人教版高一数学平面向量的数量积课件 新课标 人教A.ppt
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人教版高一数学平面向量的数量积课件 新课标 人教A.ppt
平面向量的数量平面向量的数量积浙江省安吉县昌硕高中2021/8/9 星期一1一般地,实数一般地,实数与向量与向量 的的积积是一个是一个向量向量,这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算,记作,记作 ,它的它的长度长度和和方向方向规定如下:规定如下:(1)|=|(2)当当0时时,的方向与的方向与 方向相同;方向相同;当当0时时,的方向与的方向与 方向相反;方向相反;特别地,当特别地,当=0或或 =时时,=.2021/8/9 星期一2 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数 恒有恒有设设设设 ,为任意向量,为任意向量,为任意向量,为任意向量,,为任意为任意为任意为任意实数实数实数实数,则有:,则有:,则有:,则有:()=()(+)=+(+)=+2021/8/9 星期一3已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,作,作OA=a,OB=b,则,则AOB=(0 180)叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA向量的向量的夹角角当0时,a与b同向;OAB当180时,a与b反向;OABB当90时,称a与b垂直,记为ab.OAab2021/8/9 星期一4 我们学过功的概念,即一个物体在力我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s(如图)(如图)FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量从力所做的功出发,我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。2021/8/9 星期一5定定 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ,它们的,它们的夹角为夹角为,我们把数量,我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积(或(或内积内积),记作),记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr注意:向量注意:向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上(或向量(或向量 在在 方向上)的方向上)的投投影影。2021/8/9 星期一6 向量的数量积是一个数量,那么它什向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?么时候为正,什么时候为负?=|cosararbrbr当当=90时时 为零。为零。arbr当当90 180时时 为负。为负。arbr当当0 90时时 为正;为正;arbr2021/8/9 星期一7重要性质:设设是非零向量,是非零向量,方向相同的方向相同的单位向量,单位向量,的夹角,则的夹角,则特别地特别地OAB abB12021/8/9 星期一8解:解:ab=|a|b|cos=54cos120 =54(-1/2)=10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5,|b|=4|b|=4,a a与与b b的夹角的夹角=120=120,求,求abab。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解:解:|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =22021/8/9 星期一9abab的几何意的几何意义:OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。2021/8/9 星期一10练习:练习:1 1若若a=0,则对任一向量,则对任一向量b ,有,有a b=02若若a 0,则对任一非零向量,则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00,a b b=0,则,则b=04 4若若a b=0,则,则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0,a b=b c,则,则a=c6 6若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有2021/8/9 星期一11二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律:数量积的运算律:其中,其中,是任意三个向量,是任意三个向量,注:注:2021/8/9 星期一12 则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)2021/8/9 星期一13例例 3:求证:求证:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.证明:证明:(1)(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.2021/8/9 星期一14例例 3:求证:求证:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.证明:证明:(2)(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.2021/8/9 星期一15例例4 4、的夹角为的夹角为变式:求变式:当且仅当k为何值时,垂直2021/8/9 星期一16思考:用向量方法证明:直径所对的圆思考:用向量方法证明:直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO如图所示,已知如图所示,已知如图所示,已知如图所示,已知 OO,ABAB为直径,为直径,为直径,为直径,C C为为为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析:要证分析:要证ACB=90,只须证向,只须证向量量 ,即,即 。解:解:设设 则则 ,由此可得:由此可得:即即 ,ACB=902021/8/9 星期一17小结 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ,它们的,它们的夹角为夹角为,我们把数量,我们把数量|cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积(或(或内积内积),记作),记作 =|cosararararararbrbrbrbrbrbr2021/8/9 星期一18作业:1,119 1,2,72,作业112021/8/9 星期一192021/8/9 星期一20