误差椭圆.教学教材.ppt

1误差椭圆.2误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 知识准备知识准备 1.1.点位真误差点位真误差 在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观测值，通过平差计算所获得的是待定点坐标的平差值测值，通过平差计算所获得的是待定点坐标的平差值 ，而不是待定点坐标的真值而不是待定点坐标的真值 ，。如图如图3.5-13.5-1中，中，A A为已知点，假定其坐标是不带误差的数值。为已知点，假定其坐标是不带误差的数值。P P为待定点的真位置，为待定点的真位置，PP点为经过平差所得的点位，两者点为经过平差所得的点位，两者之距离为之距离为P P，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差x x ，y y ，则：，则：23 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 （3.5-13.5-1）且有且有 （3.5-23.5-2）x x ，y y 为真位差在为真位差在x x轴和轴和y y轴上两轴上两个位差分量，也可理解为真位差在坐个位差分量，也可理解为真位差在坐标轴上的投影。设标轴上的投影。设x x ，y y 的中误的中误差为差为 ，考虑，考虑x x与与y y互相独立，互相独立，对式对式(3.5-2)(3.5-2)进行误差传播，可得点进行误差传播，可得点P P真真 图图3.5-13.5-1位差的方差位差的方差P P 为为 （3.5-33.5-3）式中，式中，通常定义为点通常定义为点P P的点位方差；的点位方差；为点位中误差。为点位中误差。如果将图如果将图3-13-1中的坐标系旋转某一角度，即以中的坐标系旋转某一角度，即以 为坐为坐34 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆标系（图标系（图3.5-23.5-2），则可以看出），则可以看出P P的大小将不受坐标轴的变动的大小将不受坐标轴的变动而发生变化，此时而发生变化，此时 ，仿式仿式(3.5-3)(3.5-3)可得可得 (3.5-4)(3.5-4)这说明，尽管点位真误差这说明，尽管点位真误差P P在不同坐标系的两个坐标轴上的投在不同坐标系的两个坐标轴上的投影长度不等，但点位方差影长度不等，但点位方差 总是等总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，即它与坐标系的选择无关。差之和，即它与坐标系的选择无关。图图3.5-23.5-2 如果再将点如果再将点P P的真位差的真位差P P投影于投影于APAP方向和垂直于方向和垂直于APAP的的方向上，则得方向上，则得 和和 （见图（见图3.5-13.5-1），），、为点的纵向误差和为点的纵向误差和横向误差，此时有横向误差，此时有 （3.5-53.5-5）45 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆仿式（仿式（3.5-33.5-3）又可以写出）又可以写出 （3.5-63.5-6）通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也是一种常用的方法。是一种常用的方法。上述的上述的 和和 分别为点在分别为点在x x轴和轴和y y轴方向上的中误差，或轴方向上的中误差，或称为称为x x轴和轴和y y轴方向上的位差。同样，轴方向上的位差。同样，和和 是点在是点在APAP边的纵边的纵向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其向和横向上的位差。为了衡量待定点的精度，一般是求出其点位中误差点位中误差 ，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式（误差，就可由式（3.5-33.5-3）或式（）或式（3.5-63.5-6）计算点位中误差）计算点位中误差。返回56 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 2 2 点位误差及其计算点位误差及其计算 点位方差可用式（点位方差可用式（3.5-33.5-3）计算，由定权的基本公式可知，）计算，由定权的基本公式可知，（3.5-73.5-7）将上式代入式（将上式代入式（3.5-33.5-3）可得）可得 （3.5-83.5-8）可见，只要计算出可见，只要计算出 、及单位权方差及单位权方差 ，就可计算出，就可计算出 。关于。关于 、的计算问题，以间接平差方法概述如下：的计算问题，以间接平差方法概述如下：当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平当以三角网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵 ，当平差，当平差问题中只有一个待定点时问题中只有一个待定点时 （3.5-93.5-9）67 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 其中主对角线元素其中主对角线元素 、就是待定点坐标平差值就是待定点坐标平差值x x、y y的权的权倒数，而倒数，而 、则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s s个待定点时，参数的协因数阵为个待定点时，参数的协因数阵为 （3.5-103.5-10）待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。返回78 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 1 1 误差曲线误差曲线 误差曲线的定义是：以待定点误差曲线的定义是：以待定点P P为极点，为极点，为极角，为极角，为长为长度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方度的极坐标点的轨迹，这个曲线把各方向的位差清楚地图解出来了，如图向的位差清楚地图解出来了，如图3.5-53.5-5中中OPOP的长度就是的长度就是O O点在点在OPOP方向上的位方向上的位差。由图差。由图3.5-53.5-5可看出，误差曲线关于两可看出，误差曲线关于两个极轴（个极轴（E E轴和轴和F F轴）对称，通常称之为轴）对称，通常称之为点位误差曲线或点位精度曲线。