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第四章第四章 复杂形体复杂形体2021/9/2314.1 4.1 基本体的交并差基本体的交并差4.2 4.2 复杂形体的画图和看复杂形体的画图和看 图方法图方法内内 容容2021/9/2324.1 4.1 基本体的交并差基本体的交并差ABA B(并并)A-B(差差)B-A(差差)A B(交交)1.概念概念2021/9/233：只用二实体相交部只用二实体相交部分来定义一实体为分来定义一实体为“交交”：用一基本体减另一基用一基本体减另一基本体，所余实体为本体，所余实体为“差差”：将二基本体连在一起，将二基本体连在一起，合并成一实体为合并成一实体为“并并”A B(并并)A-B(差差)B-A(差差)A B(交交)2021/9/234AB共面共面无线无线AB共面共面无线无线二基本体的表面关系分析二基本体的表面关系分析二表面共面二表面共面 之间无线之间无线2021/9/235AB相切相切无线无线AB相切相切无线无线二表面相切二表面相切 相切处无线相切处无线2021/9/236二表面相交二表面相交 平平平相交平相交曲曲曲相交曲相交平平曲相交曲相交由若干段直由若干段直线构成的空线构成的空间折线间折线由若干段平面由若干段平面曲线或直线构曲线或直线构成的空间折线成的空间折线空间曲线空间曲线2021/9/237立体与立立体与立体相交体相交 交线（相贯线）交线（相贯线）共性共性交线为二表面所共有交线为二表面所共有本节重点讨论：求交线的基本方法本节重点讨论：求交线的基本方法求交线的本质求交线的本质 求二表面的共有点求二表面的共有点2021/9/238例例交线形状分析交线形状分析由若干段平面曲线由若干段平面曲线（直线）构成的封（直线）构成的封闭的空间折线闭的空间折线交线求法交线求法实质是求平面体实质是求平面体各表面与回转体各表面与回转体的交线的交线此段外形轮廓线消失此段外形轮廓线消失2.求交线的基本方法求交线的基本方法求截交求截交线问题线问题交线投影分析交线投影分析H、W投影已知投影已知求求V投影投影交线的投影作图交线的投影作图2021/9/239此段外形轮廓线消失此段外形轮廓线消失折线的转折点即折线的转折点即 为棱线与为棱线与曲面体曲面体 的交点的交点可见性判断可见性判断若变成孔若变成孔将如何？将如何？外形轮廓线投影外形轮廓线投影 分别求平面体分别求平面体各表面与曲面体各表面与曲面体的交线的交线平面体与曲面体相交平面体与曲面体相交注意注意2021/9/2310讨论讨论内表面为四棱柱孔内表面为四棱柱孔有虚线有虚线圆柱变成圆柱变成圆柱筒将圆柱筒将如何？如何？分别求四棱柱孔与分别求四棱柱孔与圆柱外表面、圆柱圆柱外表面、圆柱内表面的交线内表面的交线无线无线交线不变交线不变2021/9/2311归纳归纳相交形式相交形式外表面与外表面相交外表面与外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交 内表面与内表面相交内表面与内表面相交 交线相同交线相同求交线的实质相同求交线的实质相同求交线的方法相同求交线的方法相同2021/9/2312曲面体与曲面体相交曲面体与曲面体相交封闭、封闭、光滑的空间曲线光滑的空间曲线交线形状分析交线形状分析2021/9/2313 交线求法交线求法例例1 1 圆柱与圆柱相交圆柱与圆柱相交方法方法1 1：利用积聚性投影：利用积聚性投影用面上取点的方法求解用面上取点的方法求解 求求V V面投影面投影H、W投影已知投影已知交线分析交线分析封闭的空间曲线封闭的空间曲线投影分析投影分析投影作图投影作图找特殊点找特殊点找中间点找中间点判别可见性判别可见性光滑连线光滑连线2021/9/2314 二圆柱进行二圆柱进行“差差”运算运算讨论讨论1-2212-12021/9/2315 二圆柱进行二圆柱进行“交交”运算运算讨论讨论只用二实体只用二实体相交部分来相交部分来定义一实体定义一实体为为“交交”二圆柱并、差、交运算的交线均相同2021/9/2316例例2 