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第一章第一章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2021/9/231本章内容：本章内容：第一节 投影法的基本知识 第二节 点的投影 第三节 直线的投影 第四节 平面的投影 第五节 直线与平面的相对位置和两平面的相对位置 第六节 换面法2021/9/232第一节第一节 投影法的基本知识投影法的基本知识2021/9/233 在光线的照射下，物体在给定的平面上产生影象，这就是投影法的原型。投射线光源物体投影面投影一、投影的方法一、投影的方法 投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影。2021/9/234a 投影投射线bP一、投影的方法一、投影的方法2021/9/2351.1.中心投影法中心投影法S 投射中心aba形体物体的中心投影投射线P二、投影的分类：二、投影的分类：2021/9/236abc90投射线方向P2.2.平行投影法平行投影法（1）斜投影法2021/9/23790投射线方向abcP优点：反应物体真实形状和大小、度量性好、作图简便。2.2.平行投影法平行投影法（2）正投影法2021/9/238 第二节第二节 点的投影点的投影2021/9/239APa 在一定的投影条件下，空间一点有其惟一确定的投影。2021/9/2310点的一个投影不能确定点的空间位置aPBb()A2021/9/2311水平投影面 H 正立投影面 V 投 影 轴 OX 四个象限角 1.两投影面体系的建立两投影面体系的建立HXOV一、两投影面体系中点的投影一、两投影面体系中点的投影2021/9/2312OXVAaaxaH2.点在两投影面第一角中的投影点在两投影面第一角中的投影A空间点a水平（H面）投影a正面（V面）投影ax投影集合点2021/9/2313VOXaaxHa2.点在两投影面第一角中的投影点在两投影面第一角中的投影2021/9/23142.点在两投影面第一角中的投影点在两投影面第一角中的投影OXVAaaxaHVOXaaxHa2021/9/23152.点在两投影面第一角中的投影点在两投影面第一角中的投影OXaaxaOXVAaaxaH1）点的水平投影和正面投影连线垂直于投影轴。2）点的水平投影到X轴距离反映该点到V面距离，点的正面投影到X轴距离反映该点到H面距离。2021/9/2316WZY二、三投影面体系第一角中点的投影二、三投影面体系第一角中点的投影1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立XVOH侧立投影面 W 投影轴 OY、OZ八个象限角三投影面体系第一角2021/9/2317WXVOHZYAaaxaaazay2.点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影a”侧面（W面）投影ay、az投影集合点2021/9/2318XVOHZYWaxazYH2.点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影aaaW2021/9/2319OXZYWaaxaaazYHaYHaYW2.点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影、2021/9/2320 1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于X轴；侧面投影与正面投影的连线垂直于Z轴。2）点的水平投影到X轴的距离和侧面投影到Z轴的距离相等，且都反映该点到V面的距离。OZYWaaxaaazYHaYHaYWX2021/9/2321例例1 1：已知点：已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。YHYWOXYaaa2021/9/2322例例1 1：已知点：已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。YHYWOXYaaa2021/9/23233.点的投影与坐标点的投影与坐标、OZYWaaxaaazYHaYHaYWzaxaYaX（点A到W之距离）（点A到V之距离）（点A到H之距离）Z2021/9/2324例例2 2：已知点：已知点A的坐标为的坐标为(20,15,10),(20,15,10),求作其三面投影求作其三面投影YHYWOXZaaa20aXaYHaz10152021/9/2325YHYWOXZaaa例例2 2：已知点：已知点A的坐标为的坐标为(20,15,10),(20,15,10),求作其三面投影求作其三面投影2021/9/2326OXZYa(A)aaA4.4.特殊位置的点特殊位置的点VHW2021/9/2327YHYWOXZaa4.4.特殊位置的点特殊位置的点a(A)OXZYa(A)aaVHW2021/9/2328VHXZYa(A)aaBb(B)bbYHYWOXZa(A)aa4.4.特殊位置的点特殊位置的点OW2021/9/2329YHYWOXZa(A)aab(B)4.4.特殊位置的点特殊位置的点bbVHXZYa(A)aab(B)bbOW2021/9/2330YHYWOXZa(A)aab(B)4.4.特殊位置的点特殊位置的点bbVHXZYa(A)aab(B)bbOc(C)cCcW2021/9/2331YHYWOXZa(A)aab(B)4.4.