电气测量技术23.ppt

测量误差及其分析随机误差的处理2021/9/151随机误差的统计特性和概率分布随机误差的数学表达随机误差的统计特性随机误差的概率分布2021/9/152随机误差的数学表达根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差系统误差和和随机误差随机误差，即，即A A=+=A=Ax x-A-A0 0在一般工程测量中，系统误差在一般工程测量中，系统误差大于大于随机误差随机误差 ，即，即 ，相对来讲随机误差可以忽略，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差即可。不计，此时只需处理和估计系统误差即可。2021/9/153随机误差的数学表达在精密测量中，系统误差已经消除或小得在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即可以忽略不计时，即00，可得，可得A A=A=Ax x-A-A0 0即即随机误差随机误差等于测量值与其真值之差。等于测量值与其真值之差。这种情况下，随机误差显得特别重要，所以这种情况下，随机误差显得特别重要，所以在处理和估计误差时，在处理和估计误差时，必须且只需考虑随机必须且只需考虑随机误差误差2021/9/154随机误差的数学表达当当系统误差和随机误差都不能忽略系统误差和随机误差都不能忽略时，系时，系统误差和随机误差应分别处理和估计，然统误差和随机误差应分别处理和估计，然后按一定的方式合成最后的系统误差和随后按一定的方式合成最后的系统误差和随机误差，以估计测量结果的准确度。机误差，以估计测量结果的准确度。2021/9/155随机误差的统计特性就单次测量而言，随机误差无规律，其大小、方向不可就单次测量而言，随机误差无规律，其大小、方向不可预知。但当测量次数足够多时，随机误差的总体服从统预知。但当测量次数足够多时，随机误差的总体服从统计学规律。计学规律。对某量进行无系统误差等精度（各种测量因素相同）重对某量进行无系统误差等精度（各种测量因素相同）重复测量复测量n n次，其测量读数分别为次，其测量读数分别为A A1 1，A A2 2，AAi iAAn n，则测，则测量误差分别为：量误差分别为：2021/9/156随机误差的统计特性有界性，即随机误差的绝对值不超过一定的界限。有界性，即随机误差的绝对值不超过一定的界限。单峰性，即绝对值小的随机误差比绝对值大的随机单峰性，即绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。误差出现的概率大。对称性，等值反号的随机误差出现的概率接近相等。对称性，等值反号的随机误差出现的概率接近相等。抵偿性，当抵偿性，当nn时，随机误差的代数和为零。时，随机误差的代数和为零。2021/9/157随机误差的统计特性在在一一定定的的条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定定的限度的限度;（有界性）（有界性）绝绝对对值值小小的的误误差差比比绝绝对对值值大大的的误误差差出出现现的的机机会会要要多多；（密集性、区间性）（密集性、区间性）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相可相互抵消；互抵消；同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零随着观测次数的增加而趋近于零2021/9/158随机误差的概率分布随机误差的概率分布有很多种。随机误差的概率分布有很多种。常见：常见：正态分布、均匀分布、正态分布、均匀分布、t t分布分布、反正、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。弦分布、梯形分布和三角分布等。正态分布正态分布随机误差是个随机变量，而这个随机变量是随机误差是个随机变量，而这个随机变量是由大量的、相互独立的、微弱的因素所组成。由大量的、相互独立的、微弱的因素所组成。在大多数情况下，随机误差的概率都服从正在大多数情况下，随机误差的概率都服从正态分布或接近正态分布。态分布或接近正态分布。