求二圆柱体的交线求二圆柱体的交线交线分析交线分析封闭的空间曲线封闭的空间曲线投影分析投影分析交线的交线的H、W投影已知投影已知求求V投影投影投影作图投影作图特殊点特殊点中间点中间点光滑连接曲线光滑连接曲线PW检查检查外形轮廓线投影外形轮廓线投影大圆柱大圆柱V面外形轮廓线终止点面外形轮廓线终止点外形轮廓线与曲线的切点外形轮廓线与曲线的切点小圆柱小圆柱V面外形轮廓线终止点，外形轮廓面外形轮廓线终止点，外形轮廓线与曲线的切点，曲线投影虚实分界点线与曲线的切点，曲线投影虚实分界点2021/9/2317例例3 3 多形体相交多形体相交132123分形体分形体两两求交两两求交求求1 1、3 3交线交线圆柱面圆柱面1 1与与圆柱面圆柱面3 3先整体求交先整体求交后取局部交线后取局部交线Pab(f)ca(d)bceeadeb(c)dff圆柱面圆柱面3 3与与平面平面P P求求2 2、3 3交线交线圆柱面圆柱面2 2与与圆柱面圆柱面3 3有虚线有虚线2021/9/2318例例4分形体分形体1324两两求交两两求交求求1 1、2 2交线交线2021/9/23191 2122021/9/2320分形体分形体1324两两求交两两求交求求1 1、2 2交线交线求求1 1、3 3交线交线求求2 2、4 4交线交线求求3 3、4 4交线交线检查加深检查加深2021/9/2321光滑空间曲线光滑空间曲线交线分析交线分析例例 圆柱与圆锥相交圆柱与圆锥相交投影分析投影分析找中间点找中间点PW光滑连接曲线光滑连接曲线P P 圆锥圆锥=圆圆圆圆 直线直线 =交线上的点交线上的点 W W面投影已知面投影已知求求V V、H H面投影面投影投影作图投影作图找特殊点找特殊点P P 圆柱面圆柱面=直直线线方法方法 2:2:辅助平面法辅助平面法 利用利用“三面共点三面共点”的原理的原理辅助面辅助面辅助面与二辅助面与二辅助面与二辅助面与二回转体表面回转体表面回转体表面回转体表面交线的投影交线的投影交线的投影交线的投影为直线或圆为直线或圆为直线或圆为直线或圆选择原则选择原则2021/9/2322方法方法 3：辅助球面法辅助球面法当球面与回转面共轴时，当球面与回转面共轴时，其交线为垂直于轴线的圆其交线为垂直于轴线的圆条件条件二相交表面二相交表面 均为回转面均为回转面二轴线必须二轴线必须 相交，其交相交，其交 点即为辅助点即为辅助 球面的球心球面的球心2021/9/2323例例 求圆柱与圆锥表面的交线求圆柱与圆锥表面的交线交线分析交线分析交线为空间曲线交线为空间曲线投影分析投影分析H、V面投影面投影均为未知均为未知投影作图投影作图求特殊点求特殊点求中间点求中间点如何选择辅助面？如何选择辅助面？辅助球面辅助球面球心球心最大球最大球最大球最大球最小球最小球最小球最小球球面球面 圆柱面圆柱面球面球面 圆锥面圆锥面光滑连接曲线光滑连接曲线交线的交线的H投影投影2021/9/2324归纳归纳1.求交线的基本方法求交线的基本方法利用积聚性投影利用积聚性投影用面上取点的方法求解用面上取点的方法求解辅助面法辅助面法 辅助平面法辅助平面法 辅助球面法辅助球面法利用利用“三面共点三面共点”的原理的原理辅助面选择原则辅助面选择原则辅助面与二回转面交线的投影辅助面与二回转面交线的投影为直线或圆为直线或圆二回转面的二回转面的轴线必须相交轴线必须相交在何处作辅助面在何处作辅助面二回转面的共有部分二回转面的共有部分交线共有交线共有2021/9/23252.2.必须熟悉交线的基本形式必须熟悉交线的基本形式必须熟悉交线的基本形式必须熟悉交线的基本形式2021/9/23262021/9/23272021/9/23282021/9/23293.多形体相交多形体相交形体分析形体分析：搞清哪些形体相交，交线是什么搞清哪些形体相交，交线是什么两两求交两两求交不完整的交线不完整的交线：先整体求交，再取局部交线先整体求交，再取局部交线2021/9/2330二次曲面交线的性质分析二次曲面交线的性质分析一般为四次曲线，其一般为四次曲线，其投影亦为四次曲线投影亦为四次曲线具有公共对称平面时具有公共对称平面时交线在与对称平面交线在与对称平面平行的投影面上的平行的投影面上的投影为二次曲线投影为二次曲线双曲线双曲线3.