人教版高中数学：排列组合问题的常用解题方法课件 新课标人教B选修23.ppt

解排列解排列组合合问题的常用策的常用策略略2021/8/9 星期一11 1、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点2、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步3 3、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题4 4、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、环排、多排问题多排问题多排问题多排问题1212、小集团问题、小集团问题、小集团问题、小集团问题10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型策略、构造模型策略8、枚举法、枚举法13、其它特殊方法、其它特殊方法排列组合应用题解法综述排列组合应用题解法综述（目录）（目录）2021/8/9 星期一2排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。返回目录返回目录2021/8/9 星期一3基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用问问题题 知识结构网络图：知识结构网络图：返回目录返回目录2021/8/9 星期一4 名称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定义义相同相同点点不同不同点点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.回目录回目录2021/8/9 星期一51.1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名称称排排列列组组合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数回目录回目录2021/8/9 星期一62.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。学生解决问题分析问题的能力。3.学会应用数学思想和方法解决排列组合学会应用数学思想和方法解决排列组合问题问题.教学目标教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。计数原理。返回目录返回目录2021/8/9 星期一7完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中类办法中有有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有m2 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法1.1.分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)返回目录返回目录2021/8/9 星期一8 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2 种不同种不同的方法，的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有：那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的，每步中的方法完成事件的方法完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事不能完成整个事件件3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种，任何一种方法都可以方法都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。返回目录返回目录2021/8/9 星期一91、某校组织学生分、某校组织学生分4个组从个组从3处风景点中选一处风景点中选一处去春游处去春游,则不同的春游方案的种数是（则不同的春游方案的种数是（）A.B.C.D.C回目录回目录练习2、将数字、将数字1、2、3、4 填入标号为填入标号为1、2、3、4 的的四个方格里四个方格里,每格填一个数字，则每个方格的标每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有（号与所填的数字都不相同的填法共有（）。）。A.6 种种 B.9种种 C.11种种 D.23种种（331=9.可用框图具体填写）可用框图具体填写）B2021/8/9 星期一10考点分析考点分析 从从考纲大纲考纲大纲看：高考对这部分的要求看：高考对这部分的要求还是比较高的还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、组要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数，画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃算一算，是基本的计数方法，不可废弃.例（例（2001年新课程卷）年新课程卷）某赛季足球比赛的计分某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得规则是：胜一场，得3分；平一场，得分；平一场，得1分；负分；负一场，得一场，得0分分.一球队打完一球队打完15场，积场，积33分分.若不考若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有：虑顺序，该队胜、负、平的情况共有：A 3种种 B 4种种 C 5种种 D 6种种.回目录回目录2021/8/9 星期一11解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略回目录回目录2021/8/9 星期一12判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次握手相互问候，共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多有多少种不同的方法少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点个风景点的游览顺序的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题回目录回目录2021/8/9 星期一13合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；进行分类，分类标准明确，不重不漏；按按事事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚楚.回目录回目录2021/8/9 星期一14总的原则总的原则合理合理分类和分类和准确准确分步分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。明确，分步层次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相，2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有种，种，1位的排法位的排法有有种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有种种，根据分步计数原，根据分步计数原理，不同的站法有理，不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。回目录回目录2021/8/9 星期一15把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例1如图，某电子器件是由三个电如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了整个电路就会不通。现发现电路不通了,那那么焊接点脱落的可能性共有（么焊接点脱落的可能性共有（）A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知由乘法原理可知：由乘法原理可知：222222-1=63222222-1=63回目录回目录2021/8/9 星期一16（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练练习习1分类：个位数字为分类：个位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：回目录回目录2021/8/9 星期一17（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？