2021/9/159随机误差的概率分布正态分布的随机误差概率密度函数概率密度函数2021/9/1510随机误差的概率分布正态分布曲线2021/9/1511随机误差的概率分布均匀分布2021/9/1512随机误差的概率分布T分布2021/9/1513随机变量的特征参数测量数据的数学期望测量数据的数学期望随机变量的方差和标准差随机变量的方差和标准差测量数据数学期望的估计测量数据数学期望的估计l算术平均值原理算术平均值原理l标准偏差的估计标准偏差的估计l算术平均值的标准差算术平均值的标准差测量结果的置信度测量结果的置信度2021/9/1514测量数据的数学期望对一个被测量在等精度条件下进行多次独立测量，对一个被测量在等精度条件下进行多次独立测量，若已消除了系统误差，则所得测量数据是一个随若已消除了系统误差，则所得测量数据是一个随机变量，以机变量，以A A表示，其数学期望表示，其数学期望M(A)M(A)为为式中式中n n 测量次数测量次数 A Ai i 第第i i次的测量结果次的测量结果根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零根据随机误差的抵偿特性，随机误差的数学期望为零2021/9/1515测量数据的数学期望对随机误差表达式A A=A=Ax x-A-A0 0两边两边取其数学期望，则被测量真值的数学期望就是真值本身，即M(A0)=A0在等精度重复测量中，当在等精度重复测量中，当nn时，测量数时，测量数据的数学期望就是被测量的真值。据的数学期望就是被测量的真值。数学期望体现了随机变量分布中心的位置数学期望体现了随机变量分布中心的位置2021/9/1516随机变量的方差和标准差服从正态分布的随机变量，其方差定义为随机误差的抵偿性会使正负误差相互抵随机误差的抵偿性会使正负误差相互抵消，故不能采用误差直接平均而须采用平消，故不能采用误差直接平均而须采用平方后平均。方后平均。方差对绝对值大的误差反映比较灵活，方差对绝对值大的误差反映比较灵活，而而可客观地表征测量数据的离散程度。而而可客观地表征测量数据的离散程度。方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测量结果的表示中不是很方便，因而经常不用方差而使用标准偏差，表示中不是很方便，因而经常不用方差而使用标准偏差，简称标准差。简称标准差。2021/9/1517随机变量的方差和标准差标准差定义为方差的正的算术平方根标准差标准差是测量数据离散程度的表征是测量数据离散程度的表征标准差标准差值愈小，测量数据愈集中，概值愈小，测量数据愈集中，概率密度曲线愈陡峭。率密度曲线愈陡峭。标准差标准差值愈大，测量数据愈分散，概值愈大，测量数据愈分散，概率密度曲线愈平坦。率密度曲线愈平坦。在一定的置信概率下，标准差在一定的置信概率下，标准差值愈小，所对应的误差极限范围愈小，则测量值愈小，所对应的误差极限范围愈小，则测量数据的可靠性愈大。数据的可靠性愈大。2021/9/1518测量数据数学期望的估计存在问题：测量数据的数学期望是在测量存在问题：测量数据的数学期望是在测量次数足够（次数足够（nn）的条件下，定义的，）的条件下，定义的，而在实际测量中，不可能满足这个条件而在实际测量中，不可能满足这个条件.解决办法：根据有限的测量数据求出数学解决办法：根据有限的测量数据求出数学期望的估计值或近似值。期望的估计值或近似值。算术平均值是被测量算术平均值是被测量A A数学期望（真值）数学期望（真值）M M（A A）的最佳估计，这一原理）的最佳估计，这一原理算术平均算术平均值原理值原理。2021/9/1519测量数据数学期望的估计算术平均值原理算术平均值原理假设对某被测量假设对某被测量A A进行进行n n次等精度无系统误差次等精度无系统误差独立测量，测得数据为：独立测量，测得数据为：A Ai i(i=1,2,3n)(i=1,2,3n)被测量列（由被测量列（由A A1 1,A,A2 2AAn n组成的数据列）的最组成的数据列）的最佳可信赖值是佳可信赖值是测量列的算术平均值测量列的算术平均值。