天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲稿.ppt
天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲稿 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 8-1 弹性体的应力、位移与应变弹性体的应力、位移与应变考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。取无穷小取无穷小dx,dy,dzzxyOdydxdzzxyOdzdydxv应力分量应力分量复习：描述弹性体物体一点的应力、应变及位移的物理量复习：描述弹性体物体一点的应力、应变及位移的物理量2 弹性体一点九个应力分量用矩阵表示如下：弹性体一点九个应力分量用矩阵表示如下：其中剪力：其中剪力：应力：应力：对于不同的问题比如：受力以及几何形状的特殊性，会造成应力分布出对于不同的问题比如：受力以及几何形状的特殊性，会造成应力分布出现特殊性。现特殊性。3v位移分量：位移分量：zxoywuv描述三维空间中一点描述三维空间中一点的位移应当有三个方的位移应当有三个方向的物理量向的物理量xyz结构受到的外力以及几何形状具有一些特殊性时，将会造成位移分布的结构受到的外力以及几何形状具有一些特殊性时，将会造成位移分布的特殊性。使得我们可以根据实际情况引入变形的一些假定条件。特殊性。使得我们可以根据实际情况引入变形的一些假定条件。譬譬如：梁理论当中的平断面假定条件等。如：梁理论当中的平断面假定条件等。4v应变分量应变分量线应变线应变剪应变剪应变可表示为：可表示为：或或xyzdyzxydyOO58-2 平面应力问题及其基本方程式平面应力问题及其基本方程式v平面应力问题平面应力问题板只有板只有xoyxoy平面内分量且均与平面内分量且均与z z坐标无关坐标无关1）几何特征：均匀薄板。即一个方向的尺度几何特征：均匀薄板。即一个方向的尺度 远小于另外两个方向的尺度。远小于另外两个方向的尺度。2）受力特征：）受力特征：面积力面积力外力均匀作用在板的周外力均匀作用在板的周 边上且平行于边上且平行于xoy平面。平面。体积力体积力均作用于均作用于xoy平面之内。平面之内。3）应力分布的特点：）应力分布的特点：4）描述一点的位移及应变的分量：）描述一点的位移及应变的分量：求解平面问题及求解结构在受力后的应力、应变及位移共求解平面问题及求解结构在受力后的应力、应变及位移共8个未知函数个未知函数oyzx一薄板，外力沿板厚均匀分布一薄板，外力沿板厚均匀分布6求解弹性的基本方程求解弹性的基本方程（1）静力平衡方程式（力与外力之间平衡关系）静力平衡方程式（力与外力之间平衡关系）（2）几何方程式（位移与应变之间的关系）几何方程式（位移与应变之间的关系）（3）物理方程式（应力与应变之间的关系）物理方程式（应力与应变之间的关系）（4）位移边界条件）位移边界条件（5）力的边界条件）力的边界条件7v求解平面问题的基本方程求解平面问题的基本方程静力平衡方程式静力平衡方程式如图，考虑一微块如图，考虑一微块dx,dy，设板厚为，设板厚为1，作用有均匀体积力，作用有均匀体积力x方向，与方向，与y方向方程式方向方程式:或：或：以上二方程式称为以上二方程式称为“纳维叶（纳维叶（Navier)”方程方程式式yxodydxYX8取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为：取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为：X向静力方平衡程式：向静力方平衡程式：略去高阶微量后，得：略去高阶微量后，得：此式为此式为“静力边界条件静力边界条件”yxoABCYXNpypxv求解平面问题的基本条件求解平面问题的基本条件静力边界条件静力边界条件9如图：如图：abcd变形前位置，变形前位置，abcd为变形后位置为变形后位置ab在在xoy平面中转角为平面中转角为略去与略去与1比的微量比的微量 ，得，得同理同理abcdyxodxdyvuv求解平面问题的基本条件求解平面问题的基本条件几何方程式几何方程式10应变协调方程式为：应变协调方程式为：可得：可得：应变分量只有满足这个方程式才能保证弹性体变形的连续性应变分量只有满足这个方程式才能保证弹性体变形的连续性在什么情况下使用该方程式？