人教版高一数学简单的线性规划问题 苏教.ppt

简单的线性规划问题简单的线性规划问题2021/8/9 星期一1求求z2xy的最大值，使的最大值，使x、y满足约束条件满足约束条件：求求z3x5y的最大值，使的最大值，使x、y满足约束条件：满足约束条件：(一一)求目标函数的最值求目标函数的最值2021/8/9 星期一2解：作出平面区域解：作出平面区域xyABCxyooABC 作出直线作出直线y=2xz的的图像，可知图像，可知z要求最大值，要求最大值，即直线经过即直线经过C点时。点时。求得求得C点坐标为（点坐标为（2，1），），则则Zmax=2xy3 作出直线作出直线3x5y z 的的图像，可知直线经过图像，可知直线经过A点时，点时，Z取最大值；直线经过取最大值；直线经过B点点时，时，Z取最小值。取最小值。求得求得A（1.5，2.5），），B（2，1），则），则Zmax=17，Zmin=11。2021/8/9 星期一32021/8/9 星期一4求求 z 的最大值和最小值的最大值和最小值.设设 z=2x+y,式中变量式中变量 x,y 满足下列条件满足下列条件2021/8/9 星期一5求求z=2x+y的最大值，使式中的的最大值，使式中的 x、y满足约束条件满足约束条件 yxx+y1y-12021/8/9 星期一6(二二)应用题应用题例例1 1、某公司承担了每天至少搬运、某公司承担了每天至少搬运280t280t水泥任水泥任务，已知该公司有务，已知该公司有6 6辆辆A A型卡车和型卡车和4 4辆辆B B型卡车，型卡车，又知又知A A型卡车每天每辆的运输量为型卡车每天每辆的运输量为30t30t，成本费，成本费为为0.90.9千元；千元；B B型卡车每天每辆的运输量为型卡车每天每辆的运输量为40t40t，成本费为，成本费为1 1千元千元假如你是公司的经理假如你是公司的经理,为了使公司支出的费用为了使公司支出的费用最少，请你设计出公司每天的派出最少，请你设计出公司每天的派出A A型卡车、型卡车、B B型卡车型卡车各多少辆？各多少辆？2021/8/9 星期一7分析：2021/8/9 星期一8问题：246810246810 xoyABC0.9 x+y=02021/8/9 星期一9解：上述不等式组表示的平面区域如图所示上述不等式组表示的平面区域如图所示,作作一组平行直线一组平行直线0.9x+y=t,直线经过点直线经过点A(4,4)时，时，对应的对应的t的值最小，经过点的值最小，经过点B(6,4)时，对应的时，对应的t的值最大，的值最大，所以所以z的最小值为的最小值为0.94+4=7.6答：公司派出答：公司派出4辆辆A型卡车、型卡车、4 辆辆B型卡车时型卡车时每天所支出的费用最少每天所支出的费用最少2021/8/9 星期一10例例2、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白蛋白质，质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1食物食物B含有含有0.105kg碳碳水化合物，水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。为元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物低，需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格2021/8/9 星期一11解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么，那么目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域2021/8/9 星期一12把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/7 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。M 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可经过可行域上的点行域上的点M时，截距时，截距最小，即最小，即z最小。最小。2021/8/9 星期一13M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组得得M点的坐标为：点的坐标为：所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。2021/8/9 星期一14例例3 3、某人准备投资、某人准备投资12001200万元兴办一所完全中学。万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费16001600元，元，高中每人每年可收学费高中每人每年可收学费27002700元。那么开设初中班和高元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段学段班级学生数班级学生数 配备教师数配备教师数初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人2021/8/9 星期一15把上面四个不等式合在一起，把上面四个不等式合在一起，得到得到yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0 x0，y0y0。而由于资金限制而由于资金限制，26x26x54y54y22x22x23y120023y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x x个，高中班个，高中班y y个。因办学规模以个。因办学规模以20203030个班为宜，所以，个班为宜，所以，20 x 20 xy30y302021/8/9 星期一16yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线Z7.2x10.8y经过经过可行域上的点可行域上的点M时，截时，截距最大，即距最大，即Z最大。最大。设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。M 易求得易求得M（20，10），则），则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收取的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元。万元。2021/8/9 星期一17例例4 4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo2021/8/9 星期一18解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin32021/8/9 星期一19 例例5、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为分别为3000元、元、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A、B两两种设备上加工，在每台种设备上加工，在每台A、B上加工上加工1件甲所需工时分别件甲所需工时分别为为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为两种设备每月有效使用台数分别为400h和和500h。如何安排生产可使收入最大？。如何安排生产可使收入最大？设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是2021/8/9 星期一20 Z 3x2y 变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点当直线经过点M时，截距最大，时，截距最大，Z最大。最大。M解方程组解方程组可得可得M（200，100）Z 的最大值的最大值Z 3x2y800故生产甲产品故生产甲产品200件，件，乙产品乙产品100件，收入件，收入最大，为最大，为80万元。万元。2021/8/9 星期一21云锡公司生产甲、乙两种产品。已知生产甲产云锡公司生产甲、乙两种产品。已知生产甲产品品1t需消耗需消耗A种矿石种矿石10t、B种矿石种矿石5t、煤、煤4t；生产乙种产品需消耗；生产乙种产品需消耗A种矿石种矿石4t、B种矿石种矿石4t、煤、煤9t。每。每1t甲种产品的利润是甲种产品的利润是6000元，元，每每1t乙种产品的利润是乙种产品的利润是10000元。公司在生元。公司在生产这两种产品的计划中要求产这两种产品的计划中要求 消耗消耗A种矿石不超种矿石不超过过300t、B种矿石不超过种矿石不超过200t、煤不超过、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到到0.1t），能使利润总额达到最大？），能使利润总额达到最大？2021/8/9 星期一22 原原 料料每生产每生产1吨产品吨产品消耗的原料消耗的原料A种矿石种矿石B种矿石种矿石煤煤甲产品甲产品乙产品乙产品1054449原原 料料 限限 额额300200360利利 润润6000100002021/8/9 星期一23解：解：设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为利润总额为z元，则元，则10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y0z =6000 x+10000y2021/8/9 星期一24 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843o 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获万元，生产一件乙产品获利利3万元，采用那种生产安排利润最大？万元，采用那种生产安排利润最大？设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z，则，则z2x3y把把z2x3y变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的直的直线系，线系，z与这条直线的与这条直线的截距有关。截距有关。如图可见，当直线如图可见，当直线经过可行域上的点经过可行域上的点M时，截距时，截距最大，即最大，即z最大。最大。M2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一26