表面交线分析表面交线分析2021/9/2331抛物线抛物线圆球PV2021/9/2332交线的特殊情况交线的特殊情况两回转面轴线相交两回转面轴线相交且外切于同一球时且外切于同一球时交线为二平面曲线交线为二平面曲线重切点重切点2021/9/2333交线变化趋势分析交线变化趋势分析 直径相同直径相同以圆柱为例以圆柱为例平面曲线平面曲线相交体大小对交线的影响相交体大小对交线的影响交线总是弯向直径大的圆柱的轴线交线总是弯向直径大的圆柱的轴线2021/9/2334相交体相对位置对交线的影响相交体相对位置对交线的影响交线由两支变成一支交线由两支变成一支2021/9/23354.2 4.2 复杂形体的画图和看图方法复杂形体的画图和看图方法 一个或多个基本体进行多次布尔运算后一个或多个基本体进行多次布尔运算后生成的形体称为复杂形体（组合体）生成的形体称为复杂形体（组合体）画图画图由已知形体画出其投影的过程称由已知形体画出其投影的过程称为画图为画图看图看图根据形体的投影，经过分析，搞根据形体的投影，经过分析，搞清其组成、形状和结构的过程称清其组成、形状和结构的过程称为看图为看图2021/9/2336复杂形体的组合方式复杂形体的组合方式（叠加体）（叠加体）（切割体）（切割体）并并差差复合复合2021/9/2337复杂形体的画图复杂形体的画图形体间表面连接关系分析形体间表面连接关系分析 由于形体不同、相对位置不同而产由于形体不同、相对位置不同而产生不同的生不同的表面连接关系表面连接关系A A、B B不共面不共面A A、B B共面共面A AB BA AB B2021/9/2338不共面不共面共面共面共面共面有线！有线！无线！无线！不要漏虚线！不要漏虚线！2021/9/2339A AB BA AB B平面平面A A与圆柱面与圆柱面B B相切相切平面平面A A与圆柱面与圆柱面B B相交相交相切处无线相切处无线相交处有线相交处有线2021/9/2340有交线有交线!相切相切如何确定切点位置如何确定切点位置?注意注意此处无线此处无线!相交相交如何确定切点位置如何确定切点位置?2021/9/2341相切相切相切相切圆柱圆柱请同学们分析：请同学们分析：何处相交有交线？何处相交有交线？何处相切无线？何处相切无线？分析方法分析方法形体分析法形体分析法相交相交相交相交四棱柱四棱柱半圆柱半圆柱2021/9/2342凸台凸台5 5圆筒圆筒1 1支撑板支撑板2肋肋3底板底板4 4例例 求作轴承座的投影图求作轴承座的投影图形体分析形体分析画图方法画图方法形体由形体由1、2、3、4、5组合而成组合而成（“并并”）2021/9/2343底板底板圆筒圆筒支撑板支撑板肋肋凸台凸台凸台凸台圆筒圆筒支撑板支撑板肋肋底板底板画画基准线基准线左右、上下、前后左右、上下、前后画图画图依次画各立体依次画各立体的投影的投影例例 求作轴承座的投影图求作轴承座的投影图形体分析形体分析2021/9/2344基本方法基本方法形体分析法形体分析法把复杂形体分解成若干基本形体把复杂形体分解成若干基本形体分析各基本体之间的相互关系分析各基本体之间的相互关系画图步骤画图步骤布置图布置图确定各投影图的位置确定各投影图的位置(定位定位)画基准线画基准线归纳归纳画底稿画底稿(细实线细实线)逐个完成形体，逐个完成形体，先特征投影，后其他投影；先特征投影，后其他投影；先外表形状，后内部形状；先外表形状，后内部形状；先主要结构，后次要结构；先主要结构，后次要结构；先形体，后交线。先形体，后交线。检查检查“三等三等三等三等”关系检查关系检查关系检查关系检查相互位置检查相互位置检查相互位置检查相互位置检查表面连接关系检查表面连接关系检查表面连接关系检查表面连接关系检查描粗结果线描粗结果线相互位置分析相互位置分析布尔运算分析布尔运算分析 注意注意注意注意 何处有交线何处有交线是否漏画虚线是否漏画虚线是否多画实线是否多画实线2021/9/2345321例例还原成基本形体还原成基本形体依次依次“差差”运算运算P1234567891011121(256)3(4)12(1187)10(9)1256341211871092021/9/2346归纳归纳基本方法基本方法形体分析法形体分析法分析经过几次分析经过几次“差差”运算运算而成而成分析原始的基本分析原始的基本形体形体-找出形状与之最靠近的基本找出形状与之最靠近的基本形体形体画图步骤画图步骤先画出原始的基本先画出原始的基本形体投影形体投影依次依次“差差”运算运算每次切割应从每次切割应从反映特征的投影反映特征的投影反映特征的投影反映特征的投影开始画开始画充分利用平面的投影特性充分利用平面的投影特性 