在什么情况下使用该方程式？又称为又称为“柯西（柯西（Cauchy)Cauchy)方程式方程式”可得：可得：从数学角度，从力学角度分析上述方程。从数学角度，从力学角度分析上述方程。与应力相对应的连续位移是否存在的充分与应力相对应的连续位移是否存在的充分必要条件必要条件11v物理方程式（应力、应变间相互关系）物理方程式（应力、应变间相互关系）已知弹性体应力求应变已知弹性体应力求应变（1）12“弹性矩阵弹性矩阵”已知弹性体应变求应力已知弹性体应变求应力（2 2）13对于正交异性的弹性体对于正交异性的弹性体,应力与应变关系为应力与应变关系为:D为正交弹性体的正交矩阵为正交弹性体的正交矩阵14力的平衡条件力的平衡条件几何条件几何条件变形协调条件变形协调条件物理条件物理条件力边界条件力边界条件位移边界条件位移边界条件15(1)弹性体在什么情况下成为平面应力问弹性体在什么情况下成为平面应力问题题(2)描述平面应力问题弹性体的基本物理描述平面应力问题弹性体的基本物理量量(3)求解平面应力问题的基本方程求解平面应力问题的基本方程(4)求解平面应力问题的基本方法求解平面应力问题的基本方法16基本指导思想：认为弹性体是有限个单元的组合体基本指导思想：认为弹性体是有限个单元的组合体 有限元采用解题方法有限元采用解题方法 位移法位移法8-3 8-3 解题方法及有限元法的概念解题方法及有限元法的概念有限元的基本概念有限元的基本概念v结构的离散化结构的离散化将连续的结构离散成有限个单元将连续的结构离散成有限个单元形成节点、边形成节点、边（原结构）（原结构）（离散化模型）（离散化模型）17离散后：离散后：位移：各单元仅在节点与其它单元连接位移：各单元仅在节点与其它单元连接 在单元边上保持位移连续最好，至少变形后相连。在单元边上保持位移连续最好，至少变形后相连。力：在单元内保持力的平衡条件、力：在单元内保持力的平衡条件、在单元间保持节点力的平衡在单元间保持节点力的平衡 边界上满足边界节点上的位移边界条件边界上满足边界节点上的位移边界条件 及相当的力的边界条件。及相当的力的边界条件。理想状态下：理想状态下：位移：离散节点前后各单元内及单元之间位移保持连续；位移：离散节点前后各单元内及单元之间位移保持连续；力：在单元内及单元之间各处均应保持力的平衡条件力：在单元内及单元之间各处均应保持力的平衡条件 边界上满足一切位移及力的边界条件。边界上满足一切位移及力的边界条件。一般弹性体的结构离散与杆系结构离散的区别一般弹性体的结构离散与杆系结构离散的区别18v设定单元的位移函数设定单元的位移函数 该位移函数的特点：不是单元的真实位移该位移函数的特点：不是单元的真实位移有限元采用解题方法位移法有限元采用解题方法位移法基本未知量：节点的位移基本未知量：节点的位移平面问题一个节点的位移自由度平面问题一个节点的位移自由度2个个 节点力的个数节点力的个数2个个 v建立节点位移与节点力之间的关系（单元刚度矩阵）建立节点位移与节点力之间的关系（单元刚度矩阵）解决问题的途径：李兹法解决问题的途径：李兹法 （1）假设单元内部位移的形状函数）假设单元内部位移的形状函数 （将节点位移作为待定参数）（将节点位移作为待定参数）（2）利用虚功原理求出单元刚度矩阵）利用虚功原理求出单元刚度矩阵19v分布外力的移置分布外力的移置 平面应力问题：平面应力问题：体积力及面积力：求解这些外力的等效节点体积力及面积力：求解这些外力的等效节点v建立节点力平衡方程式建立节点力平衡方程式 形成类似矩阵法的节点力平衡方程式矩阵表达形式形成类似矩阵法的节点力平衡方程式矩阵表达形式v约束处理求解节点位移约束处理求解节点位移 208-4 三角形单元的位移函数与刚度矩阵三角形单元的位移函数与刚度矩阵v节点位移与节点力节点位移与节点力节点位移：节点位移：节点力：节点力：oyxmijvmumvjujviui21v 