(2004 全国全国12)在由数字在由数字1，2，3，4，5组成的所有组成的所有没有重复的没有重复的5位数中，大于位数中，大于23145且小于且小于43521的的数共有（数共有（）个）个58回目录回目录2021/8/9 星期一18合理分类与分步策略例例.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的节人伴舞的节目目,有多少选派方法有多少选派方法?解：1010演员中有演员中有5 5人只会唱歌，人只会唱歌，2 2人只会跳舞人只会跳舞 3 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+回目录回目录2021/8/9 星期一19本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。始终。回目录回目录2021/8/9 星期一20有不同的数学书有不同的数学书7本，语文书本，语文书5本，本，英语书英语书4本，由其中取出不是同一本，由其中取出不是同一学科的书学科的书2本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的取法？取法？（75+74+54=83）回目录回目录2021/8/9 星期一21（4）（）（2005福建福建理）从理）从6人中选人中选4人分别到巴黎、伦人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A300种种B240种种C144种种D96种种B（直接法）分三种情况：（直接法）分三种情况：情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览：有甲、乙中有一人去游览：有种选择方案种选择方案;情况三情况三：甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有+=240（间接法）回目录回目录2021/8/9 星期一221.从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ 3434 练习题2.3成人成人2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1号船最多乘号船最多乘3人人,2 号船最多乘号船最多乘2人人,3号船只能乘号船只能乘1人人,他们任选他们任选 2只船或只船或3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船,这这5人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2727回目录回目录2021/8/9 星期一23特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置问题2021/8/9 星期一24特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法用也是最基本的方法,若以元素分析为主若以元素分析为主,需先安排需先安排特殊元素特殊元素,再处理其它元素再处理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需需先满足特殊位置的要求先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件兼顾其它条件回目录回目录2021/8/9 星期一25“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.B解题技巧解题技巧回目录回目录2021/8/9 星期一26学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门：（1）有两门课时间冲突，不能）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？（2）有两门特别的课，至少选）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？学其中的一门，有几种选法？回目录回目录2021/8/9 星期一27解法一：解法二：（1）有两门课时间冲突）有两门课时间冲突,不能不能同时学，有几种选法？同时学，有几种选法？回目录回目录2021/8/9 星期一28解法一：解法一：解法二：解法二：（2）有两门特别的课，至少）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？选学其中的一门，有几种选法？2021/8/9 星期一29特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排例例 将将5 5列列车车停停在在5 5条条不不同同的的轨轨道道上上，其其中中a a列列车车不不停停在在第第一一轨轨道道上上，b b列列车车不不停停在在第第二二轨轨道道上上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（）（A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种解：解：2021/8/9 星期一301.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题2021/8/9 星期一31 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？无重复数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重可组成多少个无重复数字的五位奇数？复数字的五位奇数？练练习习2021/8/9 星期一32（3）(2005 北京北京文文)五个工程队承建某项工程的五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲项，其中甲工程队不能承建工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案号子项目，则不同的承建方案共有（共有（）种。）种。（4）(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有除的数共有_个个 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位为、首位为5有有种，情况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有种，故在由数字种，故在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有不能被整除的数共有+=192(个个)1922021/8/9 星期一33小结：小结：1 1、“在在”与与“不在不在”可以相互转化。可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用解决某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解决某些元素不在某些位置上一般用决某些元素不在某些位置上一般用“间接法间接法”或转化为或转化为“在在”的问题求解。的问题求解。2 2、排列组合应用题极易出现、排列组合应用题极易出现“重重”、“漏漏”现象，而重现象，而重”、“漏漏”错误常发生在该不该错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重重”堵堵“漏漏”，在做题时需认真分析自己做，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案核对答案回目录回目录2021/8/9 星期一34相相邻相相间问题2021/8/9 星期一35相邻元素捆绑策略例例.7.7人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.回目录回目录2021/8/9 星期一36例例 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一起个女生要排在一起,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?解解 因为女生要排在一起因为女生要排在一起,所以可以将所以可以将3 3个女生看成个女生看成是一个人是一个人,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列,有有 种排法种排法,其中女生其中女生内部也有内部也有 种排法种排法,根据乘法原理根据乘法原理,共有共有 种不同的种不同的排法排法.结论结论 捆绑法捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时要注意合同时要注意合并元素内部也可以作排列并元素内部也可以作排列.