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如何建模ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、数学模型解决问题的五个步骤一、数学模型解决问题的五个步骤1 1、提出问题、提出问题2 2、选择建模方法、选择建模方法3 3、推导模型的数学表达式、推导模型的数学表达式4 4、求解模型、求解模型5 5、回答问题、回答问题11（新西兰）（新西兰）Mark M.Meerschaert著著数学建模数学建模 方法与分析方法与分析1 1、提出问题、提出问题将实际问题用数学语言表述将实际问题用数学语言表述“提出问题提出问题”意味着：意味着：这一步主要完成三个任务：这一步主要完成三个任务：（1 1）列出实际问题所涉及到的）列出实际问题所涉及到的变量变量；（2 2）写出关于这些变量所做的）写出关于这些变量所做的假设假设，列出已知的或，列出已知的或假设的这些变量之间的关系式，包括等式和不等式；假设的这些变量之间的关系式，包括等式和不等式；（3 3）用明确的数学语言写出问题的）用明确的数学语言写出问题的目标目标的表达式。的表达式。变量变量首先列出已有的变量：首先列出已有的变量：其次，我们要根据表述实际问题（表述问题的其次，我们要根据表述实际问题（表述问题的目标、列出变量之间的关系）的需要，自行引目标、列出变量之间的关系）的需要，自行引入一些新的变量。入一些新的变量。目标目标用给定的资金用给定的资金 ，有选择地购买若干种资产或存银行，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使生息，使净收益尽可能大净收益尽可能大，而，而总体风险尽可能小总体风险尽可能小。为了表述目标，为了表述目标，引入新的变量引入新的变量：目标的数学表述：目标的数学表述：找出找出 ，使得使得 尽可能大，尽可能大，同时同时 尽可能小。尽可能小。假设假设主要是列出变量之间的关系式主要是列出变量之间的关系式为了列出已有变量之间的关系式，为了列出已有变量之间的关系式，引入新的变量引入新的变量：则变量之间有如下的关系式则变量之间有如下的关系式：2 2、选择建模方法、选择建模方法我们已经我们已经将实际问题表述为一个数学问题。将实际问题表述为一个数学问题。这一步，需要这一步，需要选择适当的数学方法选择适当的数学方法用于解决问题用于解决问题。显然，这时你显然，这时你了解的数学方法越多，选择的面了解的数学方法越多，选择的面也越广，也越有助于找出适当的数学方法也越广，也越有助于找出适当的数学方法。一般地，这一步的成功，需要一般地，这一步的成功，需要经验经验、技巧技巧和和对对相关文献有一定的熟悉程度相关文献有一定的熟悉程度。问题是否可以表示成一个已有有效的问题是否可以表示成一个已有有效的一般求解方法的问题的标准形式？一般求解方法的问题的标准形式？如果可以，那么如果可以，那么直接选择已有的方法直接选择已有的方法，建立模型并进行求解。建立模型并进行求解。如果不可以，那么需要如果不可以，那么需要对已有的方法或模型对已有的方法或模型进行改造进行改造，使之可以用来解决现在的问题。，使之可以用来解决现在的问题。或者干脆自己或者干脆自己创造新的方法创造新的方法来解决问题来解决问题!继续考虑例继续考虑例1 1问题的数学表述为：问题的数学表述为：这可以被看作是一个这可以被看作是一个双目标优化的数学问题双目标优化的数学问题从而我们可以选择从而我们可以选择运筹学运筹学中与多目标优化相关的中与多目标优化相关的方法来解决这个问题。方法来解决这个问题。3 3、推导模型的数学表达式、推导模型的数学表达式在这一步，我们需要把第一步中所得到的数学问题在这一步，我们需要把第一步中所得到的数学问题应用于第应用于第2 2步，步，将问题写成所选择的数学方法需要将问题写成所选择的数学方法需要的标准形式的标准形式。继续考虑例继续考虑例1 1，对应的双目标优化的标准表述形式为：，对应的双目标优化的标准表述形式为：这样，就完成了例这样，就完成了例1 1的的建立模型建立模型的过程。的过程。4 4、求解模型、求解模型5 5、回答问题、回答问题剩下的两个步骤：剩下的两个步骤：这两个步骤对模型的完成都这两个步骤对模型的完成都极为重要极为重要，必不可少必不可少。但我们现在的目的是但我们现在的目的是通过实例说明如何建立数学通过实例说明如何建立数学模型模型，对这两个不作为重点，对这两个不作为重点。根据第根据第2 2步中选定的方法，进行数学推导或（利用步中选定的方法，进行数学推导或（利用计算机）进行计算，对建立的模型进行求解。计算机）进行计算，对建立的模型进行求解。根据第根据第4 4步的结果，对实际的问题作出解答。步的结果，对实际的问题作出解答。