2023年高考数学总复习高中数学平面向量综合讲义.pdf

SYSU荣荣珠海珠海1平面向量平面向量综合讲义综合讲义前前言言.02近七年全国近七年全国卷高考真题卷高考真题.06.06第第 1 讲讲数量积基础数量积基础.071.1平行平行（共线共线）.071.2垂直垂直.071.3夹角夹角.081.4模长模长.091.5投影投影.10第第 2 讲讲平面向量基本定理平面向量基本定理.13第第 3 讲讲最值（范围）最值（范围）.15第第 4 讲讲等和线等和线.18第第 5 讲讲极化恒等式极化恒等式.20第第 6 讲讲“五心问题五心问题”（奔驰定理）（奔驰定理）.22第第 7 讲讲矩形的两个小性质矩形的两个小性质.24第第 8 讲讲向量与其他知识综合向量与其他知识综合.25第第 9 讲讲斜坐标系斜坐标系.26SYSU荣荣珠海珠海2前言前言【高考命题规律】【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值20112011 年年理 10选择题向量积与三角函数、不等式模平方5 分文 13填空题单位向量，向量垂直方程思想5 分20122012 年年理 13填空题向量模长，夹角模平方5 分文 15填空题向量模长，夹角模平方5 分20132013 年年理 13填空题向量垂直方程思想5 分文 13填空题向量垂直方程思想5 分20142014 年年理 15填空题三点共线数形结合思想5 分文 6选择题平面向量基本定理数形结合思想5 分20152015 年年理 7选择题平面向量基本定理数形结合思想5 分文 2选择题向量加减法数形结合思想5 分20162016 年年理 13填空题模运算模平方5 分文 13填空题垂直方程思想5 分20172017 年年理 13填空题模运算，平方模平方5 分文 13填空题垂直方程思想5 分全国卷向量主要以客观题形式出现，属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式一要准确记忆公式，二要准确运算二要准确运算。主要考察内容为向量的向量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记平方模长问题牢记平方（后开方后开方）的思路，便能直捣黄龙，一举破题。另外，虽然这几年全国卷平面向量不涉及到较难知识以及能力考查，但是备考方面还是应当适当提高训练训练难度，如建系解决棘手数量积问题等，至于等和线、奔驰定理、极化恒等式等进阶知识则因人因地因时制宜。SYSU荣荣珠海珠海3【基础知识基础知识】一、一、向量的有关概念向量的有关概念1、向量、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2、向量的表示方法、向量的表示方法:（1）字母表示法:如,a b c 等.（2）几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD 等.（3）坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA 的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,x y,则,x y称为OA 的坐标,记为OA=,x y.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3、相等向量、相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小4、零向量、零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5、单位向量、单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6 6、共线共线（平行平行）向量向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定规定:0与任一向量共线与任一向量共线.7 7、相反向量相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算二、向量的运算1、三角形法则与平行四边形法则三角形法则与平行四边形法则OAOBOC ，OBOAAB 注：abababSYSU荣荣珠海珠海42、数乘运算、数乘运算（1）规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a（2）平面向量共线定理：向量(0)a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.3 3、平面向量数量积、平面向量数量积（1）cosa ba b （2）a在b方向上的投影为：cosa（3）222=aaaa向量夹角的确定：向量,a b 的夹角指的是将,a b 的起点重合所成的角，0,4 4、平面向量基本定理、平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数12,，使1 