分析分析 此题涉及到的是排队问题此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限对于女生有特殊的限制制,因此因此,女生是特殊元素女生是特殊元素,并且要求她们要相邻并且要求她们要相邻,因此因此可以将她们看成是一个元素来解决问题可以将她们看成是一个元素来解决问题.回目录回目录2021/8/9 星期一37某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好有枪命中恰好有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题20回目录回目录2021/8/9 星期一38有有8本互不相同的书本互不相同的书,其中数学书其中数学书3本本,外文书外文书2本本,其他书其他书3本本.若将这些书排若将这些书排成一列放在书架上成一列放在书架上,则数学书恰好排则数学书恰好排在一起在一起,外文书也恰好排在一起的排外文书也恰好排在一起的排法共有法共有_ 种种(结果用数结果用数 值表示值表示).回目录回目录2021/8/9 星期一39不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3.一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈,2 2个个相相声声,3 3个个 独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理由分步计数原理,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端队再把不相邻元素插入中间和两端回目录回目录2021/8/9 星期一40不相邻问题不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。回目录回目录2021/8/9 星期一41某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（）30练习题回目录回目录2021/8/9 星期一422021/8/9 星期一43（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空法：插空法：（3）(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答）练练习习回目录回目录2021/8/9 星期一44(3)(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有这样的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答）将与，与，与捆绑在一起排成一列将与，与，与捆绑在一起排成一列有有种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有种，故有种，故有种种引申引申:用、组成没有重复数字用、组成没有重复数字的六位数，要求与相邻，与相邻，与的六位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，现将相邻，现将7、8 插进去，仍要求与相邻，与插进去，仍要求与相邻，与相邻，与相邻，那么插法共有相邻，与相邻，那么插法共有_种种（用数字作答）（用数字作答）回目录回目录2021/8/9 星期一45“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（都不与丙相邻，则不同的排法有（）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D）600600种种解：解：另解：另解：回目录回目录2021/8/9 星期一46练习练习 某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有1212只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A A）种（种（B B）种种 （C C）种种 （D D）种种解：回目录回目录2021/8/9 星期一47例例 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票1212张。张。8 8个学生，个学生，4 4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？相邻，共有多少种不同的坐法？解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法,然后把老师插入学生然后把老师插入学生之间的空档，共有之间的空档，共有7 7个空档可插个空档可插,选其中的选其中的4 4个空档个空档,共共有有 种选法种选法.根据乘法原理根据乘法原理,共有的不同坐法为共有的不同坐法为 种种.结论结论 插入法插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题邻的问题,可以用插入法可以用插入法.即先排好没有限制条件的元即先排好没有限制条件的元素素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可空档之中即可.分析分析 此题涉及到的是不相邻问题此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊并且是对老师有特殊的要求的要求,因此老师是特殊元素因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题所涉及问题是排列问题.回目录回目录2021/8/9 星期一48小结：小结：以元素相邻为附加条件的以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即应把相邻元素视为一个整体，即采用采用“捆绑法捆绑法”；以某些元素不；以某些元素不能相邻为附加条件的能相邻为附加条件的,可采用可采用“插空法插空法”。“插空插空”有同时有同时“插插空空”和有逐一和有逐一“插空插空”,并要注并要注意条件的限定意条件的限定.回目录回目录2021/8/9 星期一49定序定序问题2021/8/9 星期一50例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，回目录回目录2021/8/9 星期一51定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法。方法。1思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?回目录回目录2021/8/9 星期一52（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？回目录回目录2021/8/9 星期一53例例 期中安排考试科目期中安排考试科目9 9门门,语文要在数学之前考语文要在数学之前考,有有多少种不同的安排顺序多少种不同的安排顺序?解解 不加任何限制条件不加任何限制条件,整个排法有整个排法有 种种,“,“语文安排语文安排在数学之前考在数学之前考”,与与“数学安排在语文之前考数学安排在语文之前考”的排法的排法是相等的是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有所以语文安排在数学之前考的排法共有 种种.结论结论 对等法对等法:在有些题目中在有些题目中,它的限制条件的肯定与它的限制条件的肯定与否定是对等的否定是对等的,各占全体的二分之一各占全体的二分之一.在求解中只要求在求解中只要求出全体出全体,就可以得到所求就可以得到所求.分析分析 对于任何一个排列问题对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲就其中的两个元素来讲的话的话,他们的排列顺序只有两种情况他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列并且在整个排列中中,他们出现的机会是均等的他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种因此要求其中的某一种情况情况,能够得到全体能够得到全体,那么问题就可以解决了那么问题就可以解决了.并且也避并且也避免了问题的复杂性免了问题的复杂性.回目录回目录2021/8/9 星期一54分房分房问题2021/8/9 星期一55住店法住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。回目录回目录A2021/8/9 星期一56重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解