按按“三等三等”关系作图关系作图检查检查类似图形检查类似图形检查类似图形检查类似图形检查“三等三等三等三等”关系检查关系检查关系检查关系检查描粗结果线描粗结果线2021/9/2347看图时需注意的问题看图时需注意的问题必须把几个投影图联系起来进行分析必须把几个投影图联系起来进行分析复杂形体的看图复杂形体的看图2021/9/23482021/9/23492021/9/2350找出特征投影找出特征投影形状特征投影形状特征投影抓住特征投影抓住特征投影是看懂图的是看懂图的关键关键位置特征投影位置特征投影2021/9/23513412例例1234找特征投影找特征投影形状特征可能分散在不同的投影图中形状特征可能分散在不同的投影图中形状特征可能分散在不同的投影图中形状特征可能分散在不同的投影图中用用“三等三等”关系对投影关系对投影确定每块的形状、位置确定每块的形状、位置2021/9/2352线框分析线框分析三个线框代表三个面的投影三个线框代表三个面的投影-平面或曲面平面或曲面一般情况下，投影图中一个封一般情况下，投影图中一个封闭线框代表空间一个面的投影闭线框代表空间一个面的投影2021/9/2353一定会出现凸或凹一定会出现凸或凹线框里面的线框里面的线框呢？线框呢？2021/9/2354要注意投影图中反映形体之间要注意投影图中反映形体之间连接关系的图线连接关系的图线实线实线虚线虚线2021/9/2355有线有线相交相交无线无线相切相切2021/9/2356看图方法看图方法形体分析法形体分析法例例抓特征分解形体抓特征分解形体从特征投影入手从特征投影入手将形体分解成几部分将形体分解成几部分对投影确定形状对投影确定形状用用“三等三等”关系对投影关系对投影确定各部分的形状确定各部分的形状2021/9/2357综合起来想整体综合起来想整体 分析各块间相对位置及表面连接关系，分析各块间相对位置及表面连接关系，综合起来想象物体的整体形状综合起来想象物体的整体形状2021/9/2358面形分析法面形分析法面形分析法面形分析法根据平面体和曲面体的投影规律根据平面体和曲面体的投影规律:不同线框之间的关系不同线框之间的关系,反映了形体反映了形体表面的变化表面的变化投影图上一投影图上一个封闭线框个封闭线框一般情况下一般情况下平面平面光滑曲面光滑曲面 利用这个规律分析和表示形体表面利用这个规律分析和表示形体表面形状，形状，这种方法这种方法,称为称为面形分析法面形分析法的投影的投影2021/9/2359例例取线框取线框对投影对投影 分平曲分平曲确定表面形状及确定表面形状及相对位置关系相对位置关系“三等三等”关系关系想象物体形状想象物体形状2021/9/2360求第三投影求第三投影如何分层次如何分层次难点难点解题思路解题思路假设假设结论结论投影规律投影规律Y YN N验证验证看图举例看图举例2021/9/2361求第三投影求第三投影例例2021/9/2362小小小小 结结结结看图看图空间形体空间形体投影（二维图形）投影（二维图形）画图画图复杂形体画图和看图的基本方法复杂形体画图和看图的基本方法形体分析法形体分析法面形分析法面形分析法(为主为主)二者配合使用二者配合使用形体分析法形体分析法2021/9/2363形体分析法形体分析法基本要点基本要点根据复杂形体的形状特点，将其分解根据复杂形体的形状特点，将其分解成若干基本体成若干基本体分析各基本体的形状和相互位置关系分析各基本体的形状和相互位置关系从特征投影入手从特征投影入手利用利用“三等三等”关系对投影关系对投影确定其形状确定其形状注意反映表面注意反映表面连接关系的线连接关系的线2021/9/2364面形分析法面形分析法基本要点基本要点根据面的投影特性根据面的投影特性封闭线框封闭线框积聚成直线（平面）积聚成直线（平面）或曲线（曲面）或曲线（曲面）从从封闭线框封闭线框入手，利入手，利用用“三等三等”关系对投影关系对投影确定各面的形状确定各面的形状以此分析形体表面的组成及形状以此分析形体表面的组成及形状2021/9/2365