122aee（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1 122aee 且1 122aee，则11225 5、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算（1）设1122(,),(,)ax ybxy，则：1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy11(,)axy1221/0ababx yx y121200aba bx xy y 121222221122cosx xy ya ba bxyxy （2）设2211,yxByxA，则：2121(,)ABxx yy 222121()()ABxxyy 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。SYSU荣荣珠海珠海5常见的可考虑建系的图形：常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等）6、模长、模长（1）有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题（2）利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长7 7、线段定比分点、线段定比分点（1）12PP 定比分点坐标公式:设111(,)P x y、222(,)P xy、(,)P xy，12PPPP 则：121211xxxyyy1,特殊地，1当时得中点坐标公式：222121yyyxxx另外，注意一下定比分点的向量公式：O为平面内任意一点，12PPPP，则12(1)OPOPOP .（2）三角形重心公式及推导（见课本例 2）：三角形重心公式：)3,3(321321yyyxxx8 8、点的平移公式、点的平移公式平移前的点为(,)P x y（原坐标），平移后的对应点为(,)P x y（新坐标），平移向量为(,)PPh k，则.xxhyyk ，从而函数()yf x的图像按向量(,)ah k平移后的图像的解析式为().ykf xhSYSU荣荣珠海珠海6【近七年全国近七年全国卷真题卷真题】（2017 理理 13）已知向量,a b 的夹角为60，2,1ab则2ab_（2017 文文 13）已知向量(1,2),(,1)abm，若向量ab与a垂直，则m _（2016 理理 13）设向量(,1),(1,2)amb且222abab，则m（2016 文文 13）设向量(,1),(1,2)ax xb，且ab，则x（2015 理理 7）设D为ABC所在平面内一点3BCCD ，则（）（A）1433ADABAC （B）1433ADABAC（C）4133ADABAC（D）4133ADABAC（2015 文文 2）已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC ，则向量BC ()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)（2014 理理 15）已知,A B C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB 与AC的夹角为（2014 文文 6）设,D E F分别为ABC的三边,BC CA AB的中点，则EBFC （）（A）AD（B）12AD（C）12BC（D）BC（2013 文理文理 13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，(1)ctat b，若0b c ，则t _（2012 文理文理 15，13）已知向量,a b 夹角为 45，且|1a，|2|10ab，则|b _（2011 理理 10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:10,)3Pab 22:1(,3Pab 3:10,)3Pab 1:1(,3Pab 其中的真命题是（）（A）14,P P（B）13,P P（C）23,P P（D）24,P P（2011 文文 13）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k SYSU荣荣珠海珠海7第第 1 讲讲 数量积基础数量积基础1.1向量的概念向量的概念（2018.1 茂名一模）茂名一模）对于向量,a b c 和实数，下列命题中真命题是（）（A）若0a b，则0a 或0b（B）若0a，则0或0a（C）若22ab，则ab或ab（D）若a ba c ，则bc1.2 平行（共线）平行（共线）（2017 山东文山东文 11）已知向量(2,6),(1,)ab，若/ab则1、（2017.12 广州调研广州调研）已知向量,2ax x，3,4b ，若ab，则向量a的模为_2、（2017 衡水四调衡水四调）设向量(1,2),(,1)abm，若向量2ab与2ab平行，则m（）（A）72（B）12（C）32（D）523、（2017 衡水五调衡水五调）已知向量2,1,1,3ab ，则（）（A）/ab（B）ab（C）aab（D）/aab4、（2017.03 