位移函数位移函数式中：式中：将三节点将三节点i,j,mi,j,m坐标代入（坐标代入（1 1）式）式：将单元内部位移用节点位移表示之将单元内部位移用节点位移表示之 22简记为：简记为：其中：其中：（3）23位移矩阵位移矩阵为三角形为三角形i,j,mi,j,m面积面积（4）得得24v单元应变单元应变(几何矩阵几何矩阵）用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：或：或：式中：式中：几何矩阵几何矩阵用节点位移表达的单元应用节点位移表达的单元应变变25（2）v单元应变（用节点位移表示的单元应力）单元应变（用节点位移表示的单元应力）根据虎克定律的矩阵表示式根据虎克定律的矩阵表示式应力矩阵应力矩阵26v单元刚度矩阵（单元刚度矩阵（表示节点位移与节点力关系矩阵）表示节点位移与节点力关系矩阵）求解单元刚度矩阵的方法求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理虚功原理基本公式：基本公式：给节点虚位移：给节点虚位移：真实应变：真实应变：即：即：节点力在虚位移上所作的虚功节点力在虚位移上所作的虚功 =虚位移引起单元内部的虚应变能虚位移引起单元内部的虚应变能单元上真实的节点位移：单元上真实的节点位移：真实应力：真实应力：相应的虚应变：相应的虚应变：节点力在虚位移上所作的虚功：节点力在虚位移上所作的虚功：虚位移引起单元内部的虚应变能虚位移引起单元内部的虚应变能27进行比较得：进行比较得：将将BB、DD代入上式：代入上式：式中式中单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：分割子矩阵分割子矩阵对称、奇异、稀疏矩阵对称、奇异、稀疏矩阵28v位移函数与收敛准则位移函数与收敛准则位移函数要在单元中连续，在边界上保持位移协调；位移函数要在单元中连续，在边界上保持位移协调；位移函数应能包括单元的常位移（刚体位移）；位移函数应能包括单元的常位移（刚体位移）；位移函数必须能反映单元的常应变状态。位移函数必须能反映单元的常应变状态。q满足第一条件的单元称为满足第一条件的单元称为“协调元协调元”（compatible element)compatible element)q满足第二、三条件的单元称为满足第二、三条件的单元称为“完备元完备元”（complete complete elementelement)收敛准则收敛准则:经严格证明协调、完备元随着网格的不断加密，其解是收敛的。经严格证明协调、完备元随着网格的不断加密，其解是收敛的。完备非协调元同样收敛。完备非协调元同样收敛。29（1）三角形单元属于什么类型的单元？）三角形单元属于什么类型的单元？三角形单元位移函数的讨论：三角形单元位移函数的讨论：（2）三角形单元位移函数的假定：）三角形单元位移函数的假定：在同一个单元内应变及应力均为常数。在同一个单元内应变及应力均为常数。对应力变化梯度较大的结构而言精度较差。对应力变化梯度较大的结构而言精度较差。（3）在单元划分时应注意以下两点：）在单元划分时应注意以下两点：疏密程度合理疏密程度合理 三角形三个边长差别不易过大三角形三个边长差别不易过大（4 4）线性结构的单元）线性结构的单元N N、B B、S S、K K 与单元的位移函数及节点几何坐标位置有关。与单元的位移函数及节点几何坐标位置有关。308-5 结构刚度矩阵结构刚度矩阵本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。衡式，包括结构刚度矩阵的建立。取出节点取出节点i i，列出，列出x,yx,y方向力方向力 的平衡方程式：的平衡方程式：(1)(2)(1)(2)immjjmnnii31该结构共有两个单元，外力只作用于该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。节点之上。对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。