四边形(一)-扬州市梅岭中学.ppt
四边形（一）四边形（一）扬州市梅岭中学扬州市梅岭中学 余云中余云中 熟练掌握平行四边形、矩形、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的特征及识别方法，菱形、正方形的特征及识别方法，利用它们的特征及识别方法证明线利用它们的特征及识别方法证明线段、角之间的数量或位置关系。段、角之间的数量或位置关系。一、知识回顾二、复习思路三、例题精析一、知识回顾一、知识回顾归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形关系图：正方形关系图：1、平行四边形的特征：、平行四边形的特征：(1)是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；(2)对边分别平行；对边分别平行；(3)对边分别相等；对边分别相等；(4)对角线互相平分对角线互相平分2、平行四边形的识别方法：、平行四边形的识别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形3、矩形的特征、矩形的特征(具有平行四边形的一具有平行四边形的一切特征切特征)：(1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；对边中点的直线，有两条对称轴；(2)矩形的四个角都是直角；矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分4、识别一个四边形是矩形的方法：、识别一个四边形是矩形的方法：(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形5、菱形特征、菱形特征(具有平行四边形的一具有平行四边形的一切特征切特征)：(1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴；所在的直线，有两条对称轴；(2)菱形的四条边相等；菱形的四条边相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角线平分一组对角6、菱形的识别方法：、菱形的识别方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四边都相等的四边形是菱形；四边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形7、正方形的特征：、正方形的特征：(1)正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；(2)正方形四条边都相等；正方形四条边都相等；(3)正方形四个角都是直角；正方形四个角都是直角；(4)对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于一组对角，对角线与边的夹角等于458、正方形的识别方法：、正方形的识别方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形注意：注意：1、正方形概念的三个要点：、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；）是平行四边形；（2）有一个角是直角；）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形相应的条件，确定是正方形.二、复习思路二、复习思路 1、在解决特殊四边形的有关问题时，应首先熟悉这些、在解决特殊四边形的有关问题时，应首先熟悉这些四边形的特征、识别方法，如矩形的对角线相等、四个四边形的特征、识别方法，如矩形的对角线相等、四个角都是直角，菱形的四条边相等、对角线互相垂直等等；角都是直角，菱形的四条边相等、对角线互相垂直等等；其次是在解题时要认真体会运用了哪些特征、识别，还其次是在解题时要认真体会运用了哪些特征、识别，还有什么方法。例如通常欲证四边形是矩形（菱形），可有什么方法。例如通常欲证四边形是矩形（菱形），可先证它是平行四边形，再根据矩形（菱形）的特有条件先证它是平行四边形，再根据矩形（菱形）的特有条件证明它是矩形（菱形）；再则，要充分利用正方形的特证明它是矩形（菱形）；再则，要充分利用正方形的特征应用旋转方法或全等方法得全等三角形。征应用旋转方法或全等方法得全等三角形。2、新课标比较重视通过平移、旋转变换掌握特殊四边、新课标比较重视通过平移、旋转变换掌握特殊四边形的概念特征和识别，会应用平移、旋转解决有关问题。形的概念特征和识别，会应用平移、旋转解决有关问题。三、例题精析三、例题精析例例1、填空、填空:两条对角线两条对角线的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形；两条对角线两条对角线的平行四边形是矩形；的平行四边形是矩形；两条对角线两条对角线的平行四边形是菱形；的平行四边形是菱形；两条对角线两条对角线的四边形是矩形；的四边形是矩形；两条对角线两条对角线的四边形是菱形的四边形是菱形.互相平分互相平分 相等相等 垂直垂直 相等且互相平分相等且互相平分 互相垂直平分互相垂直平分 例例2、如图，如果四边形、如图，如果四边形CDEF旋转后能与旋转后能与正方形正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有可作为旋转中心的点共有个个.3例例3、（、（2005福州）如图，小亮拿一张矩形纸图福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两），下将对角两顶点重合折叠得图（顶点重合折叠得图（3）。按图（）。