年上学期北京市清华附中高一数学正弦定理 余弦定理一.ppt

高中数学第一册高中数学第一册(下下)正弦定理正弦定理2021/8/8 星期日11.初初中中我我们们已已学学过过解解直直角角三三角角形形，请请回忆一下直角三角形的边角关系：回忆一下直角三角形的边角关系：Rt ABC中，若中，若C=90，则，则有：有：a2+b2=a=，b=，tanA.c2，csinAcsinBA+B=，90 2021/8/8 星期日2 由由此此可可知知，利利用用直直角角三三角角形形中中的的这这些些边边角角关关系系，当当任任给给直直角角三三角角形形的的两两边边或或一一边边一一角角时时，可可以以求求出出这这个个三三角角形形的的其其它它边与其它角边与其它角2.在在直直角角三三角角形形中中，你你能能用用边边角角表表示斜边吗？示斜边吗？c=Rt ABC中有：中有：这这个个式式子子在在任任意意三三角角形形中中也也是是成成立立的，这就是我们今天要学的正弦定理的，这就是我们今天要学的正弦定理.2021/8/8 星期日3思思 考考 我们知道：对于一些我们知道：对于一些平面几何问题平面几何问题，通过通过构造平面向量构造平面向量，用向量的方法解决较，用向量的方法解决较方便方便,而而向量的数量积向量的数量积又可把两向量间的又可把两向量间的关系转化为关系转化为线段长线段长及向量间及向量间夹角夹角的关系的关系.由此由此联想联想：能否利用向量的方法，借：能否利用向量的方法，借助于向量的数量积，来研究三角形中的边助于向量的数量积，来研究三角形中的边角关系呢？角关系呢？2021/8/8 星期日41 1、写出向量、写出向量 的关系式的关系式.探索探索A BCBAC(1)(2)2021/8/8 星期日5A BCBAC(1)(2)三三条条边边对对应应的的向向量量之之间间的的数数量量积积含含有有内内角角的的余余弦弦，没没有有正正弦弦.故故联联想想引引入入新新的的向向量量，且且使使得得新新向向量量与与三三条条边边对对应应的的向向量量之之间间的的夹夹角角出出现现类类似似于于90 A的的形形式式，以便利用以便利用诱导公式诱导公式把余弦变为正弦把余弦变为正弦.？探索探索2021/8/8 星期日62、过点、过点A作单位向量作单位向量垂直于垂直于，写出写出与与的夹角的夹角.BBACACA是锐角或钝角时是锐角或钝角时与与的夹角不同的夹角不同,故应以故应以A是否是锐角是否是锐角为分类讨论的标准进为分类讨论的标准进行行分类讨论分类讨论.(1)A为锐角时：为锐角时：(2)A为钝角时：为钝角时：90A，90C.A 90，90C.探索探索:2021/8/8 星期日73、对、对1中的向量等式两边同时取与中的向量等式两边同时取与向量向量的数量积运算的数量积运算:探索探索:(1)当当A为锐角时：为锐角时：(2)当当A为钝角时：为钝角时：同样有同样有2021/8/8 星期日84、过过C做做与与垂垂直直的的单单位位向向量量，能得到什么结论？能得到什么结论？探索探索:结论：结论：一般地，对任意三角形，都有：一般地，对任意三角形，都有：这就是正弦定理，请用文字表述出来这就是正弦定理，请用文字表述出来.2021/8/8 星期日9正弦定理正弦定理:在一个三角形中，各边和它在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等所对角的正弦的比相等.即：即：课后请同学们考虑一下正弦定理还有课后请同学们考虑一下正弦定理还有没有其它的证明方法？没有其它的证明方法？观察正弦定理，利用正弦定理可以解观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？什么类型的三角形问题？已知两角和任意一边，可以求出其他已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角两边和一角;已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角可以求出三角形的其他的边和角2021/8/8 星期日10例例1 在在 ABC中中,已已知知c=10,A=45,C=30，求，求b分分析析：我我们们以以前前会会解解直直角角三三角角形形.但但本本题题中中的的三三角角形形为为斜斜三三角角形形，如如何何解解呢呢？