广一模）广一模）已知向量1,2a，,1bx，若/()aab，则a b SYSU荣荣珠海珠海81.3 垂直垂直1、（2017.12 广东五校联考广东五校联考）设平面向量m与向量n互相垂直，且2(11,2)mn，若|5m，则|n 2、（2017.04 深圳二调深圳二调）已知平面向量,a b，若3,2ab，a与b的夹角6，且()amba则m()（A）12（B）1（C）3（D）23、（2017 广广东东江江西西福福建建三省十校联考三省十校联考）已知平面向量,a b 满足2,1ab，a与b的夹角为23，且(+(2)abab），则实数的值为_4、（2017 河南安阳二模河南安阳二模）已知向量(3,1),(1,3),(,2)abck，若()()acab，则k 5、（2017.03 河南洛阳模拟河南洛阳模拟）已知,a b 是非零向量且满足(2),(2)aba bab，则a与b的夹角是（）（A）6（B）3（C）23（D）566、（2017 广西广西 5 月考前联考月考前联考）设向量2log 3,am，3log 4,1b，且ab，则m的值为_SYSU荣荣珠海珠海91.4 夹角夹角1、（2017.12 衡水六调衡水六调）已知1,7,4aababa，则向量a与b的夹角为_2、（2017.03 广一模广一模）已知1,2ab，且()aab，则向量a与向量b的夹角是3 3、（2017.042017.04 江西八校联考江西八校联考）已知向量,a b 的夹角为3，且2a，1b，则向量a与向量2ab的夹角为（）（A）6（B）3（C）4（D）24 4、（2017.032017.03 湖北黄冈调研湖北黄冈调研）已知两个平面向量 ab，满足1 221aab，且a与b的夹角为120，则b 5、（2017 河北邯郸一模河北邯郸一模）已知向量,a b 满足2a|，3b|，()1aba，则a与b的夹角为（）（A）6（B）3（C）4（D）26、（2017 山西烟台一模山西烟台一模）已知向量(1,3)a，向量c满足10c，若5a c ，则a与c的夹角大小为_7、（2017.12 化州一模化州一模）已知(2sin13,2sin77)a，1ab，a与ab的夹角为3，则a b（）（A）2（B）3（C）4（D）58 8、（2017.122017.12 广东五校联考广东五校联考）设平面向量m与向量n互相垂直，且2(11,2)mn，若|5m，则|n SYSU荣荣珠海珠海101.5模长模长利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0aaaa可得：22aa，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若,ax y，则22axy。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题例例 1：在ABC中，O为BC中点，若1,3,60ABACA，则OA _例例 2：已 知 平 面 向 量,OA OB 的 夹 角2,33，且3OAOB ，若1233OPOAOB ，则OP 的取值范围是_1 1、（2017.122017.12 化州一模化州一模）平面向量,a b 的夹角为060，(2,0)a，1b ，则2ab2 2、（2017.042017.04 山东德州二模山东德州二模）已知平面向量a和b的夹角为60，(2,0)a，|1b，则|2|ab（）（A）20（B）12（C）4 3（D）2 33、（2017 广西南宁一模广西南宁一模）已知非零向量,a b 满足2abab，且a与b的夹角的余弦值为14，则ab 等于（）（A）12（B）23（C）32（D）2SYSU荣荣珠海珠海114、（2017 河南安阳一模河南安阳一模）已知平面向量(1,2),(2,)abm，且abab|，则2ab_5、（2017 吉林省市模拟吉林省市模拟）已知向量,a b 满足1abab，则2ab（）（A）3（B）3（C）7（D）76、（2017 山东潍坊一模山东潍坊一模）已知向量,a b，其中2,1ab，且aba，则2ab_7 7、（2017.032017.03 安徽安庆二模安徽安庆二模）已知向量3,2,()0abaab，则ab8 8、（2017.122017.12 化州一模化州一模）平面向量,a b 的夹角为060，(2,0)a，1b，则2ab9 9、（2017.122017.12 福建华安一中福建华安一中）已知向量(1,1),(2,)aby，若aba b，则y _SYSU荣荣珠海珠海121.5投影投影投影的计算公式：aba bb 例：例：（2017 北京文北京文 12）已知点P在圆221xy上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则AO AP 的最大值为_1、（2017 安徽黄山二模安徽黄山二模）已知13(,)22a，1,22bab，则b在a上的投影为_2、（2017.12 福建华安一中福建华安一中）已知向量,a b 的夹角为060，且2ab，则向量ab在向量a方向上的投影为（）（A）3（B）3（C）3（D）33、（2017 山西一模山西一模）在ABC中，已知2,1,60ABACA，D为AB的中点，则向量AD在BC 