按图（4）沿折痕中点）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是图形分别是（）A、都是等腰梯形、都是等腰梯形 B、都是等边三角形、都是等边三角形C、两个直角三角形，一个等腰三角形、两个直角三角形，一个等腰三角形 D、两个直角三角形，一个等腰梯形两个直角三角形，一个等腰梯形c例例4、（、（05浙江舟山实验区）挪威数学家阿贝尔，浙江舟山实验区）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=（）A、a1(b1b2)+(a1+a2)b1 B、a2(b2b1)+(a1+a2)b2C、a1(b1b2)+(a1+a2)b2 D、a2(b1b2)+(a1+a2)b1C例例5（2005四四川川泸泸州州）如如图图，在在平平行行四四边边形形ABCD中中，两两条条对对角角线线相相交交于于点点O，点点E、F、G、H分分别别是是OA、OB、OC、OD的的中中点点，以以图图中中的的任任意意四四点点（即即点点A、B、C、D、E、F、G、H、O中中的的任任意意四四点点）为为顶顶点点画画两两种种不不同同的的平平行行四四边边形形第一种：可画为平行四边形第一种：可画为平行四边形EFGH；第二种：可画为平行四边形第二种：可画为平行四边形DEBG（或（或画为平行四边形画为平行四边形AHCF）例例6、(2005湖北黄石湖北黄石)已知菱形的周长为已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为两条对角线之比为3：4，则菱形，则菱形的面积为的面积为 .96cm2 例例7、（、（2005深圳）如图，深圳）如图，口口ABCD中，中，点点E在边在边AD上，以上，以BE为折痕，将为折痕，将ABE向上翻折，点向上翻折，点A正好落在正好落在CD上的点上的点F，若，若FDE的周长为的周长为8，FCB的周长为的周长为22，则则FC的长为的长为 。7例例8、（、（2005苏州）如图，平行四边形纸条苏州）如图，平行四边形纸条ABCD中，中，E，F分别是边分别是边AD，BC的中点，张的中点，张老师请同学将纸条的下半部分老师请同学将纸条的下半部分口口ABFE沿沿EF翻翻折，得到一个折，得到一个V字形图案。字形图案。（1）请你在原图中画出翻折后的图形）请你在原图中画出翻折后的图形 口口ABFE；（用尺规作图，不写画法，保留作；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）图痕迹）（2）已知）已知A=630，求求BFC的大小。的大小。（1）作图如图）作图如图:（2）例例9、如图、如图,菱形菱形ABCD,E、F分别为分别为BC、CD上的点上的点,且且B=EAF=60,若若BAE=20,求求CEF的度数的度数分析：连结分析：连结AC，由菱形的，由菱形的特征与已知条件可得特征与已知条件可得ABC为等边三角形，为等边三角形，BAC=ACD=60，由，由EAF=60，可得，可得BAE=CAF，进而可得，进而可得ACF是是ABE绕点绕点A旋转旋转60得到，得到，AE=AF，得，得AEF为等边三角形，从而为等边三角形，从而求出求出CEF解：连结解：连结AC，菱形，菱形ABCD中，中，AB=BC，ACB=ACD.B=60,ABC是等边三角形是等边三角形.于是有于是有BACACBACD=60,AB=AC.由已知由已知EAF=60,可得可得 BAE=CAF.ACF是是 ABE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转60得到的得到的.AE=AF.AEF是等边三角形是等边三角形,AEF=60.AEC=AEF CEF=B BAE，CEF BAE20.说明：菱形是特殊的平行四边形，除说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有以下具有平行四边形的性质外，还有以下特性：特性：(1)菱形的四条边相等；菱形的四条边相等；(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角例例10、已知，正方形、已知，正方形ABCD，ADE是等是等边三角形，求边三角形，求BEC的度数的度数.分析：本题应分两种情况考虑：分析：本题应分两种情况考虑：(1)点点E在正方形在正方形ABCD的外部的外部;(2)点点E在正方形在正方形ABCD的内部的内部.然后应用正方形和等边三角形的有关特征然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解即可求解.解：解：(1)如图如图当点当点E在正方形在正方形ABCD的外部的外部时，由时，由ABCD是正方形，是正方形，ADE是等边三角形，得是等边三角形，得CDE9060150，DEADDC，因此因此DECECD(180150)215.同理可推得同理可推得ABE15.则则BECAEDAEBDEC60151530.(2)如图如图当点当点E在正方形在正方形ABCD的内部的内部时，由时，由ABCD是正方形，是正方形，ADE是等边三角形，得是等边三角形，得EABDABDAE906030,AEADAB,因此因此AEBABE(18030)275.同理可推得同理可推得DEC75.则则BEC360AEBAEDDEC360756075150.说明：以正方形的一边画等边三角形有两种情况，说明：以正方形的一边画等边三角形有两种情况，解此题时容易漏解解此题时容易漏解 在解有关特殊四边形的问题时，要充在解有关特殊四边形的问题时，要充分利用其特征。分利用其特征。证明两线段互相平分，设法证明线段证明两线段互相平分，设法证明线段四个端点组成的四边形是平行四边形四个端点组成的四边形是平行四边形往往是解决问题的关键。往往是解决问题的关键。平行四边形常常还是证明线段相等或平行四边形常常还是证明线段相等或平行、角相等的有效手段。平行、角相等的有效手段。
