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九年级数学下册 第3章 圆 3 垂径定理课件（新版）北师大版2022/11/22【可编辑】学学 习习 新新 知知 如右图所示，“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少?【问题】当弦ABCD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角?垂径定理垂径定理【做一做】如右图所示，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.问题问题1此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.问题问题2你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,CMA与CMB重合,DMA与DMB重合,重合,重合,所以等量关系有AM=BM,CMA=CMB=90,DMA=DMB=90,.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的注意事项垂径定理的注意事项:(1)条件中的“弦”可以是直径;(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.符号语言:CD是圆的直径,CDAB于M,AM=BM,垂径定理的证明如右图所示,已知AB是O的一条弦,CD是O的一条直径,并且CDAB,垂足为M.求证AM=BM,证明:连接OA，OB，则OA=OB.在RtOAM和RtOBM中，OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM，AOC=BOC.AOD=180-AOC，BOD=180-BOC，AOD=BOD.知识拓展1.垂径定理是在圆中证明线段相等及弧相等的一种非常好的方法.2.连接半径是圆中最常用的辅助线作法.垂径定理的逆定理如右图所示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于M.(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.思考下面的问题:1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗?2.平分弦中的弦可以是直径吗?3.你得出的结论和垂径定理有什么区别?我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的逆定理.符号语言表示:CD是圆的直径,CD平分AB(AB不是直径),CDAB,知识拓展垂径定理及逆定理的运用方法为知二推二:在“直径、垂直于弦、平分弦、平分弧”四个结论中,已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论.3.如图所示，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P.若CD=8，OP=3，则O的半径为.解析:连接OC，CDAB，CD=8，PC=CD=8=4，在RtOCP中，PC=4,OP=3，OC=故填5.54.如图(1)所示，水平放置的一个油管的截面半径为13 cm，其中有油部分油面宽AB为24 cm，求截面上有油部分油面高CD.解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.解:如图(2)所示，连接OA.根据垂径定理,得AC=BC=12 cm.在RtOAC中，OA=13 cm，AC=12 cm.根据勾股定理，得OC=5 cm，CD=OD-OC=8 cm.油面高CD为8 cm.