本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数bfac.docx
§3Euulerr积分 本节介绍绍用含参参广义积积分表达达的两个个特殊函函数 , 即和和. 它们们统称为为Euleer积分分. 在在积分计计算等方方面, 它们是是很有用用的两个个特殊函函数. 一. GGammma函数数考虑无穷穷限含参参积分 , 当时, 点还还是该积积分的瑕瑕点 . 因此此我们把把该积分分分为 来讨论其敛敛散性 .: 时时为正常常积分 .时, .利用非非负函数数积的CCaucchy判判别法, 注意意到时积积分收敛敛 . (易见见时, 仍仍用Caauchhy判别别法判得得积分发发散 ). 因因此, 时积分分收敛 . : 对R成立,.因此此积分对R收敛敛.综上 , 时积积分收敛敛 . 称该积积分为EEuleer第二二型积分分.Euulerr第二型型积分定定义了内内的一个个函数, 称该该函数为为Gammma函函数, 记为, 即= , .函数是一一个很有有用的特特殊函数数 . 22. 函数数的连续续性和可可导性:在区间内内非一致致收敛 . 这这是因为为时积分分发散. 这里里利用了了下面的的结果: 若若含参广广义积分分在内收收敛, 但在点点发散, 则积积分在内内非一致致收敛 .但在区间间内闭一一致收敛敛 .即即在任何何上 , 一致致收敛 . 因因为时, 对积积分 , 有, 而积积分收敛敛.对积分, , 而积积分收敛敛. 由M判法, 它们们都一致致收敛, 积分分在区间间上一致致收敛 .作类似地地讨论, 可可得积分分也在区区间内闭闭一致收收敛. 于是是可得如下下结论:的连续性性: 在区间间内连续续 .的可导性性: 在区间间内可导导, 且.同理可得得: 在区间间内任意意阶可导导, 且. 33. 函数的的凸性与与极值:, 在在区间内内严格下下凸. ( 参参下段 ), 在区区间内唯唯一的极极限小值值点( 亦为最小值点点 ) 介于11与2 之间 . 4. 的递推推公式 函函数表:的递推公公式 : .证 .于是, 利用递递推公式式得: , , , , ,一般地有有 .可见 , 在上上, 正正是正整整数阶乘乘的表达达式 . 倘定定义 , 易见见对,该该定义是是有意义义的. 因此此, 可可视为内实数数的阶乘乘. 这这样一来来, 我们很很自然地地把正整整数的阶阶乘延拓拓到了内内的所有有实数上上, 于是, 自然然就有, 可见见在初等等数学中中规定 是很合合理的.函数表表: 很多繁繁杂的积积分计算算问题可可化为函函数来处处理. 人们仿仿三角函函数表、对对数表等等函数表表, 制制订了函函数表供供查. 由函函数的递递推公式式可见, 有了了函数在在内的值值, 即可对对, 求求得的值值. 通常把把内函数的的某些近近似值制制成表, 称这这样的表表为函数数表 . 5. 函数的的延拓:时, 该式右右端在时时也有意义 . 用其其作为时时的定义义, 即即把延拓拓到了内内.时, 依式 , 利用延延拓后的的, 又可把把延拓到到内 .依此 , 可把把延拓到到内除去去的所有有点. 经过如如此延拓拓后的的的图象如如1 P3347图图表2114. 例例1 求, , . ( 查表得得.) 解解 .), . 66. 函数数的其他他形式和和一个特特殊值:某些积分分可通过过换元或或分部积积分若干干次后化化为函数数 . 倘能如如此, 可查查函数表表求得该该积分的的值.常见变形形有:> 令, 有有 =,因此, , .> 令. 注意到1 P2777 EE7的结结果, 得的的一个特特殊值 .> 令, 得得 . 取取, 得. 例例2 计算算积分 , 其中中 .解 I. 二. Beeta函函数Euller第第一型积积分： 11 Betta函数数及其连连续性：称( 含含有两个个参数的的 )含含参积分分为Euller第第一型积积分. 当和中至少少有一个个小于11 时, 该该积分为为瑕积分分. 下证对对, 该该积分收敛敛. 由由于时点点和均为瑕瑕点. 故把积积分分成成和考虑.: 时时为正常常积分; 时时, 点为瑕瑕点. 由被积积函数非非负, 和 , ( 由由Cauuchyy判法) 积积分收敛敛 . ( 易见时时积分发发散 ).: 时时为正常常积分; 时时, 点为瑕瑕点. 由被积积函数非非负, 和 , ( 由由Cauuchyy判法) 积积分收敛敛 . ( 易见时时积分发发散 ).综上, 时积积分收敛敛. 设D,于是, 积分定定义了DD内的一一个二元元函数. 称称该函数数为Beeta函函数, 记为为, 即即=不难验证证, 函函数在DD内闭一一致收敛敛. 又被积积函数在在D内连续续, 因因此 , 函数数是D内的的二元连连续函数数. 22. 函数数的对称称性: .证 =.由于函数数的两个个变元是是对称的的, 因因此, 其中中一个变变元具有有的性质质另一个个变元自然也具具有. 33. 递推推公式: .证 , 而 ,代入式, 有 ,解得 .由对称性性, 又又有. 44. 函数数的其他他形式:> 令, 有有 , 因此得 , .> 令, 可可得 , .特别地 , , .> 令, 有有=,即 , > 令, 可得.> , . 三. 函函数和函函数的关关系: 函数数和函数数之间有有关系式式, 以下只就就和取正整整数值的的情况给给予证明明. 和和取正实实数值时时, 证证明用到到函数的变形形和二重重无穷积积分的换换序. 参阅阅1 P3349.证 反复应应用函数数的递推推公式, 有有,而 .特别地, 且且或时, 由于于, 就有.余元公式式函数数与三角角函数的的关系： 对对，有.该公式的的证明可可参阅: , 微积分分学教程程 Vool 22 第33分册, 或或参阅余余家荣编编复变函函数PP11881199 例11（ 利利用留数数理论证证明 ）.利用余元元公式, 只要要编制出出时的函数数表, 再利利用三角角函数表表, 即即可对, 查表表求得的的近似值值.四. 利用Euulerr积分计计算积分分: 例例3 利用用余元公公式计算算.解 , . 例例4 求积积分. 解解 令, 有I . 例例5 计算算积分 .解 , 该该积分收收敛 . ( 亦可不不进行判判敛 ,把该积分分化为函函数在其其定义域域内的值值 , 即判得得其收敛敛 . )I . 例例6 , 求积积分,其中 VV : .解 .而 .因此 , .