显显然然，B=180 A C=105，联联想想正正弦弦定定理理的的形形式式，只只须须利利用用正正弦弦定定理理即即可求出可求出b.2021/8/8 星期日11例例3在在 ABC中中，已已知知a=2，b=，A=45，求，求c和和B，C例例2在在 ABC中中,已已知知a=4,b=4,A=45，求，求BB=30 c=+1，B=60，C=75，或或c=1，B=120，C=15.2021/8/8 星期日12注注意意:由由例例2、例例3得得，当当已已知知a，b和和A，用正弦定理求，用正弦定理求B时的各种情况：时的各种情况：(1)若若A为锐角，则为锐角，则如下页图如下页图.2021/8/8 星期日13(2)若若A为钝角，则为钝角，则2021/8/8 星期日14例例4在在 ABC中中,B=45,C=60,a=2(+1)，求，求 ABC的面积的面积S分析：分析：首先可证明：首先可证明：S ABC=aha=absinC=bcsinA=casinB.这组结论可作公式使用其次求这组结论可作公式使用其次求b边边思思考考：你你能能利利用用以以上上的的面面积积公公式式推出正弦定理吗？推出正弦定理吗？只须同除以只须同除以abc即可即可.2021/8/8 星期日15小结：小结：a：b：c=sinA：sinB：sinC1.正弦定理表示形式：正弦定理表示形式：(外接圆直径外接圆直径)；a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；2021/8/8 星期日162.正弦定理应用范围：正弦定理应用范围：小结：小结：(1)已已知知两两角角和和任任一一边边，求求其其他他两两边及一角边及一角(2)已已知知两两边边和和其其中中一一边边对对角角，求求另另一边的对角一边的对角3.已已知知a、b及及A，求求解解三三角角形形(求求B)时，要分类讨论，确定解的个数时，要分类讨论，确定解的个数4.三角形面积公式的新形式三角形面积公式的新形式:S ABC=absinC=bcsinA=casinB.2021/8/8 星期日171.ABC中中，sin2A=sin2B+sin2C，则则ABC为为()A直角三角形直角三角形B等腰直角三角形等腰直角三角形C等边三角形等边三角形D等腰三角形等腰三角形2.在在ABC中，中，sinAsinB是是AB的的()条件条件A充分非必要充分非必要B必要非充分必要非充分C充要充要D非充分非必要非充分非必要巩固练习：巩固练习：AC2021/8/8 星期日183.在在 ABC中，若中，若,则则 ABC是是()A等腰三角形等腰三角形B等腰直角三角形等腰直角三角形C直角三角形直角三角形D等边三角形等边三角形巩固练习：巩固练习：D2021/8/8 星期日194.根据各已知条件，判定根据各已知条件，判定 ABC的解的个数：的解的个数：(1)a=5，b=4，A=120，求，求B；(2)a=5，b=4，A=90，求，求B；(3)a=5，b=，A=60，求，求B；(4)a=20，b=28，A=40，求，求B巩固练习：巩固练习：(A=120，B只能是锐角，仅有一解只能是锐角，仅有一解)(A=90，B只能是锐角，仅有一解只能是锐角，仅有一解)(sinB=1，B=90，只有一，只有一解解)(有两解有两解)2021/8/8 星期日201.教教材材P133练练习习第第2题题；P134习习题题5.9中第中第1、2、3题题(书上书上)2.数学之友数学之友T5.183教教材材P133练练习习第第1题题(本本上上，求求准准确值确值)看教材看教材P130131例例2、例、例3.4(本上本上)在在 ABC中，求证：中，求证：(1)a(sinB sinC)+b(sinC sinA)+c(sinA sinB)=0(2)作业作业 2021/8/8 星期日21提提示示：前前面面大大家家所所接接触触的的解解三三角角形形问问题题是是在在一一个个三三角角形形内内研研究究问问题题，而而 B的的平平分分线线BD将将ABC分分成成了了两两个个三三角角形形ABD与与CBD，故故要要证证结结论论成成立立，可可证证明明它它的的等等价价形形式式：AB ADBC DC，可可利利用用正正弦弦定定理理，再再根根据据相相等等角角正正弦弦值值相相等等，互互补补角正弦值也相等即可证明结论角正弦值也相等即可证明结论已已知知ABC，BD为为 B的的平分线，试用正弦定理证明：平分线，试用正弦定理证明：AB BCAD DC课外思考题：课外思考题：2021/8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24