点位误差曲线或点位精度曲线。误差曲线在工程测量中有广泛的应误差曲线在工程测量中有广泛的应用，当控制网略图和待定点的误差曲线用，当控制网略图和待定点的误差曲线 图图3.5-53.5-5 89 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大小。如图小。如图3.5-63.5-6为控制网中为控制网中P P点的点位误差曲线，点的点位误差曲线，A A、B B、C C为已为已知点。由图知点。由图3.5-63.5-6可知，可知，由图还可得到坐标平差值函数的中由图还可得到坐标平差值函数的中误差。例如要想得到平差后方位角误差。例如要想得到平差后方位角 的中误差的中误差 ，可先从图中量出，可先从图中量出垂直于垂直于PAPA方向上的位差方向上的位差 ，这是，这是 边的横向误差边的横向误差 ，则由下式可得，则由下式可得 图图3.5-63.5-6 上式中上式中 为为PAPA的长度。又如的长度。又如PBPB边长的中误差为边长的中误差为 。910 误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 2 2 误差椭圆误差椭圆 误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用误差曲线作图不太方便，因此实用价值不高，为此可用形状与误差曲线很相似，以形状与误差曲线很相似，以E E、F F为长、短半轴的椭圆来代替为长、短半轴的椭圆来代替它（如图它（如图3.5-73.5-7所示）。所示）。此椭圆称点位误差椭圆，而此椭圆称点位误差椭圆，而 、E E、F F称为点位误差椭圆的元称为点位误差椭圆的元素（参数）。误差椭圆与误差曲素（参数）。误差椭圆与误差曲线的两个极值方向完全重合，其线的两个极值方向完全重合，其他各处两者差距也甚微，在点位他各处两者差距也甚微，在点位误差椭圆上也可以图解出任意方误差椭圆上也可以图解出任意方向向 的位差的位差 。其方法是：如图。其方法是：如图3.5-73.5-7所示，自椭圆作所示，自椭圆作 方向的正交方向的正交 图图3.5-73.5-71011误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆切线切线PDPD，P P为切点，为切点，D D为垂点，可以证明为垂点，可以证明 。从图。从图3.5-73.5-7中可以看出，与中可以看出，与 相应在相应在 方向上误差椭圆的向径方向上误差椭圆的向径 ，由，由于于 与与 相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不相差很小，在估算控制网中可近似应用，一般不作误差曲线。作误差曲线。需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为需要指出的是，在以上的讨论中，都是以一个待定点为例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问例，说明了如何确定该点点位误差椭圆或点位误差曲线的问题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法，题。如果网中有多个待定点，也可以利用上述相同的方法，为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。为每一个待定点确定一个点位误差椭圆或点位误差曲线。若平差采用间接平差法，设有若平差采用间接平差法，设有s s个待定点，则有个待定点，则有2s2s个坐标个坐标未知数，其相应的协因数阵为式（未知数，其相应的协因数阵为式（3.5-103.5-10）。为了计算第）。为了计算第i i点点点点位误差椭圆的元素，则需用到位误差椭圆的元素，则需用到 、和和 ，并按第一节中，并按第一节中所述的方法，由式（所述的方法，由式（3.5-243.5-24）、式（）、式（3.5-183.5-18）和式（）和式（3.5-193.5-19）算）算1112误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆出出 、，然后，作出该点的点位误差椭圆。，然后，作出该点的点位误差椭圆。另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图另外还要指出，前面曾说明如何利用点位误差曲线从图上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂上量出已知点与待定点之间的边长中误差，以及与该边相垂直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个直的横向中误差，从而求出方位角中误差。如果网中有多个待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这待定点时，则可作出多个点位误差曲线，此时，也可利用这些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误些点位误差曲线，确定已知点与任一待定点之间的边长中误差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长差或方位角中误差，但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差，这是因为这些待定点的坐标是相关中误差或方位角中误差，这是因为这些待定点的坐标是相关的。要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置的。要解决这个问题，需要了解任意两个待定点间相对位置的精度情况。的精度情况。返回本章首页1213误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆情景解答情景解答 :(1)(1)计算计算P1P1点的误差椭圆的元素点的误差椭圆的元素由由得得 =58.68=58.68 (2)(2)计算计算P2P2点的误差椭圆的元素点的误差椭圆的元素由由得得 =64.33=64.331314误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆 (3)(3)计算计算P1P1与与P2P2点间的相对误差椭圆元素点间的相对误差椭圆元素 1415误差椭圆误差椭圆误差椭圆误差椭圆由由得得 =65.85=65.851516此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