谱函数频谱函数频谱函数频谱函数2 2、单位阶跃信号、单位阶跃信号、单位阶跃信号、单位阶跃信号3 3、偶双边指数信号、偶双边指数信号、偶双边指数信号、偶双边指数信号4 4、直流信号、直流信号、直流信号、直流信号5 5、奇双边指数信号、奇双边指数信号、奇双边指数信号、奇双边指数信号6 6、符号函数信号、符号函数信号、符号函数信号、符号函数信号7 7、单位冲激函数、单位冲激函数、单位冲激函数、单位冲激函数8 8、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号解：解：例例3-4 傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质一一一一.线性性质线性性质线性性质线性性质例：例：若：若：则：则：二、折叠性二、折叠性二、折叠性二、折叠性例例1：三、对称性三、对称性三、对称性三、对称性解：解：例例2：解：解：例例3：解：解：例：例：解：解：四、时频展缩性（尺度变换）四、时频展缩性（尺度变换）四、时频展缩性（尺度变换）四、时频展缩性（尺度变换）五、五、五、五、时移性时移性时移性时移性例：例：六、频移性六、频移性六、频移性六、频移性例例1：解：解：解：解：则有则有则有：则有：解：解：例例七、时域微分性七、时域微分性七、时域微分性七、时域微分性例例2：八、时域积分性八、时域积分性八、时域积分性八、时域积分性例例1：解：解：则有则有则有则有解：解：例例3注意：注意：当已知当已知f(t)的频谱求其微分后的频谱时可用微分性；的频谱求其微分后的频谱时可用微分性；当已知当已知f(t)微分后的频谱求微分后的频谱求f(t)频谱时用积分性。频谱时用积分性。九九九九.时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理则有则有十十十十.频域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理则有则有时域卷积定理证明时域卷积定理证明：卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，在通讯、信卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系，在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值。（得证）（得证）解：解：例例1例例2 利用频域卷积定理求利用频域卷积定理求F(j)。解：解：例例3解：解：1）利用微积分性质求）利用微积分性质求2）利用频域卷积定理求解）利用频域卷积定理求解其中其中3）利用傅立叶变换定义求）利用傅立叶变换定义求3）利用傅立叶变换定义求）利用傅立叶变换定义求十三、帕塞瓦尔十三、帕塞瓦尔十三、帕塞瓦尔十三、帕塞瓦尔(Parserval)(Parserval)定理定理定理定理推广：推广：意义：意义：能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。例例2：可得：可得：解：解：例例例例1 1：由由由由ParservalParserval定理定理定理定理可得：可得：解：解：例例例例2 2：由由由由ParservalParserval定理定理定理定理解：解：例例例例3 3：3-5 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换一、基本周期信号的傅立叶变换一、基本周期信号的傅立叶变换一、基本周期信号的傅立叶变换一、基本周期信号的傅立叶变换二、单位冲激序列信号的傅立叶变换二、单位冲激序列信号的傅立叶变换二、单位冲激序列信号的傅立叶变换二、单位冲激序列信号的傅立叶变换 展为傅立叶级数：展为傅立叶级数：三、任意周期信号的傅立叶变换三、任意周期信号的傅立叶变换三、任意周期信号的傅立叶变换三、任意周期信号的傅立叶变换解：方法解：方法1：例：例：方法方法2：方法方法2：*例例3：已知半个余弦脉冲已知半个余弦脉冲 f(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为求图示周期性半个余弦脉冲信号求图示周期性半个余弦脉冲信号y(t)的傅立叶变换的傅立叶变换Y(j)。解：解：3-6 功率信号与能量信号的频谱功率信号与能量信号的频谱一、一、一、一、功率信号与能量信号功率信号与能量信号定义：定义：定义：定义：1 1、功率有限的信号称为功率信号，即功率有限的信号称为功率信号，即2 2、能量有限的信号称为能量信号，即能量有限的信号称为能量信号，即例：例：周期信号、部分非周期信号周期信号、部分非周期信号U(t)、Sgn(t)等、随机信号等、随机信号例：例：G(t)、单个三角信号、单个三角信号、指数衰减信号等指数衰减信号等 说明说明：1）若）若P，则则 W；2）若）若W，则则 P=0；3)非功率非能量信号，如非功率非能量信号，如tU(t)。二、二、功率谱功率谱：功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的功率。记为频率的功率。记为D().周期信号：周期信号：(功率密度谱功率密度谱）三、三、能量谱能量谱：能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能量。记为频率的能量。记为G().例例1：(能量密度谱能量密度谱）解：解：例例1：解：解：由由由由ParservalParserval定理：定理：定理：定理：解：解：例例2：例例3：结论：结论：（1）时域内信号平均功率等于频域平均功率；时域内信号平均功率等于频域平均功率；（2）时域内信号的能量等于频域的能量；时域内信号的能量等于频域的能量；（3）在信号有效频谱宽度在信号有效频谱宽度B内，集中信号内，集中信号90%以上的能量。以上的能量。(信号占有频宽信号占有频宽B)（4）在信号有效持续时间在信号有效持续时间 内，集中信号内，集中信号90%以上的能量。以上的能量。(信号有效持续时间信号有效持续时间)（5）信号有效频谱宽度信号有效频谱宽度B 与有效持续时间与有效持续时间 成反比。成反比。本章要点：本章要点：1、信号的分解；信号的分解；2、周期信号频域分析周期信号频域分析：傅立叶级数形式傅立叶级数形式、性质、频谱特点；、性质、频谱特点；3、非周期信号频域分析非周期信号频域分析：傅立叶变换与反变换傅立叶变换与反变换；常用信号的频谱函数常用信号的频谱函数；周期信号傅里叶级数的表示周期信号傅里叶级数的表示例例3.10 p152，图，图3.13，3.14这些系数是以N为周期进行重复的N=5例例3.11，p153,图图3.15展开合并同类项可得：例3.12，p154,图3.16，3.17令M=4M=12连续时间傅里连续时间傅里叶级数的收敛叶级数的收敛例3.13，p159,图3.19，基波周期为5的序列对应x1n 和x2n的傅里叶级数分别为bk和ck例如，周期为N 的方波