其形式如下：其形式如下：外力列阵，每一个节点有外力列阵，每一个节点有2行。行。应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力 及等效节点力。及等效节点力。各单元因节点发生可能位移各单元因节点发生可能位移而产生的节点力之合。而产生的节点力之合。可由各单元刚度矩阵依对号入座方式可由各单元刚度矩阵依对号入座方式形成形成其中：其中：32式中式中KKijij 为单元刚度阵的子矩阵为单元刚度阵的子矩阵，上式可简记为：上式可简记为：K K 结构总刚度矩阵结构总刚度矩阵具有具有n个节点的结构个节点的结构,总节点力平衡方程式为：总节点力平衡方程式为：注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。对称性、稀疏性、奇异性。对称性、稀疏性、奇异性。行列个数行列个数2n33单元（单元（1 1）i-j-m i-j-m 1-3-41-3-4例例1：划分划分4 4个单元个单元单元（单元（2 2）i-j-mi-j-m 1-2-31-2-3单元（单元（3 3）i-j-m i-j-m 3-2-53-2-5单元（单元（4 4）i-j-mi-j-m 4-3-5 4-3-5(1)(2)(3)(4)3列出其单元刚度矩阵列出其单元刚度矩阵：注意节点顺序号与单刚位置关系注意节点顺序号与单刚位置关系34列出各节点平衡方程式列出各节点平衡方程式：将各单元的刚度矩阵带入上式，并写成（将各单元的刚度矩阵带入上式，并写成（1 1）的形式：即）的形式：即得总刚度矩阵：得总刚度矩阵：358-6 外载荷处理外载荷处理v单元中分布力的移置单元中分布力的移置单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算（1 1）单元上体积力的等效计算）单元上体积力的等效计算 计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚 位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。设：设：三角形平面单元受均匀分布力，其合力三角形平面单元受均匀分布力，其合力Q Q作用于形心处作用于形心处36外力作用下：外力作用下：给节点给节点i单位的虚位移：单位的虚位移：有：有：37v单元边界力的移置：单元边界力的移置：设设:三角形单元的某边界有分布外力，其合力为三角形单元的某边界有分布外力，其合力为Q Q，作用在，作用在B B点，点，三节点等效力为三节点等效力为 求求如图：如图：令虚位移令虚位移得：得：同理同理：38均布载荷均布载荷三角形载荷三角形载荷梯形载荷梯形载荷,xy398-7 解题过程与例题解题过程与例题v解题过程解题过程结构的离散；结构的离散；计算单元的刚度矩阵计算单元的刚度矩阵计算结构总刚度矩阵计算结构总刚度矩阵建立外力矩阵建立外力矩阵约束处理约束处理求解节点位移求解节点位移计算单元应力计算单元应力支座反力计算和节点力平衡的检验支座反力计算和节点力平衡的检验40v例题例题例例1 1 一悬臂梁，尺寸与受力情况如图（一悬臂梁，尺寸与受力情况如图（a a）所示，将其离散为四个三角）所示，将其离散为四个三角形组成的机构，其计算图形如图（形组成的机构，其计算图形如图（b b），求各节点的位移与各三角形的应），求各节点的位移与各三角形的应力。力。已知：已知：L=100cm,L=100cm,板厚板厚t=1cm,q=200N/mm(t=1cm,q=200N/mm(从而从而P=10 N),P=10 N),E=2105 N/mm,u=0.3 E=2105 N/mm,u=0.3256Llppyx(3)(4)(1)(2)54123q(a)(b)L41解：解：（1）计算单元刚度矩阵：）计算单元刚度矩阵：当当r=s=1r=s=1时时,求求13250cm100cm42同理同理计及计及故得故得43同理同理44计算总刚度矩阵计算总刚度矩阵节点平衡方程式节点平衡方程式45求节点位移求节点位移同理同理(2),(3),(4)(2),(3),(4)应力应力(N/mm2)(N/mm2)为为:,46