特殊位置的点特殊位置的点bbc(C)ccVWHXZYa(A)aab(B)bbOc(C)cc2021/9/2332aabWXVHABZYabb三、两点的相对位置、重影点三、两点的相对位置、重影点x|xAxB|y|yAyB|z|zAzB|zxybOXaabbaZYHYWO2021/9/2333OVHAb aaBbCdc d cXD重影点重影点()()2021/9/2334OXb(a)dbacd(c)重影点重影点OVHAb aaBbCdc d cXD()()2021/9/2335OXVZYHWVAaaabBbb()重影点重影点2021/9/2336上遮下、前遮后、左遮右2021/9/2337第三节第三节 直线的投影直线的投影2021/9/2338ABabCDc(d)直线的投影特性直线的投影特性 直线的投影一般仍为直线；当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，称其在该投影面上具有积聚性。H同面投影不同的几何元素在同一投影面上的投影2021/9/2339一、直线对投影面的各种相对位置一、直线对投影面的各种相对位置1.1.一般位置直线一般位置直线倾斜于三个投影面的直线倾斜于三个投影面的直线2.2.投影面平行线投影面平行线仅平行于一个投影面的直线仅平行于一个投影面的直线3.3.投影面垂直线投影面垂直线垂直于一个投影面的直线垂直于一个投影面的直线 后两类统称为后两类统称为特殊位置直线特殊位置直线 直线与H、V和W三个投影面的夹角称为直线对投影面的倾角 分别用 、表示 2021/9/2340XaabYHWbObaZYbYZabbBAVaaXOHW1.一般位置直线的投影一般位置直线的投影（1 1）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。）线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。（2 2）直线的各投影均倾斜于投影轴）直线的各投影均倾斜于投影轴 2021/9/23412.投影面的平行线投影面的平行线平行于平行于H H面的直线称为面的直线称为水平线水平线平行于平行于V V面的直线称为面的直线称为正平线正平线平行于平行于W W面的直线称为面的直线称为侧平线侧平线 定义定义：仅仅平行于一个投影面的直线，称为投影平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线。面平行线。2021/9/2342aBbVHAbbaYWOaXabbYWbaZYHOaX（1）水平线水平线1、ab=AB 2、反映、实角3、ab/OX轴 ab/OYW轴 2021/9/2343bYZabbBAHVaaXOWYWYHZabbaaOb（2）正平线正平线1、ab=AB 2、反映、实角 3、ab/OX轴 ab/OZ轴2021/9/2344（3）侧平线侧平线bYZbAHVaaXOWBabWbYYHZabbaaXO1、ab=AB 2、反映、实角3、ab/OZ轴 ab/OYH轴2021/9/23451.投影面平行线在其所平行的投影面上的投影反映线段的实长；2.与投影轴的夹角反映直线对另两个投影面的倾角；3.线段的另两个投影平行于投影轴，且小于实长。投影面平行线投影性质：投影面平行线投影性质：2021/9/23463.投影面的垂直线投影面的垂直线分类：分类：垂直于垂直于H H面的直线称为面的直线称为铅垂线铅垂线垂直于垂直于V V面的直线称为面的直线称为正垂线正垂线垂直于垂直于W W面的直线称为面的直线称为侧垂线侧垂线 定义：垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。定义：垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。2021/9/2347OXab(a)baZYHYW b（1）铅垂线）铅垂线bW OXaVHABbaZYb(a)2021/9/2348bYZabBAHVaXOb(a)WbYWYHZabab(a)XO（2）正垂线）正垂线2021/9/2349（3）侧垂线）侧垂线YZabbBAHVaaXOW(b)HYWYZ(b)abbaaXO2021/9/23501.投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一个点；（积聚性）2.线段的另两个投影垂直于相应的投影轴，且等于实长。投影面垂直线投影性质：投影面垂直线投影性质：2021/9/2351OXaaVHABbbCccOXaabbccAC:CB=ac:cb=ac:cb若C AB 则c ab,c a b 三、属于直线的点三、属于直线的点从属性定比性2021/9/2352OXaaVHABbbCccB0C0OXaabbcc例例6 6：已知线段已知线段ABAB的投影，试在线段上确定一点的投影，试在线段上确定一点C C，使，使AC:CB=2:3AC:CB=2:3。分析：欲将空间线段分成定比，根据上述投影特性，只需将线段的各投影分成该比即可。2021/9/2353kaOXaabbZYHYW kkb例例7：已知直线：已知直线AB和点和点K的投影，判断点的投影，判断点K是否属于线是否属于线 段段AB结论：K AB解法：2021/9/2354四、四、两直线的相对位置两直线的相对位置平行二直线相交二直线交叉二直线（异面）2021/9/2355HdcCbaABD空间两直线平行则其在投影面上的投影平行1.平行二直线平行二直线2021/9/2356OXaaVHABbbCccDdd如图 若AB/CD，则 ab/cd ab/cd；对于一般位置直线来说，反之若 ab/cd ab/cd，则 AB/CD 若AB/CD 则AB:CD=ab:cd=ab:cd=ab:cdOXaabbccdd2021/9/2357edgfOXddZYHYWefggfe例例8 8：已知线段DE、FG的两个投影de/fg，de/fg，判断空间两线段是否平行。