等差数列的前项和公式课件--高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第四章4.2等差数列等差数列据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+.+100=?当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案.情境导入高斯（Gauss，17771855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他他发发现现这这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组：第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每每组组数数的的和和均均相相等等，都都等等于于101101，5050个个101101就就等等于于50505050了了。高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化为乘法运算，迅速准确得到了结果化为乘法运算，迅速准确得到了结果.问题1：追问1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？追问2：高斯的方法妙在哪里？相同数（即101）的求和简化运算不同数的求和问题问题2：1+2+3+.+101=?思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+100)+101思路2（拿出中间项，再首尾配对）原式=(1+101)+(2+100)+(3+99)+(50+52)+51思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+100+102)-102思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+100+101求偶数项的和化归思想求奇数项的和问题3：如果左图中的石子有n层，那么第1层到第n层一共有多少石子？Tn=1+2+3+n=？按照n取值的奇偶进行分类讨论.当n为偶数时，当n为奇数时，方法一：方法二：当n为偶数时，同方法一.当n为奇数时，能否设法避免分类讨论？动脑思考 探索新知Tn=1+2+3+n=？问题问题4 4：能否借助梯形面积公式的推导方法研究“石子堆”问题？n (n-1)(n-2)2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？问题5：你能用数学符号表示上图求解过程吗？问题分析问题分析问题问题6：已知等差数列：已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数是，项数是n，第，第n项为项为an，求前求前n项和项和Sn.追问：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定等差数列的前项和等差数列的前项和n公式：公式：如果等差数列an的首项a1，公差为d，那么该等差数列的前n项和公式为：等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二知三可求其二 如何根据公式的结构特征来记忆公式呢？等腰梯形的面积等腰梯形的面积=平行四边形面积平行四边形面积+三角形面积三角形面积问题7：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列an的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？求和公式求和公式两个公式的共同点是需知两个公式的共同点是需知 a1 1和和 n n，不同点，不同点是前者还需知是前者还需知 an，后者还需知，后者还需知 d，解题时需根，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。据已知条件决定选用哪个公式。=整理,得解得n=12或n=-5（舍去）所以n=121.通过本节课收获了哪些知识、技能？2.你是怎样获得这些知识、技能的？3.在获得这些知识、技能的过程中用到了哪些思想方法？4.你还有哪些疑惑？课堂小结应用知识 强化练习 说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个