年上学期北京市清华附中高一数学正弦定理 余弦定理二.ppt

高中数学第一册高中数学第一册(下下)余弦定理余弦定理2021/8/8 星期日1 什什么么叫叫做做正正弦弦定定理理，用用正正弦弦定定理理解三角形必须已知哪些量？解三角形必须已知哪些量？复复习 在一个三角形中，各边和它在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等所对角的正弦的比相等.即：即：正弦定理正弦定理:用正弦定理解三角形，必须已知三角用正弦定理解三角形，必须已知三角形的两角和一边或者已知两边和其中一边形的两角和一边或者已知两边和其中一边的对角的对角2021/8/8 星期日2 1.在在 ABC中中，已已知知a=1，b=，A=30，解此三角形，解此三角形练习B=60，C=90，c=2;或或B=120，C=30，c=1等腰三角形等腰三角形(B=C)2.在在 ABC中中，2bcosC=a，判判断断此此三角形的形状三角形的形状2021/8/8 星期日3 在在 ABC中中，b=3，c=4，A=60，如何求，如何求a？探索探索 一一般般地地，在在一一个个三三角角形形中中，已已知知两两边边和和这这两两边边的的夹夹角角时时，用用正正弦弦定定理理解解这这个三角形方便吗？为什么？个三角形方便吗？为什么？如何求解上述问题？如何求解上述问题？(1)考考虑虑转转化化为为直直角角三三角形求解角形求解(2)考考虑虑利利用用向向量量的的数数量积，找边角关系量积，找边角关系2021/8/8 星期日4 三角形任何一边的平方等于三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍即余弦的积的二倍即:余弦定理余弦定理:a2=b2+c2 2bccosA;利用余弦定理可以解决怎样的三角形利用余弦定理可以解决怎样的三角形问题？问题？b2=c2+a2 2cacosB;c2=a2+b2 2abcosC 已知三角形三边求角；已知三角形三边求角；已知两边和它们的夹角，求第三边已知两边和它们的夹角，求第三边.2021/8/8 星期日5余弦定理的变形余弦定理的变形:由由a2=b2+c2 2bccosA;b2=c2+a2 2cacosB;c2=a2+b2 2abcosC可得可得:2021/8/8 星期日6 例例1 在在 ABC中中，已已知知a=7，b=10，c=6，求，求A、B和和C(精确到精确到1)分析分析:已知已知三边三边求角求角,联想余弦定理联想余弦定理求解求解.解解:或或sinC=0.5954，C 36或或144(舍舍)2021/8/8 星期日7 例例1 在在 ABC中中，已已知知a=7，b=10，c=6，求，求A、B和和C(精确到精确到1)思考思考:(1)判定例判定例1中中 ABC的形状的形状.ABC为钝角三角形为钝角三角形.思考思考:(2)求例求例1中中 ABC的面积的面积.由由此此得得:B (90，180)b2 a2+c2.2021/8/8 星期日8 例例3 已已知知三三角角形形的的一一个个角角为为60，面面积积为为10 cm2，周周长长为为20cm，求求此此三三角角形的各边长形的各边长 例例2 ABC的的三三个个顶顶点点坐坐标标分分别别为为A(6，5)、B(2，8)、C(4，1)，求角，求角A 分分析析：此此题题所所给给的的条条件件除除一一个个角角外外，面面积积、周周长长都都不不是是构构成成三三角角形形的的基基本本元元素素，但但是是都都与与三三角角形形的的边边长长有有关关系系，故故可可以以设设出出边边长长，利利用用所所给给条条件件建建立立方方程程，这这样样由由于于边边长长为为三三个个未未知知数数，所所以以需需寻寻求三个方程求三个方程.分别为分别为5cm，7cm，8cm.2021/8/8 星期日9注意注意:(1)在在建建立立方方程程的的过过程程中中，既既要要注注意意由由余余弦弦定定理理可可以以建建立立方方程程，也也要要注注意意含含有正弦形式的面积公式的应用有正弦形式的面积公式的应用 (2)由由条条件件得得到到的的是是一一个个三三元元二二次次方方程程组组，要要注注意意体体会会其其求求解解的的方方法法和和思思路路，以提高自己的解方程及运算能力以提高自己的解方程及运算能力2021/8/8 星期日10小结：小结：3.由余弦定理可知，由余弦定理可知，ABC中：中：1.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形 2.余余弦弦定定理理的的作作用用：已已知知两两边边及及两两边边夹夹角角求求第第三三边边；已已知知三三边边求求三三角角；判判断三角形形状断三角形形状A 90 a2 b2+c2;A=90 a2=b2+c2;A 90 a2 b2+c2;2021/8/8 星期日11 1.已已知知 ABC中中，a=20，b=29，c=21，求，求B 2.若锐角若锐角 ABC中，中，b=8，c=3，sinA=，求，求a并判定三角形的形状并判定三角形的形状.巩固练习：巩固练习：B=90 a=8，ABC为等腰三角形为等腰三角形.2021/8/8 星期日12 1.(书书上上)教教材材P133练练习习第第4题题；P134习题习题5.9中第中第6、7题题 2.看教材看教材P133例例5.3.数学之友数学之友T5.19 4.(本上本上)教材教材P133练习第练习第3题题 5.(本上本上)在在ABC中，中，BC=3，AB=2，且，且 ，求，求A 作业作业 2021/8/8 星期日13在在ABC中，求证：中，求证：(a2 b2 c2)tanA+(a2 b2+c2)tanB=0.课外思考题：课外思考题：2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16