二、简单的例子二、简单的例子两辆铁路平板车的装载问题：两辆铁路平板车的装载问题：变量变量这个题目比较简单，已经给出的全部都是这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量常量：目标目标将货箱装到两辆平板车上，使浪费的空间最小将货箱装到两辆平板车上，使浪费的空间最小为了表述目标，为了表述目标，引入新的变量引入新的变量：目标的数学表述：目标的数学表述：假设假设主要是列出变量之间的关系式主要是列出变量之间的关系式由实际问题知，变量之间有如下的关系式由实际问题知，变量之间有如下的关系式：第二步：本题是一个整数线性规划问题第二步：本题是一个整数线性规划问题第三步：写出整数线性规划问题的标准形式第三步：写出整数线性规划问题的标准形式 在约在约10,00010,000米高空的某边长米高空的某边长160160公里的正方形区域内公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的包括新进入的)飞机飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下:1)1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8 8公里公里;2)2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过飞机飞行方向角调整的幅度不应超过3030度度;3)3)所有飞机飞行速度均为每小时所有飞机飞行速度均为每小时800800公里公里;4)4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与与区域内飞机的距离应在区域内飞机的距离应在6060公里以上公里以上;例例3 3、一个飞行管理问题、一个飞行管理问题5)5)最多需考虑最多需考虑6 6架飞机架飞机;6)6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过方向角误差不超过0.010.01度度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4 4个顶个顶点的坐标为点的坐标为(0,0)(0,0)，(160,0)(160,0)，(160,160)(160,160)，(0,160)(0,160)。飞机编号飞机编号 横坐标横坐标x 纵坐标纵坐标y 方向角方向角(度度)1 150 140 2432 85 85 236 3 150 155 220.54 145 50 159 5 130 150 230新进入新进入 0 0 52注注:方向角指飞行方向与方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。实际应用背景对你的模型进行评价与推广。变量变量这个题目比较简单，已经给出的全部都是这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量常量：目标目标调整飞行方向角，避免碰撞，且使调幅尽量小调整飞行方向角，避免碰撞，且使调幅尽量小引入新的变量引入新的变量：目标的数学表述：目标的数学表述：假设假设主要是列出变量之间的关系式主要是列出变量之间的关系式本题的约束条件也比较简单，只有两个，但本题的约束条件也比较简单，只有两个，但其中其中“避免碰撞避免碰撞”这个条件比较难以刻划！这个条件比较难以刻划！避免碰撞避免碰撞：在区域内的任意两架飞机在任一在区域内的任意两架飞机在任一时刻之间的距离小于时刻之间的距离小于8km8km.引入变量：引入变量：第二步：本题是一个非线性规划问题第二步：本题是一个非线性规划问题第三步：写出非线性规划问题的标准形式第三步：写出非线性规划问题的标准形式例例4 4、钢管定购和运输钢管定购和运输这个题目已经给出的量也都是这个题目已经给出的量也都是常量常量，我们不再列出，我们不再列出目标目标制定钢管的定购和运输计划，使总费用最小制定钢管的定购和运输计划，使总费用最小总费用定购费用运输费用总费用定购费用运输费用计算定购费用，只需计算定购费用，只需引入变量引入变量下面计算运输费用：下面计算运输费用：首先要注意的是：钢管必须被运到铺设的地点才能首先要注意的是：钢管必须被运到铺设的地点才能够正常铺设，所以钢管实际上是从钢厂出发被运到够正常铺设，所以钢管实际上是从钢厂出发被运到了铺设地点，而不仅仅是被运到了了铺设地点，而不仅仅是被运到了1515个主节点个主节点.我们需要我们需要引入变量引入变量：下面计算总费用：下面计算总费用：假设假设主要是列出变量之间的关系式主要是列出变量之间的关系式第二步：本题是一个非线性规划（二次规划）问题第二步：本题是一个非线性规划（二次规划）问题第三步：写出二次规划问题的标准形式第三步：写出二次规划问题的标准形式