新教材高中数学 第三章 函数 3.2.1 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件 新人教B必修1.ppt

3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日2一、函数的零点一、函数的零点1.零点的概念：如果函数零点的概念：如果函数y=f(x)在实数在实数a处的函数值等于处的函数值等于0，即，即f(a)=0，则，则a为函数为函数f(x)的零点的零点.2021/8/8 星期日32.零点的意义：零点的意义：2021/8/8 星期日4【思考思考】(1)函数的零点是点吗？函数的零点是点吗？提示：提示：不是，是使不是，是使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x，是方程，是方程f(x)=0f(x)=0的根的根.2021/8/8 星期日5(2)函数的零点个数、函数的图像与函数的零点个数、函数的图像与x轴的交点个数、方轴的交点个数、方程程f(x)=0根的个数有什么关系？根的个数有什么关系？提示：提示：相等相等.2021/8/8 星期日6二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系的关系设设f(x)=ax2+bx+c，方程，方程ax2+bx+c=0(a0)的判的判别别式式=b2-4ac判判别别式式0=00的解集的解集x|xx2x|x-Rf(x)0的解集的解集x|x1xx2 2021/8/8 星期日8【思考思考】二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数中，二次项系数a0或或f(x)0的解集？的解集？提示：提示：对于二次项系数是负数对于二次项系数是负数(即即a0)a0，则一元二次不等式，则一元二次不等式ax2+10无解无解.()2021/8/8 星期日10(3)若一元二次方程若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式则一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为的解集为x|x1x00，所以函数有两，所以函数有两个零点个零点.(2).(2).因为因为a0a0，所以不等式，所以不等式axax2 2+10+10恒成立，即原不恒成立，即原不等式的解集为等式的解集为R.R.(3).(3).当当a0a0时，时，axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为x|xx|x1 1xxx2x的解集是的解集是()A.x|x5或或x-1B.x|x5或或x-1C.x|-1x2x-2x-52x，得，得x x2 2-4x-50-4x-50，因为因为x x2 2-4x-5=0-4x-5=0的两根为的两根为-1-1，5 5，故故x x2 2-4x-50-4x-50的解集为的解集为x|x-1x|x5.x5.2021/8/8 星期日143.不等式不等式9x2+6x+10的解集是的解集是()2021/8/8 星期日15【解析解析】选选D.D.不等式可化为不等式可化为(3x+1)(3x+1)2 200，因此只有因此只有x=-x=-，即解集为，即解集为 2021/8/8 星期日16类型一函数的零点类型一函数的零点【典例典例】观察下图函数观察下图函数y=f(x)的图像，填空：的图像，填空：2021/8/8 星期日17当当x _时，时，f(x)=0；当当x _时，时，f(x)0；当当x _时，时，f(x)0f(x)0时，时，y=f(x)y=f(x)的图像在的图像在x x轴的上方；当轴的上方；当f(x)0f(x)0f(x)0的解集是：的解集是：(2(2，+)+)，f(x)0f(x)0的解集，求不等式的解集，求不等式f(x)0；当当x _时，时，f(x)0f(x)0的解集是的解集是(-(-，-5)(-5-5)(-5，-4)(2-4)(2，+)+)，f(x)0f(x)0的解集是的解集是(-4(-4，2).2).答案：答案：-5-5，-4-4，22(-(-，-5)(-5-5)(-5，-4)(2-4)(2，+)+)(-4(-4，2)2)2021/8/8 星期日25类型二二次函数的零点及其对应方程、不等式解集类型二二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系之间的关系【典例典例】解下列不等式：解下列不等式：(1)2x2+5x-30.(4)-x2+6x-100.2021/8/8 星期日26【思维思维引引】根据一元二次不等式根据一元二次不等式f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0时，求时，求x x轴上方部分轴上方部分图像对应的图像对应的x x的集合，当的集合，当f(x)0f(x)0-6x+20.=120，解方程，解方程3x3x2 2-6x+2=06x+2=0，得，得x x1 1=作出函数作出函数y=3xy=3x2 2-6x+2-6x+2的图像，的图像，如图如图所示，由图可得原不所示，由图可得原不等式的解集为等式的解集为2021/8/8 星期日30(3)(3)因为因为=0=0，所以方程，所以方程4x4x2 2+4x+1=0+4x+1=0有两个相等的实根有两个相等的实根x x1 1=x=x2 2=-.=-.作出函数作出函数y=4xy=4x2 2+4x+1+4x+1的图像如图的图像如图所示所示.由图可得原不等式的解集为由图可得原不等式的解集为 2021/8/8 星期日31(4)(4)原不等式可化为原不等式可化为x x2 2-6x+100-6x+100，因为，因为=-40=-40或或f(x)0，则，则MN为为()A.x|-4x-2或或3x7B.x|-4x-2或或3x3D.x|x0=x|x0=x|x3x3，所以所以MN=x|-4x-2MN=x|-4x-2或或3x7.3x7.2021/8/8 星期日38类型三解简单的高次不等式类型三解简单的高次不等式【典例典例】求函数求函数f(x)=(x-2)(2x+1)(3x-7)(x+3)的零点，并的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)0和和f(x)0f(x)0的解集，在的解集，在x x轴下方的部分是轴下方的部分是f(x)0f(x)0的解的解集集.2021/8/8 星期日40【解析解析】函数的零点为函数的零点为-3-3，-，2 2，函数的定义域被这四个点分为五部分，每一部分函数函数的定义域被这四个点分为五部分，每一部分函数值的符号如下表：值的符号如下表：x(-，-3)f(x)+-+-+2021/8/8 星期日41所以函数的示意图如图：所以函数的示意图如图：2021/8/8 星期日42根据函数的图像，知不等式根据函数的图像，知不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为(-(-，-3 -3 不等式不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为 2021/8/8 星期日43【内化内化悟悟】解简单高次不等式的关键是什么？解简单高次不等式的关键是什么？提示：提示：将高次不等式右边化为将高次不等式右边化为0 0，左边分解因式求解，左边分解因式求解.2021/8/8 星期日44【类题类题通通】解简单高次不等式的一般步骤解简单高次不等式的一般步骤(1)将不等式右边化为将不等式右边化为0，左边分解因式，左边分解因式.(2)计算对应方程的根，求出函数的零点计算对应方程的根，求出函数的零点.(3)列表，判断函数在各个区间上的正负列表，判断函数在各个区间上的正负.2021/8/8 星期日45(4)根据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图根据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图.(5)根据函数图像与根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集轴的相关位置写出不等式的解集.2021/8/8 星期日46【习练习练破破】求函数求函数f(x)=(x+2)(3x-2)(2x-4)的零点，并作出函数的图的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式像的示意图，写出不等式f(x)0的解集的解集.2021/8/8 星期日47【解析解析】函数的零点为函数的零点为-2-2，2 2，函数的定义域被这三个点分为四部分，每一部分函数函数的定义域被这三个点分为四部分，每一部分函数值的符号如表：值的符号如表：x(-，-2)(2，+)f(x)-+-+2021/8/8 星期日48所以函数的示意图如图：所以函数的示意图如图：2021/8/8 星期日49根据函数的图像，知不等式根据函数的图像，知不等式f(x)0f(x)0f(x)0的解集为的解集为 2021/8/8 星期日502021/8/8 星期日512021/8/8 星期日52