北航大一上工科数学分析期末总复习.ppt

第四章第四章 Taylor公式公式 二、微分的定义二、微分的定义四四 Taylor公式公式二二 其他余项其他余项Cauchy余项余项Lagrange余项余项 常用展开式常用展开式1.2.熟记3.4.应用求极限求极限例例2解：解：六六 用用Taylor公式证明问题的技巧公式证明问题的技巧 的选择关键关键例例4证：证：例例7证：证：说明：说明：二、二、基本积分表基本积分表第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1例例2 2 求求解解一般地一般地例例4 4 求求解解例例6 6 求求解解问题问题解决方法解决方法过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2二、第二类换元法二、第二类换元法例例1515 求求解解 令令基基本本积积分分表表 问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一、分部积分一、分部积分例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分令令（万能置换公式万能置换公式）真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1例例9 9 求积分求积分解解34三、可积的充分必要条件三、可积的充分必要条件35四、可积函数类四、可积函数类361.1.线性线性2.2.保序保序373.3.可加性可加性38定理定理7.47.4推论推论39几何解释：几何解释：4.4.积分中值定理积分中值定理40推广的积分中值定理推广的积分中值定理证明：证明：41一、变上限积分函数一、变上限积分函数1.1.2.2.定理定理1 1变上限积分函数变上限积分函数42补充补充证证43例例1 1 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.44证证4546定理定理 4 4（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式47例例2 2 计算计算解解48证证49定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导二、分部积分公式二、分部积分公式50例例1010 计算计算解解例例4.设 f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：解解:(1)记记并由此计算并由此计算52A、直角坐标系情形、直角坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积平面图形的面积53解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量54面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积C、极坐标系情形、极坐标系情形55解解利用对称性知利用对称性知56xyo旋转体的体积为旋转体的体积为二、参数方程情形二、参数方程情形三、直角坐标情形三、直角坐标情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形四、极坐标情形2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意:直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;xyo