上的投影为_4、（2017 荆襄宜荆襄宜等等四地七校联考四地七校联考）如图，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C上 有10个 不 同 的 点1210,P PP，记2(1,2,10)iimAB AP i ，则1210mmm的值为（）（A）15 3（B）45（C）60 3（D）1805、已 知M为 直 角 三 角 形ABC的 外 接 圆，OB是 斜 边AC上 的 高，且6,2 2ACOB，AOOC，点P为线段OA的中点，若DE是M中绕圆心M运动的一条直径，则PD PE _SYSU荣荣珠海珠海13第第 2 讲讲平面向量基本定理平面向量基本定理应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1、（2017 四川七中三诊四川七中三诊）设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）（A）5166BOABAC （B）1162BOABAC （C）5166BOABAC （D）1162BOABAC 2、（2017 河北五个一联盟河北五个一联盟）已知点(1,0),(1,3)AB，点C在第二象限，且120AOC，4OCOAOB ，则_3、（2017.03 吉 林 长 春 二 模吉 林 长 春 二 模）在ABC中，D为 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点，且1132ADABAC，则ABDABCSS（）（A）23（B）13（C）16（D）124、（2017 湖北重点中学联考湖北重点中学联考）若等边ABC的边长为3，平面内一点M满足1132CMCBCA ，则AM MB 的值为_5、（2017 江西江西 4 月质检月质检）在矩形ABCD中，2AB,3AD，点F为CD的中点，点E在BC边上，若4AF DE ，则AE BF 的值为（）（A）0（B）1（C）2（D）36、（2017 江西上饶一模江西上饶一模）在边长为 1 的正方形ABCD中，2AEEB ，BC的中点为F，2EFFG ，则EG BD SYSU荣荣珠海珠海147、（2017 四川资阳四川资阳 4 月模拟月模拟）如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ABDC，2AB，1ADDC，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为12，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动 若APxAByBC ，其中xyR，则4xy的取值范围是（）（A）3 22 34，（B）52 32，（B）253342，（D）17173322，8、菱形ABCD边长为2，120BAD，点,E F分别在,BC CD上，且,BEBC DFDC ，若31,2AE AFCE CF ，则（）（A）12（B）32（C）54（D）712SYSU荣荣珠海珠海15第第 3 讲讲最值（范围）最值（范围）注意下几何意义，一般有几何法可以解答注意下几何意义，一般有几何法可以解答例例 1：（2017 浙江浙江 14）已知向量,a b 满足1,2ab，则abab的最小值是_，最大值是_例例 2 2：设 直 角ABC的 三 个 顶 点 都 在 单 位 圆221xy上，点1 1(,)2 2M，则|MAMBMC 的最大值是（）（A）21（B）22（C）3 212（D）3 222例例 3：若,a b c 均为单位向量，且 0,0a bacbc，则abc的最大值为（）（A）21（B）1（C）2（D）2例例 4：已知平面向量,满足23，且 与2 的夹角为150，则32ttR 的最小值是（）（A）34（B）33（C）32（D）31、（2017 河南三门峡一模河南三门峡一模）已知平面向量,a b c 满足2,1,1aba b|，且ac与bc的夹角为4，则c的最大值为（）（A）10（B）2 2（C）5（D）42、（2017 江苏南京二模江苏南京二模）已知平面向量(1,2),(2,2)ACBD ，则AB CD 的最小值为_SYSU荣荣珠海珠海163、（2017 湖北荆襄一中三模湖北荆襄一中三模）已知点P是圆224xy上的动点，点,A B C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且0AB BC ，则|PAPBPC 的最小值为（）（A）4（B）5（C）6（D）74、（2017 南昌一调南昌一调）已知,A B C是圆22:1O xy上的动点，且ACBC，若点M的坐标是(1,1)，则|MAMBMC 的最大值为（）（A）3（B）4（C）3 21（D）3 215、（2017 江西九江十校联考二模江西九江十校联考二模）设,A B在圆221xy上运动，且3AB，点P在直线34120 xy上运动，则PAPB 的最小值为（）（A）3（B）4（C）175（D）1956、（2017 江苏南京一模江苏南京一模）ABC是直角边等于 4 的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，14AMABmAC ，向量AM 的终点M在ACD的内部（不含边界），则AM BM 的取值范围是_7、（2017 山 东 日 照 一 模山 东 日 照 一 模）已 知 向 量,a b cr r r满 足4,2 2,4aba b，()()1cacb，则ca的最大值为_8 8、（20172017 湖南娄底二模湖南娄底二模）已知3,4,0aba b ，若向量满足()()0acbc，则c的取值范围是_9、（2017 山东济南一模山东济南一模）如图，正方形ABCD的边长为8，点,E F分别在边,AD BC上，且3,AEED CFFB，如果对于常数m，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得PE PFm 成立，那么m的取值范围是SYSU荣荣珠海珠海1710、（2017 北京西城区北京西城区 5 月模拟月模拟）设,a b 是平面上的两个单位向量，35a b ，若mR，则amb的最小值是（）（A）34（B）43（C）45（D）5411、（2017 浙江绍兴一模浙江绍兴一模）向量,a b 满足4,()0abab|，若ab的最小值为 2，则a b （）（A）0（B）4（C）8（D）1612、（2017 浙江嘉兴一模浙江嘉兴一模）已知平面向量,a b 满足11,2aba b|，若向量c满足1abc，则c的最大值为（）（A）1（B）2（C）3（D）213、（2017 江西师大附中江西师大附中、临川一中联考临川一中联考）在直角ABC中,090BCA，1CACB，P为AB边上的点，APAB 若CP ABPA PB ,则的最大值是()（A）222（B）222（C）1（D）21414、（20172017 云南师大附中月考云南师大附中月考）已知平面向量,a b c 满足1,1,2aa bb ca c ，则abc 的最小值是_1515、（20172017 湖北重点中学联考湖北重点中学联考）在直径4AB 的圆上有长度为2的动弦CD,则AC BD 的最大值为_.16、（2017.02 武汉调研武汉调研）已知,m n 为两个非零向量，且2,22mmn，则2mnn的最大值为_SYSU荣荣珠海珠海18第第 4 讲讲等和线等和线“爪爪”字型图及性质：字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y，使得ADxAByAC。则,B C D三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧1xy时，当0,0 xy，则D在线段BC上；当0 xy，则D在线段BC延长线上（2）已知D在线段BC上，且:BDCDm n，则nmADABACmnmn 补充：补充：例例1：（2017全国全国卷理卷理1212）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若APABAD ，则的最大值为（）（A）3（B）2 2（C）5（D）2例例 2 2：在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交,AB AC于点,M N，若,AMxAB ANyAC ，则4xy的最小值是（）（A）94（B）2（C）3（D）1例例 3：（2017 江苏江苏 12）如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为 1,1,2,OA 与OC的夹角为,且tan7，OB 与OC的夹角为45.若OCmOAnOB (,)m nR，则mn例例 4 4：如图，在四边形ABCD中，E为AB边的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上任意一点，设ACDEAP，则的最小值是_ACBO A B C DSYSU荣荣珠海珠海191 1、（2012017 7江西南昌十所重点二模江西南昌十所重点二模）已知数列 na为等差数列，且满足32015BAa OBaOC ，若ABACR，点O为直线BC外一点，则12017aa_2 2、（20172017 全国高中联赛福建联赛全国高中联赛福建联赛）,A B C为圆O上不同的三点，且120AOB，点C在劣弧AB内，若(,)OCOAOBR ，则的取值范围为_3 3、（2017.042017.04 武 汉 调 研武 汉 调 研）已 知ABC的 外 接 圆 圆 心 为O，且60A，若),(RACABAO，则的最大值为4、（2017 黑 龙 江 哈 师 大 附 中 三 模黑 龙 江 哈 师 大 附 中 三 模）已 知ABAC，ABAC，点M满 足1AMtABt AC ，若3BAM，则t的值为（）（A）32（B）21（C）312（D）3125、已知I为ABC的内心，7cos8A，若AIxAByAC，则xy的最大值为（）（A）12（B）34（C）45（D）566、已知I为ABC的内心，2,3,4ACBCAB，若AIxAByAC，则xy_7、已知O为锐角ABC的外心，60A，若AOxAByAC，则xy的最大值为_8、已知O为锐角ABC的外心，60A，若OAxOByOC ，则2xy的最大值为_9、（2017 