前提前提1 1:n:n次等精度次等精度(1 1=2 2=n n=)前提前提2 2:无系统误差无系统误差(=0)=0)2021/9/1520测量数据数学期望的估计算术平均值的数学表达式A充分性：估计值充分性：估计值 包含了样本（测量列）的全部信息包含了样本（测量列）的全部信息无偏性：估计值无偏性：估计值 围绕被估计参数围绕被估计参数M M（A A）摆动，且）摆动，且M()=M(A)M()=M(A)AA有效性：估计值有效性：估计值 摆动幅度比单个测量值摆动幅度比单个测量值A Ai i小小A一致性：随着测量次数一致性：随着测量次数n n的增加，的增加，趋于被测参数的趋于被测参数的M M（A A）A2021/9/1521测量数据数学期望的估计特殊处理特殊处理1:1:在实际应用中，当测量次数比较大，测在实际应用中，当测量次数比较大，测量数据有效位数比较多时，计算非常烦琐量数据有效位数比较多时，计算非常烦琐-可可先假定一个准算术平均值先假定一个准算术平均值 ，并计算出，并计算出A求出当当 选择合适时，选择合适时，AA的有效位数减少，计算可以简化的有效位数减少，计算可以简化2021/9/1522测量数据数学期望的估计特殊处理特殊处理2：当用计算机处理数据时，为减少内：当用计算机处理数据时，为减少内存资源，可采用递推算法存资源，可采用递推算法式中，-n个测量数据的算术平均值式中，-前n-1个测量数据的算术平均值2021/9/1523测量数据数学期望的估计标准偏差的估计标准偏差的估计存在问题：随机误差的定义为测量值与真值之差，存在问题：随机误差的定义为测量值与真值之差，而真值是不可能知道的，这样随机误差就变成一个而真值是不可能知道的，这样随机误差就变成一个未知数，使得标准偏差的期望无法得到。未知数，使得标准偏差的期望无法得到。解决办法：剩余误差代替随机误差而获得方差和标解决办法：剩余误差代替随机误差而获得方差和标准差的估计值。准差的估计值。贝塞尔公式贝塞尔公式贝塞尔公式的证明1-利用相关性证明2-参考概率论中的证明2021/9/1524测量数据数学期望的估计求和，可得到剩余误差的代数和为零，即式中，vi-剩余误差，其定义为：表明：表明：n个剩余误差不是独立的，而只有n-1 个独立变量。提示：利用 来检验 和vi计算是否正确2021/9/1525测量数据数学期望的估计方差估计值的实用算法和递推公式分别为：方差估计值的实用算法和递推公式分别为：-n个测量数据的方差估计值-前n-1个测量数据的方差估计值2021/9/1526测量数据数学期望的估计算术平均值的标准差根据概率论可知，算术平均值也是一个随机变量，它本身根据概率论可知，算术平均值也是一个随机变量，它本身也具有一定的随机性，即含有一定的随机误差。也具有一定的随机性，即含有一定的随机误差。算术平均值是测量值的数学期望的估计值，既然是估计值，算术平均值是测量值的数学期望的估计值，既然是估计值，就一定存在差值，这一差值就是随即误差。就一定存在差值，这一差值就是随即误差。如何评价算术平均值的随机误差（离散度）的大小？和其如何评价算术平均值的随机误差（离散度）的大小？和其他随机变量一样，算术平均值也是用其方差或标准差表示。他随机变量一样，算术平均值也是用其方差或标准差表示。2021/9/1527测量数据数学期望的估计证明等精度测量于是算术平均值的标准差为2021/9/1528测量数据数学期望的估计成立前提：测量次数趋于无穷大的条件成立前提：测量次数趋于无穷大的条件实际应用中，采用算术平均值的方差和标准差的估计值实际应用中，采用算术平均值的方差和标准差的估计值算术平均值的方差估计值算术平均值的标准差估计值2021/9/1529测量数据数学期望的估计结论算术平均值的方差仅为单次测量值方差的算术平均值的方差仅为单次测量值方差的1/n。实际测量中，测量次数一般取实际测量中，测量次数一般取10-2010-20次。次。在有限次等精度测量中，用算术平均值估计被测量要比测在有限次等精度测量中，用算术平均值估计被测量要比测量列中任何一个测量数据估计更为合理可信。量列中任何一个测量数据估计更为合理可信。增加测量次数增加测量次数n，可减小测量结果的标准偏差，以提高测，可减小测量结果的标准偏差，以提高测量的准确度。量的准确度。减小和提高意义是有限的。减小和提高意义是有限的。算术平均值的离散度比测量数据的离散度要小。2021/9/1530测量结果的置信度课堂自学：课堂自学：1515分钟分钟前前1010分钟学生自己看书分钟学生自己看书后后5 5分钟写出两个问题答案分钟写出两个问题答案l置信因子置信因子l置信度在正态分布中的应用举例。置信度在正态分布中的应用举例。2021/9/1531