结论：结论：空间两 直线不平行。2021/9/2358 当两直线同时平行于某一投影面时，要判断它们是否平行，一般则查看该两直线在它们所平行的那个投影面上的投影是否平行。对于一般位置直线，若两直线的两个同面投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定相互平行。判断两直线是否平行：判断两直线是否平行：2021/9/2359OXaaVHABbbCccDddkkK 相交两直线的同面投影必相交，且其交点符合点的投影特性2.相交两直线相交两直线2021/9/2360kkOXaabbccdd若若 两直线的各同面投影相交，且投影交点符合点的投影规律则则 两直线在空间必为相交两直线2021/9/2361第三节第三节 平面的投影平面的投影2021/9/2362不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形一、平面的表示法一、平面的表示法 1.几何元素表示法几何元素表示法aabcbcabcabcaddccbabbabcacbabcac2021/9/23632.迹线表示法迹线表示法迹线：平面与投影面的交线PH ：平面P与H面的交线 水平迹线PV ：平面P与V面的交线 正面迹线PW ：平面P与W面的交线 侧面迹线 PX,Py,Pz:迹线集合点ZXYHYWPZPVPXPYHPYWPHPWZPYPXPWXOVHZYPPVPWPH2021/9/2364二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对位置1.一般位置平面倾斜于三个投影面的平面2.投影面垂直面仅垂直于一个投影面的平面3.投影面平行面平行于一个投影面的平面 后两类统称为特殊位置平面 平面与H、V和W三个投影面的夹角称为平面对投影面的倾角 分别用 、表示 2021/9/23651.一般位置平面一般位置平面不反映实形，面积缩小，是空间图形的类似形类似形WcXOaaVHABbbCccaZYbaabbccaXOZHYYWcb2021/9/2366铅垂面正垂面侧垂面 2.投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另外两个投影面都倾斜的平面。投影面垂直面分类：投影面垂直面分类：2021/9/2367PH迹线表示铅垂面：铅垂面：积聚性类似性类似性PcCbaBAWVHXZYcbacbacbaYWZYHXO（1）水平投影具有积聚性。（2）水平投影与OX轴的夹角，反映 角；与OYH轴的交角，反映该 角。（3）正面投影及侧面投影为该平面的类似形。2021/9/2368正垂面：正垂面：cbaCBAWHVXQVQZ积聚性类似性类似性cYHcbaabcbaXYWO迹线表示（1）正面投影具有积聚性。（2）正面投影与OX轴的夹角，反映 角；与OZ轴的夹角，反映该 角。（3）水平投影及侧面投影为该平面的类似形。2021/9/2369侧垂面：侧垂面：积聚性类似性类似性cbYHYWcbacbXO迹线表示SWacbCBAWHVXSWSZY（1）侧面投影具有积聚性。（2）侧面投影与OYW 轴的夹角，反映 角；与OZ轴的夹角，反映该 角。（3）水平投影及侧面投影为该平面的类似形。2021/9/2370投影面垂直面投影特性：投影面垂直面投影特性：1)在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。2)该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2)另外两个投影面上的投影有类似性,面积缩小2021/9/2371水平面正平面侧平面 3.3.投影面平行面投影面平行面 定义：平行于一个投影面的平面。投影面平行面分类：投影面平行面分类：2021/9/2372水平面：水平面：cbYWYHZaccbbaaOXPVPW迹线表示accCbbBAHVaaXWbcPVPWZY（1）水平投影反映实形。（2）正面投影和侧面投影有积聚性，分别平行于OX轴和OYW轴。2021/9/2373正平面：正平面：迹线表示QHQWcacCbbBAHVaaXcbWZYcbYWYHZaccbaaO（1）正面投影反映实形。（2）水平投影和侧面投影有积聚性，分别平行于OX轴和OZ轴。2021/9/2374cbYWYHZaccbbaaOX侧平面：侧平面：cbaccCbbBAHVaaOXWZY迹线表示SVSH（1）侧面投影反映实形。（2）正面投影和水平投影有积聚 性，分别平行于OZ轴和OYH轴。2021/9/2375投影面平行面投影特性：投影面平行面投影特性：1）在它所平行的投影面上的投影反映实形反映实形；2）另两个投影面上的投影分别积聚成积聚成与相应的投影 轴平行的直线直线。2021/9/2376若点属于平面内任一直线属于平面内任一直线，则此点属于该平面。定理一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。三、属于平面的点和直线三、属于平面的点和直线PABCDPABCDE定理二：若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一 直线，则此直线在该平面内。1.属于一般平面的属于一般平面的2.点和直线点和直线定理：2021/9/2377例例1313：已知点：已知点K在平面在平面ABC上，求点上，求点K的水平投影。的水平投影。通过在面内作辅助线求解abcXOkabckdd2021/9/23782021/9/2379