浙江金华高三上期末考）浙江金华高三上期末考）设单位向量,a b 的夹角为锐角，若对任意的(,)(,)1,0 x yx y xaybxy，都有8215xy，则a b 的最小值为_SYSU荣荣珠海珠海20第第 5 讲讲极化恒等式极化恒等式极化恒等式极化恒等式：221()()4a babab（1）平行四边形模式平行四边形模式：2241DBACba（2）三角形模式三角形模式：在右上图的三角形ABD中（M为BD的中点），因为AMAC2，所以2214a bAMDB 例例 1：（2017 全国全国卷理卷理 1212）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC 的最小值是（）（A）2（B）23（C）34（D）1例例 2：已知正三角形ABC内接于半径为 2 的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA PB 的取值范围是_例例 3 3：在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014P BAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PB PCP B PC 。则()（A）90ABC（B）90BAC（C）ABAC（D）ACBC例例 4：如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，3CPPD ，2 BPAP，则ADAB的值是.例例 5：已知,A B是圆O：221xy的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，则2AO APAP 的最大值是_例例 6：（2017 浙江绍兴二检）浙江绍兴二检）在ABC中,ACBC，0P是边AB上一定点，满足013P BAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PB PCP B PC 。则BCAC_SYSU荣荣珠海珠海211、（2017 山西五校联考山西五校联考）在平行四边形ABCD中，3,4ABAD，则AC DB 等于_2、（2017 江苏盐城一模江苏盐城一模）在ABC中，已知3,3ABC，则CA CB 的最大值为3 3、（20162016 全国高中联赛湖北联赛）全国高中联赛湖北联赛）已知MN是边长为2 6的等边ABC外接圆的一条动弦，4MN，P是ABC的边上动点，则MP PN 的最大值为_4、（2017 四川雅安三诊四川雅安三诊）直线0axbyc与圆O：2216xy相交于两点M、N.若222cab，P为圆O上任意一点，则PM PN 的取值范围是_5、（2016 石嘴山适应性考试）石嘴山适应性考试）在ABCRt中，3 CBCA，NM,是斜边AB上的两个动点，且2MN，则CM CN 的取值范围为6 6、（20132013 浙江五校联盟二联浙江五校联盟二联）已知BA、是单位圆上的两点，O为圆心，且oAOB120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)10()1(OBOAOC，则CM CN 的取值范围是（）（A）1,21（B）1,1（C）0,43（D）0,17、（2012 浙江浙江 15）在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则AB AC _8、已知向量,a b 的夹角为3，5ab，向量ca，cb的夹角为23，2 3ca，则a c 的最大值为_9、已知ABC的面积为2，,E F分别为,AB AC中点，点P在EF上，则2PC PBBC 的最小值为_10、平面向量,a b c 满足1,1,2,2ea eb eab ，则a b 的最小值为_SYSU荣荣珠海珠海22第第 6 讲讲“五心五心”问题（奔驰定理）问题（奔驰定理）奔驰定理奔驰定理：已知点O是ABC中的任意一点，则S+S+S0BOCAOCAOBOAOBOC 例例 1：三角形的四心向量表达：（旁心不做要求）求证：（1）已知点O为ABC的重心，则0OAOBOC （2）已知点O为ABC的垂心，则tantantan0A OAB OBC OC （3）已知点O为ABC的外心，则sin2sin2sin20A OAB OBC OC （4）已知点O为ABC的内心，则0a OAb OBc OC 例例 2：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足(),0,)OPOAABAC ，则点P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例例 3：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足(),0,)ABACOPOAABAC ，则点P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例例 4：O是平 面上一定 点，CBA、是平 面上不共 线的三 个点，动 点P满足(),0,)coscosABACOPOAABBACC ，则点P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例例5：已 知P为ABC的 内 部 一 点，且52,6PAPBAPB，2340PAPBPC ，则ABC的面积为_SYSU荣荣珠海珠海231、（2017 全国高中联赛山东预赛全国高中联赛山东预赛）设I为ABC的内心，且3450IAIBIC ，则角C _2、（2017 辽宁三校联考辽宁三校联考）已知,A B C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足1 11(2)3 22OPOAOBOC ，则P一定为ABC的（）（A）AB 边中线的三等分点（非重心）（B）AB 边的中点（C）AB 边中线的中点（D）重心3 3、（20172017 衡水四调衡水四调）在ABC中，3 5ABAC，若O为ABC外接圆的圆心（即满足OAOBOC），则AO BC 的值为4、（2017 安徽马鞍山二模安徽马鞍山二模）已知 P Q 为ABC中不同的两点，且32PAPBPC 0，QAQBQC 0，则:PABQABSS为（）（A）1:2（B）2:1（C）2:3（D）3:25、（2017 广东七校二联广东七校二联）PQ 为三角形 ABC 中不同的两点,若PAPBPCAB ,350QAQBQC ,则:PABQABSS为（）（A）31（B）53（C）75（D）976、（1）已知ABC的重心为O，且5,2 3,3ABBCAC，则AO BC 的值是_（2）已知ABC的外心为O，且5,2 3,3ABBCAC，则AO BC 的值是_SYSU荣荣珠海珠海24第第 7 讲讲 矩形的两个小性质矩形的两个小性质性质性质 1、已知矩形ABCD，P是空间任意一点，则PA PCPB PD 性质性质 2、已知矩形ABCD，P是空间任意一点，则2222PAPCPBPD性质 1 由极化恒等式易证，性质 2 由勾股定理易证下面简单证明下：下面简单证明下：性质 1：由极化恒等式有22()2ACPA PCPO 22()2BDPB PDPO 从而PA PCPB PD 得证性质 2：由勾股定理，22222222PAPBMAMBNDNCPDPC即2222PAPCPBPD1、点P是矩形ABCD内一点，3,4,6PAPCAC，则PB PD _2、点P是矩形ABCD内一点，1,2,3PAPBPC，则PD _3、（2012 江西理江西理 7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则222PAPBPC（）（A）2（B）4（C）5（D）104、（2013 重庆理重庆理 10）在平面上，12ABAB，121OBOB,12APABAB .若12OP ，则OA 的取值范围是（）（A）5(0,2（B）57(,22（C）5(,22（D）7(,22SYSU荣荣珠海珠海25第第 8 讲讲向量与其他知识综合向量与其他知识综合（2017 北京文北京文 7）设,m n 为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件1 1、（2017.122017.12 河北鸡泽一中月考河北鸡泽一中月考）已知向量1,2axr，2,1b r，则“0 x”是“ar与br夹角为锐角”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2、（2017 江苏泰州一模江苏泰州一模）在ABC中，若2BC BAAC ABCA CB ，则sinsinAC的值为_3、（2017 江西九江十校联考二模江西九江十校联考二模）设椭圆2211612xy的左右交点分别为12,F F，点P在椭圆上，且满足129PF PF ，则|12PFPF 的值为（）（A）8（B）10（C）12（D）154、（2017.03 厦 门 一 模厦 门 一 模）在 平 行 四 边 形ABCD中，13,2,3ABADAPAB ，12AQAD，若12CP CQ ，则BAD（）（A）4（B）3（C）2（D）235、（2016 稽阳联考稽阳联考）在正方体1111ABCDABC D中，2 3AB，点,E F在线段1DB上，且1DEEFFB，点M是正方体表面上的一动点，点,P Q是空间两动点，若2PEQEPFQF且4PQ，则MP MQ 的最小值为_SYSU荣荣珠海珠海26第第 9 讲讲斜坐标系斜坐标系没什么意思的东西，用其他的办法一般也不会太慢1、（20172017 全国高中联赛福建联赛全国高中联赛福建联赛）,A B C为圆O上不同的三点，且120AOB，点C在劣弧AB内，若(,)OCOAOBR ，则的取值范围为_2、（2013 年安徽理年安徽理 9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点,A B满足2OAOBOA OB ，则点集,1,P OPOAOBR 所表示的区域的面积是（）（A）2 2（B）2 3（C）4 2（D）4 33、（2013 北京理北京理 14）向量(1,1)A，(3,0)B，(2,1)C，若平面区域D由所有满足APABAC （12，01）的点P组成，则D的面积为4、（）（）